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    高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲函数的概念及其表示(高频精讲)(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲函数的概念及其表示(高频精讲)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲函数的概念及其表示(高频精讲)(原卷版+解析),共65页。试卷主要包含了函数的概念,同一函数,函数的表示,分段函数,高频考点结论等内容,欢迎下载使用。

    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12917" 第一部分:知识点必背 PAGEREF _Tc12917 \h 2
    \l "_Tc12001" 第二部分:高考真题回归 PAGEREF _Tc12001 \h 3
    \l "_Tc19526" 第三部分:高频考点一遍过 PAGEREF _Tc19526 \h 4
    \l "_Tc29641" 高频考点一:函数的概念 PAGEREF _Tc29641 \h 4
    \l "_Tc5916" 高频考点二:函数定义域 PAGEREF _Tc5916 \h 5
    \l "_Tc21696" 角度1:具体函数的定义域 PAGEREF _Tc21696 \h 5
    \l "_Tc1388" 角度2:抽象函数定义域 PAGEREF _Tc1388 \h 6
    \l "_Tc21839" 角度3:已知定义域求参数 PAGEREF _Tc21839 \h 6
    \l "_Tc9182" 高频考点三:函数解析式 PAGEREF _Tc9182 \h 7
    \l "_Tc4539" 角度1:凑配法求解析式(注意定义域) PAGEREF _Tc4539 \h 7
    \l "_Tc16119" 角度2:换元法求解析式(换元必换范围) PAGEREF _Tc16119 \h 8
    \l "_Tc2172" 角度3:待定系数法 PAGEREF _Tc2172 \h 8
    \l "_Tc22317" 角度4:方程组消去法 PAGEREF _Tc22317 \h 9
    \l "_Tc19598" 高频考点四:分段函数 PAGEREF _Tc19598 \h 10
    \l "_Tc24194" 角度1:分段函数求值 PAGEREF _Tc24194 \h 10
    \l "_Tc20238" 角度2:已知分段函数的值求参数 PAGEREF _Tc20238 \h 11
    \l "_Tc21534" 角度3:分段函数求值域(最值) PAGEREF _Tc21534 \h 11
    \l "_Tc8966" 高频考点五:函数的值域 PAGEREF _Tc8966 \h 13
    \l "_Tc13688" 角度1:二次函数求值域 PAGEREF _Tc13688 \h 13
    \l "_Tc29781" 角度2:分式型函数求值域 PAGEREF _Tc29781 \h 13
    \l "_Tc14866" 角度3:根式型函数求值域 PAGEREF _Tc14866 \h 14
    \l "_Tc29459" 角度4:根据值域求参数 PAGEREF _Tc29459 \h 15
    \l "_Tc13783" 角度5:根据函数值域求定义域 PAGEREF _Tc13783 \h 15
    \l "_Tc16103" 第四部分:高考新题型 PAGEREF _Tc16103 \h 17
    \l "_Tc8085" ①开放性试题 PAGEREF _Tc8085 \h 17
    \l "_Tc31263" ②探究性试题 PAGEREF _Tc31263 \h 17
    \l "_Tc25651" 第五部分:数学思想方法 PAGEREF _Tc25651 \h 18
    \l "_Tc10900" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc10900 \h 18
    \l "_Tc13446" ②数形结合思想 PAGEREF _Tc13446 \h 18
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    第一部分:知识点必背
    1、函数的概念
    设、是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么称为从集合到集合的一个函数,记作,.
    其中:叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域
    与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
    2、同一(相等)函数
    函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
    同一(相等)函数:如果两个函数的定义和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
    3、函数的表示
    函数的三种表示法
    4、分段函数
    若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.
    5、高频考点结论
    5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:
    (1)分式型函数:分母不等于零.
    (2)偶次根型函数:被开方数大于或等于0.
    (3)一次函数、二次函数的定义域均为
    (4)的定义域是.
    (5)(且),,的定义域均为.
    (6)(且)的定义域为.
    (7)的定义域为.
    5.2函数求值域
    (1)分离常数法:
    将形如()的函数分离常数,变形过程为:
    ,再结合的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域.
    (2)换元法:
    如:函数,可以令,得到,函数
    可以化为(),接下来求解关于t的二次函数的值域问题,求解过程中要注意t的取值范围的限制.
    (3)基本不等式法和对勾函数
    (4)单调性法
    (5)求导法
    第二部分:高考真题回归
    1.(2022·北京·高考真题)函数的定义域是_________.
    2.(2021·浙江·高考真题)已知,函数若,则___________.
    3.(2022·浙江·高考真题)已知函数则________;若当时,,则的最大值是_________.
    4.(2022·北京·高考真题)设函数若存在最小值,则a的一个取值为________;a的最大值为___________.
    第三部分:高频考点一遍过
    高频考点一:函数的概念
    典型例题
    例题1.(2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试)已知集合,下列对应关系中从到的函数为( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023秋·云南昆明·高一统考期末)已知集合,集合,下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
    A.B.
    C.D.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)下列图象中,以为定义域,为值域的函数是( )
    A.B.
    C.D.
    2.(多选)(2023·高一课时练习)下列对应中是函数的是( ).
    A.,其中,,
    B.,其中,,
    C.,其中y为不大于x的最大整数,,
    D.,其中,,
    高频考点二:函数定义域
    角度1:具体函数的定义域
    典型例题
    例题1.(2023春·北京海淀·高一校考开学考试)函数的定义域( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023春·北京·高三校考阶段练习)函数的定义域为__________.
    练透核心考点
    1.(2023春·全国·高一校联考开学考试)函数的定义域为( )
    A.B.C.D.
    2.(2023秋·广东肇庆·高一统考期末)函数的定义域为_____________.
    角度2:抽象函数定义域
    典型例题
    例题1.(2023秋·河北承德·高一统考期末)函数的定义域为,则的定义域为( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试)已知函数的定义域为,则函数的定义域为______.
    练透核心考点
    1.(2023秋·陕西西安·高一统考期末)若函数的定义域为,则函数的定义域为( )
    A.B.
    C.D.
    2.(2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
    A.B.C.D.
    角度3:已知定义域求参数
    典型例题
    例题1.(2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末)函数的定义域为,则的取值范围为( )
    A.B. C.D.
    例题2.(2023秋·陕西西安·高一统考期末)已知函数的定义域为,则实数的值是______.
    例题3.(2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末)已知函数的定义域是,则实数的取值范围是_______.
    例题4.(2023·高一课时练习)若函数的定义域为,则实数的取值范围是______.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,则( )
    A.3B.3C.1D.1
    2.(2023·河北·高三学业考试)函数的定义域为,则实数的值为______.
    3.(2023·上海·高一专题练习)已知函数在上有意义,则实数m的范围是____________.
    4.(2023·全国·高三专题练习)函数定义域为R,则实数k的取值范围为______.
    高频考点三:函数解析式
    角度1:凑配法求解析式(注意定义域)
    典型例题
    例题1.(2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末)已知,则( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023·高一课时练习)已知,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数,则函数的最小值为( )
    A.B.C.D.
    角度2:换元法求解析式(换元必换范围)
    典型例题
    例题1.(2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末)已知函数满足,则解析式是( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023·高一课时练习)已知,则( ).
    A.B.C.D.
    例题3.(2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末)若函数,且,则实数的值为( )
    A.B.C.D.
    例题4.(2023秋·江苏扬州·高三校联考期末)已知,则_________.
    例题5.(2023·高一课时练习)如果,则当且时,_____.
    角度3:待定系数法
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)已知二次函数满足,则( )
    A.1B.7C.8D.16
    例题2.(2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末)已知函数是一次函数,且,则一次函数的解析式为________.
    例题3.(2023·高一课时练习)若二次函数满足,,求.
    例题4.(2023·高一课时练习)(1)已知是一次函数,且满足,求的解析式.
    若二次函数满足,,且图象过原点,求的解析式.
    角度4:方程组消去法
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)若函数满足,则( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·高一课时练习)已知,则______.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知,求的解析式___________.
    例题4.(2023·高一课时练习)已知函数的定义域为,且,则________.
    练透核心考点
    1.(2023春·高一校考开学考试)已知一次函数满足,则( )
    A.12B.13C.14D.15
    2.(2023·高一课时练习)若函数,且,则实数的值为( )
    A.B.或C.D.3
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知,则__________.
    4.(2023秋·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末)设定义在上的函数满足,则___________.
    5.(2023·高一课时练习)(1)已知函数,求函数的解析式
    (2)已知为一次函数,若,求的解析式.
    6.(2023·高一课时练习)已知二次函数满足,且.
    (1)求的解析式;
    高频考点四:分段函数
    角度1:分段函数求值
    典型例题
    例题1.(2023秋·山东临沂·高一统考期末)已知函数,则的值为( )
    A.1B.2C.3D.e
    例题2.(2023·广东·高三统考学业考试)已知函数,若,则的值是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·河北·高三学业考试)已知函数,则的值为( )
    A.B.0C.1D.2
    例题4.(2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末)若,则____________.
    角度2:已知分段函数的值求参数
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)已知函数,若,则实数的值等于( )
    A.B.C.1D.3
    例题2.(2023秋·广东云浮·高一统考期末)若函数且,则_____________.
    例题3.(2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试)设函数,若,则__________.
    例题4.(2023·高三课时练习)已知函数,若,则实数______.
    角度3:分段函数求值域(最值)
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)已知设,则函数的最大值是( )
    A.B.1C.2D.3
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则函数的值域为( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·高一课时练习)若函数,则函数的值域为______.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为______.
    练透核心考点
    1.(2023秋·湖南娄底·高一统考期末)给定函数,用表示中的较大者,记为,例如当时,,则的最小值为( )
    A.B.0C.1D.4
    2.(2023秋·湖南长沙·高一统考期末)已知函数,则( )
    A.的最大值为,最小值为
    B.的最大值为,无最小值
    C.的最大值为,无最小值
    D.的最大值为,最小值为
    3.(2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末)已知函数,则__________.
    4.(2023秋·四川绵阳·高一统考期末)设函数,则______.
    5.(2023·高一课时练习)设函数,若则实数=__________
    6.(2023·高一课时练习)已知函数且,则实数a的值为________.
    7.(2023·高一课时练习)已知函数,若,则_______.
    高频考点五:函数的值域
    角度1:二次函数求值域
    典型例题
    例题1.(2023春·北京海淀·高一校考开学考试)设的定义域是,则函数的值域中含有整数的个数为( )
    A.17B.18C.19D.20
    例题2.(2023·高三课时练习)函数的值域为______.
    例题3.(2023·高一课时练习)函数的值域为_______.
    例题4.(2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末)已知二次函数满足,
    (1)求的解析式;
    (2)当,求的值域.
    角度2:分式型函数求值域
    典型例题
    例题1.(2023·高三课时练习)关于“函数,的最大、最小值与函数,的最大、最小值”,下列说法中正确的是( ).
    A.有最大、最小值,有最大、最小值
    B.有最大、最小值,无最大、最小值
    C.无最大、最小值,有最大、最小值
    D.无最大、最小值,无最大、最小值
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)函数的最大值与最小值的和是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·高一课时练习)函数 的值域
    例题4.(2023·高一课时练习)求函数的值域.
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)求函数的值域.
    角度3:根式型函数求值域
    典型例题
    例题1.(2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末)的最大值是( )
    A.B.2C.D.4
    例题2.(2023·河北·高三学业考试)已知,则的最大值是( )
    A.8B.2C.1D.0
    例题3.(2023·高一课时练习)求函数的值域______.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为___________.
    例题5.(2023·高一课时练习)函数的值域为__________.
    角度4:根据值域求参数
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上的值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    例题4.(多选)(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值可能是( )
    A.0B.C.D.1
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域和值域均为,则的值为__________.
    例题6.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围为__________.
    角度5:根据函数值域求定义域
    典型例题
    例题1.(2023秋·上海闵行·高一统考期末)设函数的定义域为,值域为,下列结论正确的是( )
    A.当时,的值不唯一B.当时,的值不唯一
    C.的最大值为3D.的最小值为3
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例题4.(2023·高一课时练习)解析式相同,定义域不同的两个函数称为“同族函数”.对于函数,值域为{1,2,4}的“同族函数”的个数为______个.
    练透核心考点
    1.(2023秋·河南洛阳·高一统考期末)若函数的定义域为集合,值域为集合,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末)的最大值是( )
    A.B.2C.D.4
    3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    4.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域和值域均为,则的值为__________.
    5.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围为__________.
    6.(2023·高一课时练习)求函数的值域______.
    7.(2023·高一课时练习)函数在上的值域为________.
    8.(2023·高一课时练习)已知函数.
    (1)若函数定义域为R,求a的取值范围;
    (2)若函数值域为,求a的取值范围.
    9.(2023·高三课时练习)已知函数,当时,值域为______;当时,值域为______.
    第四部分:高考新题型
    ①开放性试题
    1.(2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习)写出一个与的定义域和值域均相同,但是解析式不同的函数:____________.
    2.(2022秋·江西·高一校联考阶段练习)若函数和的值域相同,但定义域不同,则称和是“同象函数”.已知函数,写出一个与是“同象函数”的函数的解析式: _________.
    3.(2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中)除函数y=x,外,再写出一个定义域和值域均为的函数______.
    ②探究性试题
    1.(2020秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习)若,则函数( )
    A.有最大值10B.有最小值10
    C.有最大值6D.有最小值6
    2.(2022秋·安徽六安·高一校考期中)若用表示三个数中的最小值,如.则函数的最大值是________.
    第五部分:数学思想方法
    ①函数与方程的思想
    1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数满足,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2023·全国·高三专题练习)若对任意实数,均有,求___________
    3.(2023·高一单元测试)已知函数,存在实数,使得,则实数的取值范围是______.
    ②数形结合思想
    1.(2023·高一单元测试)若函数的定义域是,则其值域为( ).
    A.B.
    C.D.
    2.(多选)(2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试)已知=min{,},下列说法正确的是( )
    A.在区间单调递增
    B.在区间单调递减
    C.有最小值1
    D.有最大值1
    3.(2023·高一课时练习)画出函数的图象,并根据图象回答下列问题.
    (1)比较,,的大小;
    (2)若,比较与的大小;
    (3)求函数的值域.
    解析法(最常用)
    图象法(解题助手)
    列表法
    就是把变量,之间的关系用一个关系式来表示,通过关系式可以由的值求出的值.
    就是把,之间的关系绘制成图象,图象上每个点的坐标就是相应的变量,的值.
    就是将变量,的取值列成表格,由表格直接反映出两者的关系.
    第01讲 函数的概念及其表示(精讲)
    目录
    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24410" 第一部分:知识点必背 PAGEREF _Tc24410 \h 2
    \l "_Tc20133" 第二部分:高考真题回归 PAGEREF _Tc20133 \h 3
    \l "_Tc15476" 第三部分:高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15476 \h 5
    \l "_Tc11366" 高频考点一:函数的概念 PAGEREF _Tc11366 \h 5
    \l "_Tc11044" 高频考点二:函数定义域 PAGEREF _Tc11044 \h 7
    \l "_Tc4896" 角度1:具体函数的定义域 PAGEREF _Tc4896 \h 7
    \l "_Tc32441" 角度2:抽象函数定义域 PAGEREF _Tc32441 \h 8
    \l "_Tc8373" 角度3:已知定义域求参数 PAGEREF _Tc8373 \h 9
    \l "_Tc24086" 高频考点三:函数解析式 PAGEREF _Tc24086 \h 12
    \l "_Tc1763" 角度1:凑配法求解析式(注意定义域) PAGEREF _Tc1763 \h 12
    \l "_Tc18658" 角度2:换元法求解析式(换元必换范围) PAGEREF _Tc18658 \h 13
    \l "_Tc28706" 角度3:待定系数法 PAGEREF _Tc28706 \h 15
    \l "_Tc2903" 角度4:方程组消去法 PAGEREF _Tc2903 \h 16
    \l "_Tc15562" 高频考点四:分段函数 PAGEREF _Tc15562 \h 20
    \l "_Tc15725" 角度1:分段函数求值 PAGEREF _Tc15725 \h 20
    \l "_Tc25091" 角度2:已知分段函数的值求参数 PAGEREF _Tc25091 \h 21
    \l "_Tc4209" 角度3:分段函数求值域(最值) PAGEREF _Tc4209 \h 22
    \l "_Tc16777" 高频考点五:函数的值域 PAGEREF _Tc16777 \h 26
    \l "_Tc1611" 角度1:二次函数求值域 PAGEREF _Tc1611 \h 26
    \l "_Tc18515" 角度2:分式型函数求值域 PAGEREF _Tc18515 \h 27
    \l "_Tc18434" 角度3:根式型函数求值域 PAGEREF _Tc18434 \h 30
    \l "_Tc21395" 角度4:根据值域求参数 PAGEREF _Tc21395 \h 31
    \l "_Tc15670" 角度5:根据函数值域求定义域 PAGEREF _Tc15670 \h 33
    \l "_Tc5812" 第四部分:高考新题型 PAGEREF _Tc5812 \h 39
    \l "_Tc21684" ①开放性试题 PAGEREF _Tc21684 \h 39
    \l "_Tc21051" ②探究性试题 PAGEREF _Tc21051 \h 40
    \l "_Tc11845" 第五部分:数学思想方法 PAGEREF _Tc11845 \h 41
    \l "_Tc27316" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc27316 \h 41
    \l "_Tc6254" ②数形结合思想 PAGEREF _Tc6254 \h 42
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    第一部分:知识点必背
    1、函数的概念
    设、是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么称为从集合到集合的一个函数,记作,.
    其中:叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域
    与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
    2、同一(相等)函数
    函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
    同一(相等)函数:如果两个函数的定义和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
    3、函数的表示
    函数的三种表示法
    4、分段函数
    若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.
    5、高频考点结论
    5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:
    (1)分式型函数:分母不等于零.
    (2)偶次根型函数:被开方数大于或等于0.
    (3)一次函数、二次函数的定义域均为
    (4)的定义域是.
    (5)(且),,的定义域均为.
    (6)(且)的定义域为.
    (7)的定义域为.
    5.2函数求值域
    (1)分离常数法:
    将形如()的函数分离常数,变形过程为:
    ,再结合的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域.
    (2)换元法:
    如:函数,可以令,得到,函数
    可以化为(),接下来求解关于t的二次函数的值域问题,求解过程中要注意t的取值范围的限制.
    (3)基本不等式法和对勾函数
    (4)单调性法
    (5)求导法
    第二部分:高考真题回归
    1.(2022·北京·高考真题)函数的定义域是_________.
    【答案】
    【详解】解:因为,所以,解得且,
    故函数的定义域为;
    故答案为:
    2.(2021·浙江·高考真题)已知,函数若,则___________.
    【答案】2
    【详解】,故,
    故答案为:2.
    3.(2022·浙江·高考真题)已知函数则________;若当时,,则的最大值是_________.
    【答案】 ##
    【详解】由已知,,
    所以,
    当时,由可得,所以,
    当时,由可得,所以,
    等价于,所以,
    所以的最大值为.
    故答案为:,.
    4.(2022·北京·高考真题)设函数若存在最小值,则a的一个取值为________;a的最大值为___________.
    【答案】 0(答案不唯一) 1
    【详解】解:若时,,∴;
    若时,当时,单调递增,当时,,故没有最小值,不符合题目要求;
    若时,
    当时,单调递减,,
    当时,
    ∴或,
    解得,
    综上可得;
    故答案为:0(答案不唯一),1
    第三部分:高频考点一遍过
    高频考点一:函数的概念
    典型例题
    例题1.(2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试)已知集合,下列对应关系中从到的函数为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】对于A,在对于关系中,当时,,则集合中没有元素和对应,不是从集合到集合的函数,故A错误,
    对于B,在对于关系中,当时,,则集合中没有元素和对应,不是从集合到集合的函数,故B错误,
    对于C,在对于关系中,当时,,则集合中没有元素和对应,不是从集合到集合的函数,故C错误,
    对于D,在对于关系中,因为,所以,且则集合中任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应,满足函数的定义,是从集合到集合的函数,故D正确,
    故选:D.
    例题2.(2023秋·云南昆明·高一统考期末)已知集合,集合,下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】对选项A:存在点使一个与两个对应,不符合,排除;
    对选项B:当时,没有与之对应的,不符合,排除;
    对选项C:的范围超出了集合的范围,不符合,排除;
    对选项D:满足函数关系的条件,正确.
    故选:D
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)下列图象中,以为定义域,为值域的函数是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】对于,其对应函数的值域不是,错误;
    对于,图象中存在一部分与轴垂直,即此时对应的值不唯一,该图象不是函数的图象,错误;
    对于,其对应函数的定义域为,值域是,正确;
    对于,图象不满足一个对应唯一的,该图象不是函数的图象,错误;
    故选:.
    2.(多选)(2023·高一课时练习)下列对应中是函数的是( ).
    A.,其中,,
    B.,其中,,
    C.,其中y为不大于x的最大整数,,
    D.,其中,,
    【答案】BCD
    【详解】对于A,,其中不满足一个自变量有唯一一个实数与之对应,例如时,;不满足定义,故A不正确;
    对于B,,其中,,,
    时,,时,,
    时,,时,,,
    满足定义,故B正确;
    对于C,,其中y为不大于x的最大整数,,;满足定义,故C正确;
    对于D,,其中,,满足定义,故D正确,
    故选:BCD.
    高频考点二:函数定义域
    角度1:具体函数的定义域
    典型例题
    例题1.(2023春·北京海淀·高一校考开学考试)函数的定义域( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】函数要有意义,
    需满足,解得,且,
    故函数定义域为:,
    故选:B
    例题2.(2023春·北京·高三校考阶段练习)函数的定义域为__________.
    【答案】
    【详解】由已知得,解得且,
    即函数的定义域为.
    故答案为:.
    练透核心考点
    1.(2023春·全国·高一校联考开学考试)函数的定义域为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】由得:,即的定义域为.
    故选:A.
    2.(2023秋·广东肇庆·高一统考期末)函数的定义域为_____________.
    【答案】
    【详解】由已知得,解得,
    即函数的定义域为.
    故答案为:.
    角度2:抽象函数定义域
    典型例题
    例题1.(2023秋·河北承德·高一统考期末)函数的定义域为,则的定义域为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】解:由题意得
    解得且.
    故选:D
    例题2.(2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试)已知函数的定义域为,则函数的定义域为______.
    【答案】
    【详解】因为函数的定义域为,则,
    所以,则有,解得:,
    所以函数的定义域为,
    故答案为:.
    练透核心考点
    1.(2023秋·陕西西安·高一统考期末)若函数的定义域为,则函数的定义域为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】因为函数的定义域为,
    所以要使有意义,则
    ,解得且,
    所以原函数的定义域为,
    故选:C.
    2.(2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】因为的定义域为,则,解得,则,所以的定义域为.
    故选:B
    角度3:已知定义域求参数
    典型例题
    例题1.(2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末)函数的定义域为,则的取值范围为( )
    A.B. C.D.
    【答案】A
    【详解】当时,,定义域不为;
    当时,若函数的定义域为,
    则,解得
    故选:A.
    例题2.(2023秋·陕西西安·高一统考期末)已知函数的定义域为,则实数的值是______.
    【答案】2
    【详解】由题意,要使函数有意义,
    则,即,
    所以,此时由,可得,符合题意.
    故答案为:2.
    例题3.(2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末)已知函数的定义域是,则实数的取值范围是_______.
    【答案】
    【详解】时,满足题意,
    时,由恒成立得得,
    综上的取值范围是.
    故答案为:.
    例题4.(2023·高一课时练习)若函数的定义域为,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【详解】函数的定义域为,
    当时,,满足;
    当时,需满足,解得.
    综上所述:.
    故答案为:
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,则( )
    A.3B.3C.1D.1
    【答案】A
    【详解】由,得,
    由题意可知上式的解集为,
    所以为方程的一个根,
    所以,得,
    故选:A
    2.(2023·河北·高三学业考试)函数的定义域为,则实数的值为______.
    【答案】
    【详解】的定义域满足:,解集为,
    故且,解得.
    故答案为:
    3.(2023·上海·高一专题练习)已知函数在上有意义,则实数m的范围是____________.
    【答案】
    【详解】要使函数有意义,则(),
    解得,所以函数的定义域为,
    所以,所以,解得,
    所以实数m的范围是.
    故答案为:
    4.(2023·全国·高三专题练习)函数定义域为R,则实数k的取值范围为______.
    【答案】
    【详解】解:因为函数定义域为R,
    所以在R上恒成立,
    所以,解得.
    故答案为:.
    高频考点三:函数解析式
    角度1:凑配法求解析式(注意定义域)
    典型例题
    例题1.(2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末)已知,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】由题意,
    故,
    故选:D
    例题2.(2023·高一课时练习)已知,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】因为,
    所以,
    则,.
    综上:只有B正确.
    故选:B
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数,则函数的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】因为,
    所以.
    从而,
    当时,取得最小值,且最小值为.
    故选:D
    角度2:换元法求解析式(换元必换范围)
    典型例题
    例题1.(2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末)已知函数满足,则解析式是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】设,故,则,
    所以.
    故选:A
    例题2.(2023·高一课时练习)已知,则( ).
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】令,则,;
    所以.
    故选:D.
    例题3.(2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末)若函数,且,则实数的值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】因为,所以令,则,
    所以,所以,
    因为,所以,
    故选:B.
    例题4.(2023秋·江苏扬州·高三校联考期末)已知,则_________.
    【答案】(且)
    【详解】由,
    令,(且,且),
    则,(且),
    ∴(且),
    ∴(且).
    故答案为:(且).
    例题5.(2023·高一课时练习)如果,则当且时,_____.
    【答案】
    【详解】由题意,令,则且,
    因为,所以,其中且,
    所以.
    故答案为.
    角度3:待定系数法
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)已知二次函数满足,则( )
    A.1B.7C.8D.16
    【答案】B
    【详解】设,
    因为,
    所以,
    化简可得:,
    所以,所以,所以,
    所以,所以,
    故选:B.
    例题2.(2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末)已知函数是一次函数,且,则一次函数的解析式为________.
    【答案】或
    【详解】函数是一次函数,
    设.

    ,解得或,
    故答案为:或.
    例题3.(2023·高一课时练习)若二次函数满足,,求.
    【答案】.
    【详解】因为二次函数满足;所以设,
    则:;
    因为,
    所以;
    ∴;∴;∴,;
    ∴.
    故答案为: .
    例题4.(2023·高一课时练习)(1)已知是一次函数,且满足,求的解析式.
    (2)若二次函数满足,,且图象过原点,求的解析式.
    【答案】(1)f(x)=-2x-9;(2)g(x)=3x2-2x.
    【详解】(1)设f(x)=kx+b(k≠0),
    则f(x+1)-2f(x-1)=kx+k+b-2kx+2k-2b=-kx+3k-b,
    即-kx+3k-b=2x+3不论x为何值都成立,
    ∴解得∴f(x)=-2x-9.
    (2) 设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,
    ∴解得
    ∴g(x)=3x2-2x.
    角度4:方程组消去法
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)若函数满足,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】因为函数满足 ---①
    所以 ---②
    联立①②,得,解得,

    故选:A
    例题2.(2023·高一课时练习)已知,则______.
    【答案】.
    【详解】因为 ①,
    把换成有:
    ②,
    联立①②式有:,
    解得.
    故答案为:.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知,求的解析式___________.
    【答案】,.
    【详解】因为,
    所以,
    消去解得,
    故答案为:,.
    例题4.(2023·高一课时练习)已知函数的定义域为,且,则________.
    【答案】
    【详解】在中,将x换成,则换成x,
    ∴,
    将该方程代入已知方程消去,得.
    故答案为:.
    练透核心考点
    1.(2023春·高一校考开学考试)已知一次函数满足,则( )
    A.12B.13C.14D.15
    【答案】B
    【详解】设,则,
    因为,
    所以,解得,
    所以,.
    故选:B.
    2.(2023·高一课时练习)若函数,且,则实数的值为( )
    A.B.或C.D.3
    【答案】B
    【详解】令(或),,,,.
    故选;B
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知,则__________.
    【答案】,
    【详解】
    又当且仅当,即时等号成立.
    设,则,所以
    所以
    故答案为:,
    4.(2023秋·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末)设定义在上的函数满足,则___________.
    【答案】
    【详解】因为定义在上的函数满足,
    将换成可得:,将其代入上式可得:

    所以,
    故答案为:.
    5.(2023·高一课时练习)(1)已知函数,求函数的解析式
    (2)已知为一次函数,若,求的解析式.
    【答案】(1);(2)或.
    【详解】(1)函数,则,
    所以函数的解析式是.
    (2)因为一次函数,设,
    则,而,
    于是得,解得或,
    所以或.
    6.(2023·高一课时练习)已知二次函数满足,且.
    (1)求的解析式;
    【答案】(1)
    【详解】(1)解:根据题意,设,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以,解得.
    因为,
    所以,解得.
    所以
    高频考点四:分段函数
    角度1:分段函数求值
    典型例题
    例题1.(2023秋·山东临沂·高一统考期末)已知函数,则的值为( )
    A.1B.2C.3D.e
    【答案】C
    【详解】,
    故选:C
    例题2.(2023·广东·高三统考学业考试)已知函数,若,则的值是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】,.
    故选:D.
    例题3.(2023·河北·高三学业考试)已知函数,则的值为( )
    A.B.0C.1D.2
    【答案】D
    【详解】,,.
    故选:D
    例题4.(2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末)若,则____________.
    【答案】3
    【详解】由,.
    故答案为:3
    角度2:已知分段函数的值求参数
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)已知函数,若,则实数的值等于( )
    A.B.C.1D.3
    【答案】A
    【详解】,据此结合题意分类讨论:
    当时,,
    由得,解得,舍去;
    当时,,
    由得,解得,满足题意.
    故选:A.
    例题2.(2023秋·广东云浮·高一统考期末)若函数且,则_____________.
    【答案】1
    【详解】解:因为函数且,
    当时,,解得(舍);
    当时,,解得,
    综上: 1
    故答案为:1
    例题3.(2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试)设函数,若,则__________.
    【答案】
    【详解】由题意可得,当时,,此时方程无解;
    当时,,解得或(舍)
    故答案为:
    例题4.(2023·高三课时练习)已知函数,若,则实数______.
    【答案】或
    【详解】当时,由,可得,合乎题意;
    当时,由,解得,合乎题意;
    当时,由,解得,不合乎题意.
    综上所述,或.
    故答案为:或.
    角度3:分段函数求值域(最值)
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)已知设,则函数的最大值是( )
    A.B.1C.2D.3
    【答案】B
    【详解】当,即时,在上单调递增,所以,当,即时,在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以;
    综上:函数的最大值为1
    故选:B
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则函数的值域为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】时,,则;
    时,,则;
    故函数的值域为.
    故选:A.
    例题3.(2023·高一课时练习)若函数,则函数的值域为______.
    【答案】
    【详解】当时, ,
    当时,,
    故函数的值域为,
    故答案为:
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为______.
    【答案】
    【详解】当时,
    当时,
    综上可得,的值域为
    故答案为:
    练透核心考点
    1.(2023秋·湖南娄底·高一统考期末)给定函数,用表示中的较大者,记为,例如当时,,则的最小值为( )
    A.B.0C.1D.4
    【答案】B
    【详解】令,可得,即,解得;
    令,可得,即,解得或.
    所以.
    作出的图象如图所示:
    由图象可得的最小值为0.
    故选:B.
    2.(2023秋·湖南长沙·高一统考期末)已知函数,则( )
    A.的最大值为,最小值为
    B.的最大值为,无最小值
    C.的最大值为,无最小值
    D.的最大值为,最小值为
    【答案】C
    【详解】在同一坐标系中先画出与的图象,
    然后根据定义画出的图象(图中实线部分)
    由图象可知,当时,取得最大值,
    由得或(舍去),
    此时函数有最大值,无最小值.
    故选:C.
    3.(2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末)已知函数,则__________.
    【答案】7
    【详解】由已知可得,,所以.
    故答案为:7.
    4.(2023秋·四川绵阳·高一统考期末)设函数,则______.
    【答案】
    【详解】函数,则,
    所以.
    故答案为:
    5.(2023·高一课时练习)设函数,若则实数=__________
    【答案】或1.
    【详解】时,,,
    时,,(负数舍去),
    综上或1.
    故答案为:或1.
    6.(2023·高一课时练习)已知函数且,则实数a的值为________.
    【答案】##或##或
    【详解】当时,,解得:,成立,
    当时,,解得:,
    所以.
    故答案为:
    7.(2023·高一课时练习)已知函数,若,则_______.
    【答案】
    【详解】解:因为,且,
    所以或,
    解得或无解;
    故答案为:
    高频考点五:函数的值域
    角度1:二次函数求值域
    典型例题
    例题1.(2023春·北京海淀·高一校考开学考试)设的定义域是,则函数的值域中含有整数的个数为( )
    A.17B.18C.19D.20
    【答案】B
    【详解】
    所以的对称轴为:,
    所以在单调递增,


    的值域为,
    则函数的值域中含有整数的个数为18.
    故选:B.
    例题2.(2023·高三课时练习)函数的值域为______.
    【答案】
    【详解】令,则,
    所以.
    故答案为:.
    例题3.(2023·高一课时练习)函数的值域为_______.
    【答案】
    【详解】因为
    所以,所以值域为
    故答案为:
    例题4.(2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末)已知二次函数满足,
    (1)求的解析式;
    (2)当,求的值域.
    【答案】(1)
    (2)
    【详解】(1)设二次函数
    由,可得
    则,解之得
    则二次函数的解析式为
    (2)由(1)得,,
    则在单调递减,在单调递增
    又,,
    则当时的值域为
    角度2:分式型函数求值域
    典型例题
    例题1.(2023·高三课时练习)关于“函数,的最大、最小值与函数,的最大、最小值”,下列说法中正确的是( ).
    A.有最大、最小值,有最大、最小值
    B.有最大、最小值,无最大、最小值
    C.无最大、最小值,有最大、最小值
    D.无最大、最小值,无最大、最小值
    【答案】C
    【详解】,,
    画出函数图象如下:
    函数,无最大值,也无最小值;
    当时,此时函数的图象为上一些点,
    当且时,,当且时,,
    且函数在且上单调递减,在当且上时单调递减,
    故时,取得最小值,当时,取得最大值.
    故选:C
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)函数的最大值与最小值的和是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】设,则有,
    当时,代入原式,解得.
    当时,,
    由,解得,于是的最大值为,最小值为,
    所以函数的最大值与最小值的和为.
    故选:B.
    例题3.(2023·高一课时练习)函数 的值域
    【答案】
    【详解】原函数可化为
    ①时,方程不成立;
    ②时,由得,解得.
    综上:
    故函数值域为:.
    例题4.(2023·高一课时练习)求函数的值域.
    【答案】
    【详解】因为,
    所以当时,;
    当时,原函数化为,
    所以,整理得,
    解得即或,
    ∴综上,函数的值域为.
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)求函数的值域.
    【答案】.
    【详解】,
    因,即,则,
    当且仅当,即 时等号成立,于是得,
    所以原函数的值域为.
    角度3:根式型函数求值域
    典型例题
    例题1.(2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末)的最大值是( )
    A.B.2C.D.4
    【答案】A
    【详解】设,
    则,
    因为,所以时,的最大值是,
    故选:A.
    例题2.(2023·河北·高三学业考试)已知,则的最大值是( )
    A.8B.2C.1D.0
    【答案】C
    【详解】,当时有最大值为
    故选:
    例题3.(2023·高一课时练习)求函数的值域______.
    【答案】##
    【详解】令,则,所以.又,所以,即函数的值域是.
    故答案为:.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为___________.
    【答案】
    【详解】解:因为,令,则,则,所以,,所以在上单调递增,所以,即的值域为;
    故答案为:
    例题5.(2023·高一课时练习)函数的值域为__________.
    【答案】
    【详解】,由,得,因为在上单调递增,所以,即的值域为.
    故答案为:
    角度4:根据值域求参数
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】当时,,即值域为,满足题意;
    若,设,则需的值域包含,
    ,解得:;
    综上所述:的取值范围为.
    故选:C.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在上的值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】函数在[0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
    时时,
    函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
    所以为使函数在上的值域为,实数m的取值范围是,
    故选:B.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【详解】,
    当时,;当或时,.
    因此当时,函数在区间上的最小值为,
    最大值为,所以,实数的取值范围是.
    故选:C.
    例题4.(多选)(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值可能是( )
    A.0B.C.D.1
    【答案】CD
    【详解】当时,,故不符合题意;
    当时,函数的值域为,
    ,解得.
    故选:CD
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域和值域均为,则的值为__________.
    【答案】
    【详解】解:因为,对称轴为,开口向上,
    所以函数在上单调递增,
    又因为定义域和值域均为,
    所以,即,解得(舍去)或,
    所以.
    故答案为:
    例题6.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围为__________.
    【答案】
    【详解】解:因为函数的值域为,
    所以能够取到大于等于的所有数,
    当时,不合题意;
    当时,则,解得;
    综上可得.
    故答案为:.
    角度5:根据函数值域求定义域
    典型例题
    例题1.(2023秋·上海闵行·高一统考期末)设函数的定义域为,值域为,下列结论正确的是( )
    A.当时,的值不唯一B.当时,的值不唯一
    C.的最大值为3D.的最小值为3
    【答案】D
    【详解】对于A项,当时,显然,则.函数在上的值域为,在上的值域为,又函数在上的值域为,所以,,故A项错误;
    对于B项,当时,函数,则此时函数的值域为,由已知可得,所以,故B错误;
    对于C、D项,
    ①当时,函数,此时函数的值域为,由已知可得,解得,所以;
    ②当时,函数,则此时函数的值域为,由已知可得,解得,所以;
    ③当时,.此时函数在上的值域为,在上的值域为.由已知可得,或.
    当时,即,此时有;
    当时,即,则,此时有.
    综上所述,.
    故C项错误,D项正确.
    故选:D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】解:,
    当时,在上单调递增,
    所以,此时,
    当时,由,
    当且仅当,即 时取等号,
    因为在上单调递增,
    若的值域为,则有,即,则,
    综上,,
    所以实数的取值范围为
    故选:A
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】为开口方向向上,对称轴为的二次函数
    令,解得:,
    即实数的取值范围为
    故选:
    例题4.(2023·高一课时练习)解析式相同,定义域不同的两个函数称为“同族函数”.对于函数,值域为{1,2,4}的“同族函数”的个数为______个.
    【答案】9
    【详解】由题意知,问题的关键在于确定函数定义域的个数,函数解析式为,值域为{1,2,4},
    当时,,当时,,当时,,
    则定义域可以为:,因此“同族函数"共有9个.
    故答案为:9.
    练透核心考点
    1.(2023秋·河南洛阳·高一统考期末)若函数的定义域为集合,值域为集合,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】由解得,所以,
    任取,则,,则,
    所以,即,
    所以在上是增函数,且,,
    所以,
    所以,
    故选:A
    2.(2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末)的最大值是( )
    A.B.2C.D.4
    【答案】A
    【详解】设,
    则,
    因为,所以时,的最大值是,
    故选:A.
    3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】当时,,即值域为,满足题意;
    若,设,则需的值域包含,
    ,解得:;
    综上所述:的取值范围为.
    故选:C.
    4.(2023·全国·高三专题练习)若函数的定义域和值域均为,则的值为__________.
    【答案】
    【详解】解:因为,对称轴为,开口向上,
    所以函数在上单调递增,
    又因为定义域和值域均为,
    所以,即,解得(舍去)或,
    所以.
    故答案为:
    5.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围为__________.
    【答案】
    【详解】解:因为函数的值域为,
    所以能够取到大于等于的所有数,
    当时,不合题意;
    当时,则,解得;
    综上可得.
    故答案为:.
    6.(2023·高一课时练习)求函数的值域______.
    【答案】##
    【详解】令,则,所以.又,所以,即函数的值域是.
    故答案为:.
    7.(2023·高一课时练习)函数在上的值域为________.
    【答案】
    【详解】,
    因为,
    所以,当且仅当时取等号,
    则函数在上的值域为,
    故答案为:.
    8.(2023·高一课时练习)已知函数.
    (1)若函数定义域为R,求a的取值范围;
    (2)若函数值域为,求a的取值范围.
    【答案】(1);
    (2).
    【详解】(1)因为函数定义域为R,
    所以在R上恒成立,
    当时,,不符合题意;
    当时,要想在R上恒成立,即在R上恒成立,
    只需,
    所以a的取值范围为;
    (2)当时,,符合题意;
    当时,要想函数值域为,
    只需,
    综上所述:a的取值范围为.
    9.(2023·高三课时练习)已知函数,当时,值域为______;当时,值域为______.
    【答案】
    【详解】由题知,函数,,
    当时,,
    此时,
    当且仅当,即时取等号,
    当时,,此时,

    当且仅当,即时取等号,
    所以当时,值域为;
    当时,
    因为,
    所以,
    当时,,
    当时,,
    所以当时,.
    故答案为:;.
    第四部分:高考新题型
    ①开放性试题
    1.(2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习)写出一个与的定义域和值域均相同,但是解析式不同的函数:____________.
    【答案】(答案不唯一)
    【详解】的定义域为R,值域为,
    故可令,定义域为R,值域为,满足要求.
    故答案为:.
    2.(2022秋·江西·高一校联考阶段练习)若函数和的值域相同,但定义域不同,则称和是“同象函数”.已知函数,写出一个与是“同象函数”的函数的解析式: _________.
    【答案】,(或或等,答案不唯一)
    【详解】的定义域为R,因为,所以,所以的值域为,
    ,则的定义域为,因为,所以,所以的值域为,
    所以与的值域相同,定义域不同,所以与是“同象函数”.
    故答案为:(答案不唯一).
    3.(2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中)除函数y=x,外,再写出一个定义域和值域均为的函数______.
    【答案】(答案不唯一)
    【详解】令,满足定义域和值域均为,
    故答案为:(答案不唯一)
    ②探究性试题
    1.(2020秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习)若,则函数( )
    A.有最大值10B.有最小值10
    C.有最大值6D.有最小值6
    【答案】B
    【详解】因为,
    所以

    当且仅当,即时,等号成立.
    即函数有最小值,
    再由结合对勾函数的性质可知,在上无最大值.
    故选:B.
    2.(2022秋·安徽六安·高一校考期中)若用表示三个数中的最小值,如.则函数的最大值是________.
    【答案】6
    【详解】解:由题知为三个数中的最小值,
    则即是这三个函数中取同一值时,函数值最小的,
    反映到图像上,即是三个函数图像中下方的图像,
    在同一坐标系下画出三个函数图像如图所示:
    由上图像可画出如下所示,
    联立可得,
    由图可知的最大值为6.
    故答案为:6
    第五部分:数学思想方法
    ①函数与方程的思想
    1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数满足,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】由已知可得,解得,其中,因此,.
    故选:C.
    2.(2023·全国·高三专题练习)若对任意实数,均有,求___________
    【答案】##
    【详解】∵(1)
    ∴(2)
    由得,
    ∴.
    故答案为:.
    3.(2023·高一单元测试)已知函数,存在实数,使得,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【详解】由得,即,
    设,则原命题等价于存在t,使得,.
    ∵均单调递增,∴在上单调递增,
    即当时,取得最小值,即,解得.
    故答案为:
    ②数形结合思想
    1.(2023·高一单元测试)若函数的定义域是,则其值域为( ).
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】函数图像可由 图像向右平移一个单位得到,
    如图所示:

    结合图像可知,函数的值域为 .
    故选:D
    2.(多选)(2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试)已知=min{,},下列说法正确的是( )
    A.在区间单调递增
    B.在区间单调递减
    C.有最小值1
    D.有最大值1
    【答案】BD
    【详解】画出的大致图象,如图所示:
    由图象可知,在区间上不单调,在区间单调递减,故错误,正确,
    当或时,取得最大值1,无最小值,故错误,正确,
    故选:.
    3.(2023·高一课时练习)画出函数的图象,并根据图象回答下列问题.
    (1)比较,,的大小;
    (2)若,比较与的大小;
    (3)求函数的值域.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【详解】(1)函数的定义域为R,
    列表:
    描点,连线,得函数图象如图所示:
    根据图象,容易发现,,
    所以.
    (2)根据图象,得到当时,有.
    (3)根据图象,可以看出函数的图象是以为顶点,开口向下的抛物线,
    因此,函数的值域为.
    解析法(最常用)
    图象法(解题助手)
    列表法
    就是把变量,之间的关系用一个关系式来表示,通过关系式可以由的值求出的值.
    就是把,之间的关系绘制成图象,图象上每个点的坐标就是相应的变量,的值.
    就是将变量,的取值列成表格,由表格直接反映出两者的关系.
    x
    -2
    -1
    0
    1
    2
    3
    4
    y
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    4
    3
    0
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