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高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲数列的概念与简单表示法(分层精练)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲数列的概念与简单表示法(分层精练)(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．110B．128C．144D．89
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
3．（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·山东潍坊·高二统考期中）已知数列{an}的前n项和为，，，则（ ）
A．64B．62C．32D．30
6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
7．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（ ）
A．287B．272C．158D．143
二、多选题
9．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．是周期数列C．D．
三、填空题
11．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，若，则的值为___________.
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；
14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．
15．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.
(1)求的通项公式；
B能力提升
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（ ）个．
A．4753B．4851C．4937D．4950
2．（2023·全国·高三专题练习）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（ ）
A．127B．256C．341D．512
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
4．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：
大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是________.
5．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)若，求的通项公式.
(2)若，求的通项公式.
第01讲 数列的概念与简单表示法
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．110B．128C．144D．89
【答案】C
【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，
所以，，
又因为，，
所以，；
，；
，；
，；
，；
．
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【详解】由题意，，，
两式相减，得，
．
，．
当时，，，
是首项为1，公差为1的等差数列．
．
故选：B
3．（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】把，2，3，4依次代入通项公式，得，，
，.
故选：A
4．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，，，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，∴．
∴，
∴数列的前10项和为
．
故选：C．
5．（2023春·山东潍坊·高二统考期中）已知数列{an}的前n项和为，，，则（ ）
A．64B．62C．32D．30
【答案】B
【详解】，，
则，，，.
故.
故选：B
6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，
，，，，
，
∴．
故选：A．
7．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】当时，数列恒为负，
当时，数列恒为正，
所以当时最小.
故选:B.
8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（ ）
A．287B．272C．158D．143
【答案】D
【详解】因为数列满足，且，
所以，
,
所以.
故选：D.
二、多选题
9．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以，故B项错误；
对于C项，因为，
所以，，，
观察可知，所以数列是周期数列，周期是3，
则，故C项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：ACD.
10．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．是周期数列C．D．
【答案】ABC
【详解】由题意，数列满足，，
当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，；当n=4时，；
当n=5时，；当n=6时，，，
归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：ABC．
三、填空题
11．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【详解】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，若，则的值为___________.
【答案】
【详解】由已知可得，，，，，，
所以，是一个周期数列，周期为3，
所以，.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；
【答案】
【详解】数列满足，
，
，
且，所以当n=1时成立.
所以.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．
【答案】
【详解】依题意，可得，即，解得．
15．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）∵，
当时，，
当时，，
所以，即（），
又∵也适合，
∴；
B能力提升
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（ ）个．
A．4753B．4851C．4937D．4950
【答案】B
【详解】因为，所以或，
因为，
又，所以，
不妨设99个差中有个5，个，则，解得，
于是，所求数列的99个差中，有97个5，2个，
因为这97个5，2个的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列，
所以所求数列的个数为.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（ ）
A．127B．256C．341D．512
【答案】C
【详解】由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，，
∴当n为奇数时，，∴，
又，∴，∴，
故选：C．
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
【答案】BCD
【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立.
对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；
对于B，令，解得；
令，解得；故B正确；
对于C，，则
，
整理得，，故C正确；
对于D，取，且，则令，
则有，故，总存在，使得成立，
故D正确.
故选：BCD.
4．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：
大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是________.
【答案】①②③
【详解】斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确.
，②正确.
，所以③正确.
当时，，，所以④错误.
故答案为：①②③
5．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·
【答案】 / /
【详解】若第幅图中图形的边数记为，则，又，
故
注意到每次操作都是使得原来图形的每条边上长出一个小三角形，设原正三角形（图①）的边长为1，面积，
故第幅图比第幅图新增部分的面积，
则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为；
从而图形的总面积
，
当时，，不断地趋于，
.
故答案为：；.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)若，求的通项公式.
(2)若，求的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，展开得，
与比对系数求得，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）时，可化为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即.
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．110B．128C．144D．89
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
3．（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·山东潍坊·高二统考期中）已知数列{an}的前n项和为，，，则（ ）
A．64B．62C．32D．30
6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
7．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（ ）
A．287B．272C．158D．143
二、多选题
9．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．是周期数列C．D．
三、填空题
11．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，若，则的值为___________.
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；
14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．
15．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.
(1)求的通项公式；
B能力提升
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（ ）个．
A．4753B．4851C．4937D．4950
2．（2023·全国·高三专题练习）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（ ）
A．127B．256C．341D．512
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
4．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：
大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是________.
5．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)若，求的通项公式.
(2)若，求的通项公式.
第01讲 数列的概念与简单表示法
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．110B．128C．144D．89
【答案】C
【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，
所以，，
又因为，，
所以，；
，；
，；
，；
，；
．
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【详解】由题意，，，
两式相减，得，
．
，．
当时，，，
是首项为1，公差为1的等差数列．
．
故选：B
3．（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】把，2，3，4依次代入通项公式，得，，
，.
故选：A
4．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，，，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，∴．
∴，
∴数列的前10项和为
．
故选：C．
5．（2023春·山东潍坊·高二统考期中）已知数列{an}的前n项和为，，，则（ ）
A．64B．62C．32D．30
【答案】B
【详解】，，
则，，，.
故.
故选：B
6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，
，，，，
，
∴．
故选：A．
7．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】当时，数列恒为负，
当时，数列恒为正，
所以当时最小.
故选:B.
8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（ ）
A．287B．272C．158D．143
【答案】D
【详解】因为数列满足，且，
所以，
,
所以.
故选：D.
二、多选题
9．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以，故B项错误；
对于C项，因为，
所以，，，
观察可知，所以数列是周期数列，周期是3，
则，故C项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：ACD.
10．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．是周期数列C．D．
【答案】ABC
【详解】由题意，数列满足，，
当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，；当n=4时，；
当n=5时，；当n=6时，，，
归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：ABC．
三、填空题
11．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【详解】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，若，则的值为___________.
【答案】
【详解】由已知可得，，，，，，
所以，是一个周期数列，周期为3，
所以，.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；
【答案】
【详解】数列满足，
，
，
且，所以当n=1时成立.
所以.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．
【答案】
【详解】依题意，可得，即，解得．
15．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）∵，
当时，，
当时，，
所以，即（），
又∵也适合，
∴；
B能力提升
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（ ）个．
A．4753B．4851C．4937D．4950
【答案】B
【详解】因为，所以或，
因为，
又，所以，
不妨设99个差中有个5，个，则，解得，
于是，所求数列的99个差中，有97个5，2个，
因为这97个5，2个的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列，
所以所求数列的个数为.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（ ）
A．127B．256C．341D．512
【答案】C
【详解】由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，，
∴当n为奇数时，，∴，
又，∴，∴，
故选：C．
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
【答案】BCD
【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立.
对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；
对于B，令，解得；
令，解得；故B正确；
对于C，，则
，
整理得，，故C正确；
对于D，取，且，则令，
则有，故，总存在，使得成立，
故D正确.
故选：BCD.
4．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：
大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是________.
【答案】①②③
【详解】斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确.
，②正确.
，所以③正确.
当时，，，所以④错误.
故答案为：①②③
5．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·
【答案】 / /
【详解】若第幅图中图形的边数记为，则，又，
故
注意到每次操作都是使得原来图形的每条边上长出一个小三角形，设原正三角形（图①）的边长为1，面积，
故第幅图比第幅图新增部分的面积，
则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为；
从而图形的总面积
，
当时，，不断地趋于，
.
故答案为：；.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)若，求的通项公式.
(2)若，求的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，展开得，
与比对系数求得，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）时，可化为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即.
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