高三数学一轮复习第十章统计与成对数据的统计分析培优专题一6概率、统计的综合问题学案

这是一份高三数学一轮复习第十章统计与成对数据的统计分析培优专题一6概率、统计的综合问题学案，共97页。

(1)注重情境，注重审题
考查概率统计的试题多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．对题目的准确理解，找到数学模型是解答题目的关键．
(2)关注素材，注重图表
图表语言具有直观、简洁、信息量大等特点，高考试题经常以图表作为情境材料呈现，准确读表(图)、识表(图)和用表(图)的能力至关重要，要从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策．
(3)关注生活，注重应用
多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，培养和提升数据处理能力、数学建模能力，培养用数据说话的理性思维．
(4)重视交汇，提升能力
统计与概率具有广泛应用性，一方面，统计和概率、计数原理等知识可以有机结合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学知识相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，有必要针对统计与概率和其他知识相结合的问题进行训练．
[培优案例]
以统计图表为载体的概率统计问题
[例1] 质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值，记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小(只需给出答案)；
(2)若质检部门规定质量指标高于20的“无人机”为优质产品，根据上面抽取的200架“无人机”的质量指标及小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异；
(3)由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)．其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s22，设X表示从乙种“无人机”中随机抽取10架，其质量指标值位于[11.6，35.4]的架数，求X的数学期望．
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝142.75≈11.9；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋b＋c＋d.
[解] (1)由(0.020＋a＋0.025＋a＋0.035)×10＝1，得a＝>s22.
(2)甲种“无人机”中优质率为0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种“无人机”中优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种“无人机”中优质率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架．
列联表如下：
零假设H0：甲、乙两种“无人机”的优质率无差异．
χ2＝200×70×40-60×302130×70×100×100≈2.20<3.841＝x0.05，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为甲、乙两种“无人机”的优质率无差异．
(3)x＝5×0.15＋15×0.25＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.5，
由题意得Z～N(23.5，142.75)，
从而P(11.6≤Z≤35.4)≈0.682 7，
故从乙种“无人机”中随机抽取1架，其质量指标值位于[11.6，35.4]的概率是0.682 7，
根据题意得X～B(10，0.682 7)，
所以E(X )＝10×0.682 7＝6.827.
该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．
概率、统计与数列的综合问题
[例2] 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
[解] (1)X的所有可能取值为－1，0，1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
②由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48-13p1.
由于p8＝1，故p1＝348-1，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝44-13p1＝1257.
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
【教师备用】
时至21世纪，环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题．某市号召市民尽量减少开车以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．
(1)求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；
(2)设Pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．
①用Pn－1表示Pn(n≥2)；
②王先生的这种随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由．
[解] (1)设一次投掷6枚均匀的硬币，得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～B6，12，
故P(ξ＜4)＝C60126+C61126+C62126+C63126＝2132，P(ξ≥4)＝1－2132＝1132，
X的可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝1132×2132＝2311 024，
P(X＝3)＝2132×2132＝4411 024，
P(X＝2)＝1－2311 024-4411 024＝3521 024＝1132，
∴X的分布列为
(2)①Pn＝Pn－1·2132＋(1－Pn－1)·1132
＝516Pn－1＋1132(n≥2)．
②由①可知：Pn－12＝516Pn-1-12(n≥2)，
又P1－12＝12，
∴Pn-12 是以12为首项，以516为公比的等比数列，
∴Pn－12＝12·516n-1，即Pn＝12·516n-1＋12.
∵Pn＝12·516n-1＋12＞12恒成立，
∴王先生每天骑自行车的概率总大于开车的概率，∴王先生的这种随机选择出行方式有积极响应该市政府的号召．
概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为：
(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则；
(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；
(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式．
概率、统计与函数的交汇问题
[例3] (2021·新高考Ⅱ卷改编)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X )；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X )≤1时，p＝1，当E(X )>1时，p<1.
[解] (1)E(X )＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)法一：常规求导
p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，
令f (x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f ′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，
f″(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当E(X )＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，
f ′(x)≤f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，
∴f (x)在(0，1]上单调递减，注意到f (1)＝0，
∴x＝1，即p＝1.
当E(X )＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f ′(0)＝p1－1＜0，
f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，
∴存在唯一的x0∈(0，1)使f ′(x0)＝0，且当0＜x＜x0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x0＜x＜1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
注意到f (0)＝p0＞0，f (1)＝0，
∴f (x0)＜f (1)＝0.
∴f (x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1＜1.
法二：巧妙因式分解
由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X )＝p1＋2p2＋3p3，
由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x⇒p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0，
∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0⇒p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0，
(x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0，
令f (x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f (x)图象的对称轴为x＝－p2+p32p3＜0，
注意到f (0)＝－p0＜0，f (1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X )－1，
当E(X )≤1，f (1)≤0，f (x)的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1，
当E(X )＞1，f (1)＞0，f (x)的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＝x0＜1.
【教师备用】
已知某工厂加工5G手机的某种精密配件的合格率为p(0(1)求p0；
(2)设该工厂加工5G手机的这种精密配件的合格率为p0，在合格品中，优等品的概率为0.5.
①从加工后的这种精密配件中随机抽取若干件，设其中优等品有X件，若P(X＝6)最大，求抽取的这种精密配件最多有多少件；
②已知某5G手机生产商向该工厂提供这种精密配件的原料，经过该工厂加工后，每件优等品、合格品分别以150元、100元被该5G手机生产商回收，同时该工厂对不合格品进行复修，每件不合格品只能复修为合格品或不合格品，且复修为合格品和不合格品的概率均为0.5，复修后的合格品按合格品的价格被回收，复修后的不合格品按废品处理掉，且每件不合格品还需要向该5G手机生产商赔偿原料费30元．若该工厂要求每个这种精密配件至少获利50元，加工费与复修费相等，求一个这种精密配件的加工费最高为多少元？
[解] (1)由题意可知，这种精密配件的不合格率为1－p，则加工后的30件这种精密配件中恰有6件不合格的概率f (p)＝C306(1－p)6p24(0则f ′(p)＝-6C3061-p5p24+24C306(1－p)6p23＝6C306(1－p)5p23(4－5p)，
令f ′(p)>0，解得0所以f (p)在(0，0.8)上单调递增，在(0.8，1)上单调递减，
所以当p＝0.8时，f (p)取得极大值，故p0＝0.8.
(2)①从加工后的这种精密配件中随机抽取一件为优等品的概率为0.8×0.5＝0.4.
设从加工后的这种精密配件中随机抽取n件，由题意可知，X～B(n，0.4)，
且P(X＝k)＝Cnk0.4k×(1－0.4)n－k，
由题意可知，PX=5≤PX=6，PX=7≤PX=6，
即Cn50.45×0.6n-5≤Cn60.46×0.6n-6，Cn70.47×0.6n-7≤Cn60.46×0.6n-6，
解得14≤n≤16.5，又n∈N，所以n的最大值为16，
故抽取的这种精密配件最多有16件．
②设该工厂加工一个这种精密配件获利Y元，加工费与复修费均为m元，
由题意可知，Y的可能取值为150－m，100－m，100－2m，－30－2m，
则随机变量Y的分布列为
则E(Y )＝0.4(150－m)＋0.4(100－m)＋0.1(100－2m)＋0.1(－30－2m)＝107－1.2m，
由题意可知，107－1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一个配件的加工费最高为47.5元．
通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题：
(1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；
(2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制．
【教师备用】
课后习题是如何变为高考题的？
1．(人教B版选择性必修第二册P120练习B T2改编)某企业有甲、乙两个分厂生产同一种产品，在检查产品的优质品率时，从甲、乙两厂各抽取了500件产品，其中甲厂有优质品360件，乙厂有优质品320件．
(1)分别估计甲、乙两厂的优质品率；
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为两厂的优质品率有差异？
[解] (1)甲厂的优质品率为360500＝72%，乙厂的优质品率为320500＝64%.
(2)根据题意可得2×2列联表如下：
零假设H0：两厂的优质品率无差异．
χ2＝1 000×360×180-320×1402680×320×500×500≈7.353>6.635，
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为两厂的优质品率有差异．
2．(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，
[解] (1)根据表中数据，A家公司共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则P(M)＝240260＝1213.
B家公司共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则P(N)＝210240＝78.
所以A家公司长途客车准点的概率为1213，
B家公司长途客车准点的概率为78.
(2)列联表
零假设H0：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关．
χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d＝500×240×30-210×202260×240×450×50≈3.205>2.706，
所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
点评：教材习题与高考试题的背景虽然不同，但问题的求解方法是一致的．第(1)问都是考查用样本的频率估计概率；第(2)问都是用2×2列联表进行独立性检验，两题难度相当，属于容易题，考查了数学运算、数据分析等核心素养．
培优训练(十六) 概率、统计的综合问题
1．某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m(m∈[100，400])，得到如图所示的频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如下表所示：
(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数m；
(2)以样本的频率估计总体的概率，解决下列问题：
①从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中A级零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②该企业采用混装的方式将所有零件按400个为一箱包装出售，已知一个A级零件的利润是12元，一个B级零件的利润是4元，估计每箱零件的利润．
[解] (1)由题意知m＝125×0.05＋175×0.1＋225×0.15＋275×0.4＋325×0.25＋375×0.05＝267.5.
(2)①由题意知随机抽取一个零件，其为A级的概率为1－0.05×2＝0.9，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝C30(1－0.9)3＝0.001，
P(ξ＝1)＝C31×0.9×(1－0.9)2＝0.027，
P(ξ＝2)＝C32×0.92×(1－0.9)＝0.243，
P(ξ＝3)＝C33×0.93＝0.729，
则随机变量ξ的分布列为
法一：所以E(ξ)＝0×0.001＋1×0.027＋2×0.243＋3×0.729＝2.7.
法二：因为ξ～B(3，0.9)，所以E(ξ)＝3×0.9＝2.7.
②设随机抽取一箱零件，其中A级零件有X个，出售该箱零件的利润为Y元，
则B级零件有(400－X )个，Y＝12X＋4(400－X )＝8X＋1 600，
因为X～B(400，0.9)，所以E(X )＝400×0.9＝360，
所以E(Y)＝E(8X＋1 600)＝8E(X )＋1 600＝8×360＋1 600＝4 480.
2．某汽车公司顺应时代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，经计算样本标准差s的近似值为50，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一枚硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k到k＋1)，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k到k＋2)，直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为Pn，试说明{Pn－Pn－1}是否是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解] (1)x＝0.002×50×205＋0.004×50×255＋0.009×50×305＋0.004×50× 355＋0.001×50×405＝300(千米)．
(2)由题意知X～N(300，2 500)．
∴P(250≤X≤400)≈0.954 5－0.954 5-0.682 72＝0.818 6.
∴任取一辆汽车，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为0.818 6.
(3)遥控车开始在第0格为必然事件，P0＝1.
第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格，其概率为12，即P1＝12.
遥控车移到第n(2≤n≤49)格的情况是下面两种，而且只有两种；
①遥控车先到第n－2格，再掷出反面，其概率为12Pn－2；
②遥控车先到第n－1格，再掷出正面，其概率为12Pn－1.
∴Pn＝12Pn－2＋12Pn－1.
∴Pn－Pn－1＝－12(Pn－1－Pn－2)．
∴1≤n≤49时，数列{Pn－Pn－1}是等比数列，首项为P1－P0＝－12，公比为－12.
∴P1－1＝－12，P2－P1＝-122，
P3－P2＝-123，…，
Pn－Pn－1＝-12n.
∴Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P1－P0)＋P0＝-12n＋-12n-1＋…＋-12＋1＝-121--12n1+12＋1＝231--12n+1(n＝0，1，…，49)．
∴遥控车停在“胜利大本营”的概率P49＝231--1250，遥控车停在“失败大本营”的概率P50＝12P48＝12×23×1--1249＝13 1--1249.
∴P49－P50＝23 1--1250-13×1--1249＝13×1--1248>0.
∴遥控车停在“胜利大本营”的概率大．
∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
3．乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为p(0(1)若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为3925p，求乙每局比赛获胜的概率；
(2)若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)，并求当p为何值时，E(ξ)最大．
[解] (1)设事件A为“前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛”，
则P(A)＝1－(1－p)3＝3925 p，化简得25p2－75p＋36＝0，即(5p－3)(5p－12)＝0，
所以p＝35或p＝125(舍去)，所以乙每局比赛获胜的概率为1－p＝25.
(2)由题意知，ξ的所有可能取值分别为2，3，4, 且P(ξ＝2)＝(1－p)2＝1－2p＋p2，
P(ξ＝3)＝p3+C21p(1－p)2＝3p3－4p2＋2p，
P(ξ＝4)＝C32p2(1－p)×1＝3p2－3p3.
则ξ的分布列为
所以E(ξ)＝2(1-2p+p2)+3(3p3-4p2+2p)+4(3p2－3p3)＝－3p3＋2p2＋2p＋2(0当p∈0，22+29时，f ′(p)>0，f (p)单调递增；当p∈22+29，1时，f ′(p)<0，f (p)单调递减．
所以当且仅当p＝22+29时，f (p)最大，即当p＝22+29时，E(ξ)最大．
4．(2024·广东佛山一模)佛山岭南天地位于禅城区祖庙大街2号，主要景点有龙塘诗社、文会里嫁娶屋、黄祥华如意油祖铺、李众胜堂祖铺、祖庙大街等，这里的每一处景色都极具岭南特色，其中龙塘诗社和祖庙大街很受年轻人的青睐．为进一步合理配置旅游资源，现对已在龙塘诗社游览的游客进行随机问卷调查，若继续游玩祖庙大街景点的记2分，若不继续游玩祖庙大街景点的记1分，每位游客选择是否游览祖庙大街的概率均为12，游客之间的选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)①若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m分的概率为Am，求数列Am的前10项和；
②在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1之间的关系式，并求数列Bn的通项公式．
[解] (1)X的可能取值为3，4，5，6.
P(X＝3)＝123＝18，P(X＝4)＝C31123＝38，
P(X＝5)＝C32123＝38，P(X＝6)＝C33123＝18.
所以X的分布列为
则E(X )＝3×18＋4×38＋5×38＋6×18＝92.
(2)①总分恰为m的概率Am＝12m，
所以数列{Am}是首项为12，公比为12的等比数列，
前10项和为S10＝12 1-12101-12＝1－1210＝1 0231 024.
②已调查的累计得分恰为n分的概率为Bn，
而得不到n分的情况只有先得到(n－1)分，再得2分，概率为12Bn－1，其中B1＝12，
所以1－Bn＝12Bn－1，Bn＝－12Bn－1＋1，
所以Bn－23＝－12Bn-1-23，
即Bn-23 是等比数列，公比为－12，首项为B1－23＝－16.
所以Bn－23＝－16-12n-1，
即Bn＝23-16-12n-1＝23+13-12n.
阶段提能(十九) 概率与统计
1．(人教B版选择性必修第二册P122习题4－3BT4)某工厂有25周岁及以上的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁及以上”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”的工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件列出2×2列联表，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为“生产能手”与工人所在的年龄组有关．
[解] (1)由已知得样本中有25周岁及以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁及以上组有60×0.05＝3(人)，分别记为A1，A2，A3，25周岁以下组有40×0.05＝2(人)，分别记为B1，B2，
从中随机抽取2人，所有可能的结果共10种，分别是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，
其中至少抽到一名“25周岁以下”的工人的结果有7种，
故所求概率P＝710.
(2)由频率分布直方图可知在抽取的100名工人中，
“25周岁及以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，
“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，
据此可得2×2列联表：
零假设H0：生产能手与工人所在的年龄组无关．
χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d＝100×15×25-45×15260×40×30×70≈1.786<2.706.
所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为生产能手与工人所在的年龄组无关．
2．(北师大版选择性必修第一册P241习题7－1T1)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
(1)画出散点图；
(2)求Y关于X的经验回归方程；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
[解] (1)散点图如下：
(2)由已知得x＝55，y＝91.7，
(xi-x)(yi－y)＝5 515，
(xi-x)2＝8 250，所以b＝5 5158 250≈0.668，
a≈91.7－0.668×55＝54.96.
所以经验回归方程为y＝0.668X＋54.96.
(3)关于加工零件的个数与加工时间，我们得到的结论是：加工的零件越多，所花的时间大致越长．
3．(人教A版选择性必修第三册P104习题8.1T2)随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下：
顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？
[解] 先画顾客投诉次数和航班正点率的散点图，如图所示．
从散点分布可以看出顾客投诉次数和航班正点率负相关．
下面通过计算，严格说明这一结论．
设航班正点率为x，顾客投诉次数为y.
由数据可得x＝75.88，y＝73.6，xiyi＝53 978.3，
xi2＝57 975.1，yi2＝65 796，
∴r＝53 978.3-10×75.88×73.657 975.1-10×75.882×65 796-10×73.62＝-1 ×11 626.4≈－0.87.
由此可以推断，顾客投诉次数与航班正点率之间呈现出线性相关关系，相关程度较强，且为负相关，顾客投诉次数与航班正点率的变化趋势相反．
4．(人教B版选择性必修第二册P128复习题C组T1)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：万元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中wi＝xi，w＝18wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？
[解] (1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型．
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性经验回归方程．
由于d＝
所以y关于w的经验回归方程为y＝100.6＋68w，
因此y关于x的非线性经验回归方程为y＝100.6＋68x.
(3)由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预测值y＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z的预测值z＝576.6×0.2－49＝66.32.
根据(2)的结果知，年利润z的预测值
z＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.
所以当x＝13.62＝6.8，
即x＝46.24时，z取得最大值．
故年宣传费为46.24万元时，年利润的预测值最大．
5．(2023·上海卷)已知某校50名学生的身高与体重的散点图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．身高越高，体重越重
B．身高越高，体重越轻
C．身高与体重成正相关
D．身高与体重成负相关
C [由题图可知，各数据分布呈线性，且从左向右看，呈现上升趋势，故身高与体重成正相关．故选C.]
6．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
BD [取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，故选BD.]
7．(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是( )
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5
C [因为相关系数r＝0.824 5接近1，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以选项A，B错误，选项C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也会发生变化，所以选项D错误．故选C.]
8．(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为________亿元．
946 [依题意，将2020年四个季度的GDP数据分别记为a1，a2，a3，a4，则a1＝232，a4＝241，四个季度GDP数据的中位数为12(a2＋a3)，平均数为14(a1＋a2＋a3＋a4)，则12(a2＋a3)＝14(a1＋a2＋a3＋a4)，∴a2＋a3＝a1＋a4＝473，故该市2020年的GDP总额为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a4)＝946(亿元)．]
9．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.
(1)求z，s2.
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)．
[解] (1)由题意，求出zi的值如表所示，
则z＝110×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)因为2s210＝26.1＝24.4，z＝11＝121>24.4，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
10．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝1.896≈1.377.
[解] (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x＝0.610＝0.06，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值y＝3.910＝0.39.
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3.
(2)r ＝＝
＝0.247 4-10×0.06×× 8-10×0.392＝0.013 40.000 189 6≈0.013 40.013 77≈0.97，则r≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得＝186Y，解得Y＝1 209 m3.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
11．(2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2
25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3
34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3
40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5
16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2
21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2
32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，
[解] (1)试验组的样本平均数为120×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8.
(2)(ⅰ)将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位数m＝23.2+23.62＝23.4.
列联表如下：
(ⅱ)零假设H0：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差异．
χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d＝40×6×6-14×14220×20×20×20＝6.4>3.841，
依据小概率α＝0.05的独立性检验，认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
12．(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]的最小值．
[解] (1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，
设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100＜c≤105时，
p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
综上所述，f (c)＝-0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c-0.98，100＜c≤105.
由一次函数的单调性知，函数f (c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f (c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f (c)在区间[95，105]的最小值f (c)min＝f (100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(一)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．全集U＝R，集合A＝{2，3，5，7，9}，B＝{4，5，6，8}，则阴影部分表示的集合是( )
A．{2，3，5，7，9} B．{2，3，4，5，6，7，8，9}
C．{4，6，8} D．{5}
C [Venn图的阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，而全集U＝R，集合A＝{2，3，5，7，9}，B＝{4，5，6，8}，
所以(∁UA)∩B＝{4，6，8}．故选C.]
2．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为( )
A．14 B．16 C．18 D．20
B [将这些数据按从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选B.]
3．若非零向量a，b满足(a－4b)⊥a，(b－a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A．π6 B．π3 C．π2 D．5π6
B [∵(a－4b)⊥a，∴(a－4b)·a＝0，即a2＝4a·b，
∵(b－a)⊥b，∴(b－a)·b＝0，即b2＝a·b，
∴cs 〈a，b〉＝a·bab＝a·b4a·ba·b＝12，
又〈a，b〉∈0，π，∴〈a，b〉＝π3，故选B.]
4．儿童手工制作(DIY)对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用．在某节手工课上，小明将一张半径为2 cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥(无裁剪无重叠)，接着将毛线编制成一个彩球，放置于圆锥底部，制作成一个冰激凌模型．已知彩球的表面积为16π cm2，则该冰激凌模型的高(圆锥顶点到球面上点的最远距离)为( )
A．23 cm B．(2＋23) cm
C．6 cm D．43 cm
B [设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，解得r＝1，
所以圆锥的高h＝22-12＝3.
设彩球的半径为R，则4πR2＝16π，解得R＝2.由勾股定理可得彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离为22-12＝3，所以该冰激凌模型的高为2＋3+3＝2＋23.故选B.]
5．已知α∈π2，π，tan 2α＝43，则csα+34πsinα-π4＝( )
A．－13 B．－3 C．3 D．13
A [因为tan 2α＝43，所以2tanα1-tan2α＝43，
解得tanα＝12或tan α＝－2，
因为α∈π2，π，所以tan α＝－2，
所以csα+34πsinα-π4＝csπ+α-π4sinα-π4＝-csα-π4sinα-π4＝－1tanα-π4＝－1+tanαtanα-1＝－13.故选A.]
6．已知ω>0，函数f (x)＝sin ωx+π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．12，54 B．12，34
C．0，12 D．(0，2]
A [由π2由题意ωπ2+π4，ωπ+π4⊆2kπ+π2，2kπ+32π(k∈Z)，
∴ωπ2+π4≥2kπ+π2，k∈Z， ωπ+π4≤2kπ+32π，k∈Z，
解得ω≥12+4k，ω≤54+2k，
由ω>0知54＋2k>0，∴k>－58.
若要不等式组有解，则12＋4k≤54＋2k，
解得k≤38，又k∈Z，∴k＝0，∴12≤ω≤54.
故选A.]
7．函数f (x)＝2x+2-xlnx2+1-x的图象大致为( )
A B
C D
C [设g(x)＝ln (x2+1－x)，对任意x∈R，x2+1>|x|≥x，所以x2+1－x>0，
所以g(x)的定义域为R，
g(－x)＝ln (x2+1＋x)＝ln x2+1+xx2+1-xx2+1-x＝ln 1x2+1-x＝－ln (x2+1－x)＝－g(x)，
所以函数g(x)＝ln (x2+1－x)为奇函数．
令g(x)＝ln (x2+1－x)＝0，
可得x2+1－x＝1，即x2+1＝x＋1，
所以x＋1≥0，可得x≥－1，由x2+1＝x＋1可得x2＋1＝(x＋1)2，解得x＝0，
所以f (x)＝2x+2-xlnx2+1-x的定义域为{x|x≠0}，
又f (－x)＝2-x+2xg-x＝－2-x+2xgx＝－f (x)，
所以函数f (x)为奇函数，排除BD选项，
当x>0时，ln (x2+1－x)＝ln 1x2+1+x是减函数，
则ln (x2+1－x)0，所以f (x)<0，排除A选项．故选C.]
8．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝12，若该数列满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，则下列命题中错误的是( )
A．1Sn是等差数列
B．Sn＝12n
C．an＝－12nn-1
D.{S2n}是等比数列
C [对于A，当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0，
∴1Sn-1-1Sn＋2＝0，即1Sn-1Sn-1＝2，又1S1＝1a1＝2，
∴数列1Sn是以2为首项，2为公差的等差数列，A正确；
对于B，1Sn＝2＋2(n－1)＝2n，
∴Sn＝12n，B正确；
对于C，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n-12n-1＝n-1-n2nn-1＝－12nn-1，
经检验，a1＝12不满足an＝－12nn-1，
∴an＝12，n=1， -12nn-1，n≥2，C错误；
对于D，S2n＝12n+1，
∴S2n+1＝12S2n，又S2＝14，
∴S2n是以14为首项，12为公比的等比数列，D正确．
故选C.]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z，w均不为0，则( )
A．z2＝|z|2 B．zz＝z2z2
C．z-w＝z-w D．zw＝zw
BCD [设z＝a＋bia，b∈R，w＝c＋dic，d∈R.
对于A：因为z＝a＋bia，b∈R，则z2＝a+bi2＝a2－b2＋2abi，
|z|2＝a2+b22＝a2＋b2，故A错误；
对于B: zz＝z2z·z，又z·z＝z2，即有zz＝z2z2，故B正确；
对于C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋b-di，则z-w＝a－c－b-di，
z＝a－bi，w＝c－di，则z-w＝a－bi－c＋di＝a－c－b-di，
即有z-w＝z-w，故C正确；
对于D：zw＝a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝ac+bd-ad-bci c2+d2＝ac+bdc2+d22+ad-bcc2+d22
＝a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2c2+d22＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2c2+d22＝
a2c2+b2d2+a2d2+b2c2c2+d2，
zw＝a2+b2c2+d2＝a2+b2×c2+d2c2+d2＝a2+b2c2+d2c2+d2＝a2c2+b2c2+a2d2+b2d2c2+d2，
故zw＝zw，故D正确．
故选BCD.]
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是( )
A．BC1∥平面AQP
B．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
C．A1D⊥平面AQP
D．异面直线QP与A1C1所成的角为60°
ABD [对于选项A：依题意得BC1∥PQ，PQ⊂平面AQP，BC1⊄平面AQP，
所以BC1∥平面AQP，故A正确；
对于选项B：平面AQP截正方体所得截面为四边形APQD1，
因为AD1∥PQ，且AD1≠PQ，又AP＝D1Q，
所以四边形APQD1为等腰梯形，故B正确；
对于选项C：若A1D⊥平面AQP，则A1D⊥AP，由A1A⊥平面ABCD得A1A⊥AP，且A1D∩A1A＝A1，
所以AP⊥平面ADD1A1，显然矛盾，故C错误；
对于选项D：因为BC1∥PQ，所以∠A1C1B是异面直线QP与A1C1所成的角，
由△A1C1B为等边三角形可知∠A1C1B＝60°，故D正确．故选ABD.]
11．已知定义在R上的偶函数满足f (x＋2)＝f (x－2)，且当x∈[0，2]时，f (x)单调递减，则下列四个命题中正确的是( )
A．周期T＝4
B．直线x＝－2为函数y＝f (x)图象的一条对称轴
C．函数f (x)在区间[－2，9]上存在3个零点
D．若f (x)＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，则x1＋x2＝－2
AB [对于A，因为f (x＋2)＝f (x－2)，所以f (x＋4)＝f (x)，所以周期T＝4，故A正确；
对于B，因为f (x)为偶函数，
所以f (x＋2)＝f (－x－2)，
又f (x＋2)＝f (x－2)，
所以f (－x－2)＝f (x－2)，所以f (x)的图象关于直线x＝－2对称，故B正确；
对于C，若当x∈[0，2]时，f (x)无零点，则根据周期性和对称性可推出f (x)无零点，故C错误；
对于D，因为f (x)的图象关于直线x＝－2对称，且f (x)的周期T＝4，
又f (x)＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，所以x1＋x2＝2×(－2)＝－4，故D错误．故选AB.]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知3x-axx-2x的展开式中各项系数的和为4，则实数a的值为________．
7 [因为3x-axx-2x的展开式中各项系数的和为4，
令x＝1，可得(3－a)(－1)＝4，解得a＝7.故答案为：7.]
13．对于函数f (x)＝sinπx，x∈[0，2]， 12fx-2，x∈2，+∞，若关于x的方程f (x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．
132 [由题意作出函数f (x)＝
sinπx，x∈0，2， 12fx-2，x∈2，+∞的图象，如图所示，
若关于x的方程f (x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，不妨设x1则m＝－12，此时x1＋x2＝3，
又f 72＝－12，则x3＝72，
所以x1＋x2＋x3＝132.故答案为：132.]
14．已知双曲线方程为：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为________．
2 [如图，设F关于渐近线y＝bax对称的点A在渐近线y＝－bax上，
FA的中点B在渐近线y＝bax上，
则∠FOB＝∠BOA，
又∠FOB＝∠AOx，
所以∠FOB＝∠BOA＝∠AOx＝60°，
所以tan 60°＝ba＝3，
所以e＝ca＝a2+b2a2＝1+ba2＝1+3＝2.故答案为：2.]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)从①a8＝3a3，②2S3＝a2＋a8两个条件中任选一个填入横线上，并解答下列问题．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且________．
(1)证明：数列{Sn}为等差数列；
(2)若nan＝(2n－1)Sn，证明：1a1+3S1+12a2+3S2＋…＋1nan+3Sn<12.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[证明] (1)选①：
设{an}的公差为d，由a8＝3a3⇒a1＋7d＝3(a1＋2d)，得d＝2a1，
则Sn＝na1＋nn-12d＝n2a1，
则Sn＝na1，或Sn＝－na1(舍去)，
Sn+1-Sn＝(n＋1)a1－na1＝a1，
所以数列{Sn}是首项为a1，公差为a1的等差数列．
选②：
设{an}的公差为d，由2S3＝a2＋a8⇒2(3a1＋3d)＝2a1＋8d，得d＝2a1，
则Sn＝na1＋nn-12d＝n2a1，
则Sn＝na1，或Sn＝－na1(舍去)，
Sn+1-Sn＝(n＋1)a1－na1＝a1，
所以数列{Sn}是首项为a1，公差为a1的等差数列．
(2)an＝a1＋(n－1)d＝(2n－1)a1，Sn＝na1.
因为nan＝(2n－1)Sn，
所以n(2n－1)a1＝n(2n－1)a1，
解得a1＝1或a1＝0(舍去)．
所以Sn＝na1＝n，
1nan+3Sn＝12n-1Sn+3Sn＝12n+2Sn＝12n+2n＝12×1n+1n＝121n-1n+1，
所以1a1+3S1+12a2+3S2＋…＋1nan+3Sn＝1211-12+12-13+…+1n-1n+1
＝121-1n+1<12.
16．(15分)如图，在三棱柱ADE-BCF中，平面ABCD⊥平面ABFE，四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是平行四边形，且AB＝4，BF＝2，BC＝23，以AB为直径的圆经过点F.
(1)求证：BF⊥平面ADF；
(2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值．
[解] (1)证明：∵以AB为直径的圆经过点F，
∴AF⊥BF，
∵四边形ABCD为矩形，所以AD⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABFE，
平面ABCD∩平面ABFE＝AB，
AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面ABFE，
∵BF⊂平面ABFE，∴AD⊥BF，
又∵AF⊂平面ADF，AD⊂平面ADF，
AF∩AD＝A，
∴BF⊥平面ADF.
(2)∵AD⊥平面ABFE，
AF⊂平面ABFE，AE⊂平面ABFE，
∴AD⊥AE，AD⊥AF，
又∵AE∥BF，∴AF⊥AE，
则AD，AE，AF两两互相垂直，
以点A为原点，AE为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝4，BF＝2，BC＝23，∴AD＝23，
∴在Rt△AFB中，由勾股定理得
AF＝AB2-BF2＝42-22＝23，
则点A(0，0，0)，D(0，0，23)，F(0，23，0)，
B(－2，23，0)，C(－2，23，23)，
则DC＝(－2，23，0)，CF＝(2，0，－23)，
AD＝(0，0，23)，AB＝(－2，23，0)．
设平面ABCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则AD·m=23z1=0， AB·m=-2x1+23y1=0，
取m＝(3，1，0)为平面ABCD的一个法向量，
设平面DEF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则DC·n=-2x2+23y2=0，CF·n=2x2-23z2=0，
取n＝(3，1，1)为平面DEF的一个法向量，
设平面DEF与平面ABCD的夹角为θ，
则cs θ＝m·nmn＝42×5＝255，
所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为255.
17．(15分)某学校举办知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是0.5，且每次答题互不影响．
(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少？
(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少？
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加？并说明理由．
[解] (1)设事件A为挑战者获胜，事件B为不多于两次答题比赛结束．
P(A|B)＝0.5×0.5＝0.25.
(2)设P为先答题者获胜的概率，则P＝0.5×(0.5＋0.5P)，解得P＝13，
所以挑战者获胜的概率是13.
(3)设随机变量X为挑战者连续挑战8人时战胜的守擂者人数，P1为此时挑战者获胜的概率；
Y为挑战者连续挑战9人时战胜的守擂者人数，P2为此时挑战者获胜的概率．
P1＝P(X≥6)＝C86136232+C87137·23 +C88138＝12938，
P2＝P(X≥7)＝C97137232+C98138·23 +C99139＝16339，
显然，P1>P2，即该挑战者胜利的概率没有增加．
18．(17分)已知椭圆M：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，点F1(－1，0)，C(－2，0)分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A，B两点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A(0，3)，求△AOB的面积；
(3)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由左焦点F1(－1，0)、左顶点C(－2，0)可知：c＝1，a＝2，
则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆M的标准方程为x24+y23＝1.
(2)因为A(0，3)，F1(－1，0)，
则过A，F1的直线l的方程为：x-1+y3＝1，即3x－y＋3＝0,
解方程组3-xy+3=0，x24+y23=1，
解得x1=0，y1=3 或x2=-85， y2=-335，
所以S△AOB＝12×|OF1|×|y1－y2|＝12×1×3+335＝435.
(3)若点B在以线段AC为直径的圆上，等价于AB⊥BC，即BF1⊥BC，
设B(x0，y0)(－2则x024+y023＝1⇒y02＝31-x024，
因为C(－2，0)，F1(－1，0)，
则BF1＝(－1－x0，－y0)，BC＝(－2－x0，－y0)，
令BF1·BC＝-1-x0-2-x0+y02＝2+3x0+x02+y02 ＝14x0 2 ＋ 3x0 ＋ 5 ＝ 0，
解得x0＝－2或－10，
又因为－2所以不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上．
19．(17分)已知函数f (x)＝ln x－mx＋2.
(1)求f (x)的极值；
(2)若f (x)在区间1e2，e上有2个零点，求实数m的取值范围．
[解] (1)因为f (x)＝ln x－mx＋2，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x)＝1x－m，
当m≤0时，由于1x>0，则f ′(x)>0恒成立，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)无极值．
当m>0时，令f ′(x)＝0，解得x＝1m，
当00，则f (x)在0，1m上单调递增；
当x>1m时，f ′(x)<0，则f (x)在1m，+∞上单调递减．
所以当m>0时，f (x)在x＝1m处取极大值1－ln m，无极小值．
(2)f (x)＝ln x－mx＋2，
令ln x－mx＋2＝0，得lnx+2x＝m，
令g(x)＝lnx+2x，f (x)在区间1e2，e上有2个零点，
即y＝m与y＝g(x)的图象在区间1e2，e上有2个交点，
又g′(x)＝-1-lnxx2，
令g′(x)＝-1-lnxx2＝0，
解得x＝1e，
当x∈0，1e时，g′(x)>0，g(x)在0，1e上单调递增，
当x∈1e，+∞时，g′(x)<0，g(x)在1e，+∞上单调递减，
则g(x)的最大值为g1e＝e，g(e)＝3e，g1e2＝0，
因为y＝m与y＝g(x)在区间1e2，e上有2个交点，则3e≤m所以实数m的取值范围是3e，e.
2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(二)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|－1A．{－1} B．{－1，3}
C．{3} D．{0，1，2}
B [因为全集U＝R，集合A＝{x|－12}，
又因为B＝{－1，0，1，2，3}，则(∁UA)∩B＝{－1，3}，故选B.]
2．已知i为复数单位，3+ai1-i＝2＋i，则z＝1＋ai的模为( )
A．2 B．1 C．2 D．4
A [由3+ai1-i＝2＋i可得3＋ai＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以a＝－1，
所以z＝1－i，则|z|＝12+-12＝2，故选A.]
3．设四边形ABCD为矩形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝13MC，DN＝2NC，则AM·AN＝( )
A．28 B．32 C．36 D．40
A [由BM＝13MC，则BM＝14BC.
由DN＝2NC，
则DN＝23DC，
在矩形ABCD中，
由AB⊥AD，则AB·AD＝0，
所以AM·AN＝(AB+BM)·(AD+DN)
＝AB+14BC·AD+23DC
＝AB+14AD·AD+23AB
＝AB·AD+23|AB|2＋14|AD|2＋16AB·AD
＝23×36＋14×16＝28，故选A.]
4．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f (x)＝P1+akx+b(P>0，a>1，k<0)的形式．已知f (x)＝61+3kx+b(x∈N)描述的是一种果树的高度随着栽种时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种(x＝0)时该果树的高为1.5 m，经过2年，该果树的高为4.5 m，则该果树的高度不低于5.4 m，至少需要( )
A．2年 B．3年 C．4年 D．5年
B [由题意可得f (0)＝61+3b＝1.5且f (2) ＝ 61 + 32k+b ＝ 4.5，
解得b＝1，k＝－1，故f (x)＝61+3-x+1，
函数f (x)＝61+3-x+1在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝61+3-2＝5.4，
故该果树的高度不低于5.4 m，至少需要3年．故选B.]
5．已知双曲线E：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，过点M(2，0)作E的一条渐近线l的垂线，垂足为P，过点M作x轴的垂线交l于点Q，若△MPQ与△MPO的面积相等(O为坐标原点)，则E的离心率为( )
A．62 B．233 C．3 D．2
D [∵△MPQ与△MPO的面积相等，∴P为OQ的中点，故△OMQ为等腰直角三角形，
∴∠MOQ＝45°，∴ba＝1，
∴a2＝b2，
即a2＝c2－a2，
∴e2＝2，e＝2，故选D.]
6．“α是第二象限角”是“－1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A [sin α＋cs α＝2sin α+π4，若α是第二象限角，即2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，则2kπ＋3π4<α＋π4<2kπ＋5π4，k∈Z，则有－22满足－1所以“α是第二象限角”是“－17．已知函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线与圆心为Q(1，0)的圆相切，则圆Q的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
B [依题意，y′＝ex，则函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线斜率为：k＝y′|x＝0＝e0＝1，
所以函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，
因为该切线x－y＋1＝0与圆心为Q(1，0)的圆相切，所以圆的半径r＝1-0+12＝2，
所以圆Q的面积为πr2＝2π，故选B.]
8．等比数列{an}的首项a1＝164，公比为q，数列{bn}满足bn＝lg0.5an(n是正整数)，若当且仅当n＝4时，bn的前n项和Bn取得最大值，则q的取值范围是( )
A．(3，23) B．(3，4)
C．(22，4) D．(22，32)
C [因为bn＝lg0.5an＝lg0.5(a1·qn-1)＝lg0.5164＋lg0.5qn-1＝6＋(n－1)lg0.5q＝nlg0.5q＋6－lg0.5q，
所以bn是以b1＝6为首项，d＝lg0.5q为公差的等差数列，
若当且仅当n＝4时，bn的前n项和Bn取得最大值，
所以b4>0，b5<0 ⇒6+3lg0.5q>0，6+4lg0.5q<0 ⇒lg0.5q>-2，lg0.5q<-32
⇒lg0.5q>，lg0.5q< ⇒0.5-32即22二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lg N＝n＋lg a，现给出部分常用对数值(如下表)，下列结论正确的是( )
A．510在区间(106，107)内
B．350是15位数
C．若7-50＝a×10m，则m＝－43
D．若m30(m∈N*)是一个35位正整数，则m＝14
ACD [因为lg 510＝10lg 5≈6.99，lg 106＝6lg 10＝6<6.99，lg 107＝7lg 10＝7>6.99，所以510∈(106，107)，故A正确；因为lg 350＝50lg 3≈23.85，350≈1023.85，所以350是24位数，故B错误；因为lg 7-50＝－50lg 7≈－42.25，所以7-50≈10-42.25，又7-50＝a×10m，则m＝－43，故C正确；lg m30＝30lg m，因为m30(m∈N*)是一个35位正整数，所以34≤30lg m<35，即1715≤lg m<76，即1.133 3≤lg m<1.166 7，则m＝14，故D正确，故选ACD.]
10．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示．若某勒洛四面体内的四面体A-BCD的高为22，则( )
A．AB＝32
B．△BCD外接圆的半径为2
C．四面体A-BCD的体积为26
D．该勒洛四面体的表面积为24π
BC [由已知可知勒洛四面体内的四面体是正四面体，根据题意画出正四面体A-BCD，如图所示，
设正四面体的棱长为x，所以正四面体底面外接圆的半径R＝23×sin 60°·x＝33x，
则正四面体的高h＝x2-33x2＝22，解得x＝23，则AB＝23，故A错误；
由x＝23，则正四面体底面外接圆的半径R＝23×sin 60°×23＝33×23＝2，故B正确；正四面体的体积V＝13×12×(23)2×sin 60°×22＝26，故C正确；因为两个该勒洛四面体的表面积小于半径为23的一个球的表面积，而半径为23的一个球的表面积为4π×(23)2＝48π，所以该勒洛四面体的表面积小于24π，故D项错误．故选BC.]
11．设定义在R上的函数f (x)，g(x)满足：①g(0)＝1；②对任意实数x1，x2满足g(x1－x2)＝f (x1)f (x2)＋g(x1)g(x2)；③存在大于零的常数m，使得f (m)＝1，且当x∈(0，m) 时，f (x)>0，g(x)>0.则( )
A．g(m)＝f (0)＝0
B．当x∈(0，m)时，f (x)＋g(x)>1
C．函数f (x)·g(x)在R上没有最值
D．任取x∈R，f (m－x)＝g(x)
ABD [对于A，令x1＝x2＝0，则由条件②可得g(0)＝f (0)f (0)＋g(0)g(0)＝f 2(0)＋g2(0)＝1，故f (0)＝0，
令x1＝m，x2＝m，则g(m－m)＝f (m)f (m)＋g(m)g(m)＝f 2(m)＋g2(m)＝1＋g2(m)＝g(0)⇒g2(m)＝0 ⇒g(m)＝0，故A正确；
对于B，令x1＝x2＝x，则g(0)＝f 2(x)＋g2(x)＝1，
当x∈(0，m)时，f (x)>0，g(x)>0，
所以0故f 2(x)因此f (x)＋g(x)>f 2(x)＋g2(x)＝1，故B正确；
对于C，由B可知g(0)＝f 2(x)＋g2(x)＝1，
所以fx·gx≤f2x+g2x2＝12，
所以－12≤f (x)·g(x)≤12，
当且仅当f (x)＝g(x)＝22或f (x)＝g(x)＝－22时，右边等号成立，因此f (x)·g(x)有最大值为12，故C错误；
对于D，令x1＝m，x2＝m－x，得g(x)＝f (m)f (m－x)＋g(m)g(m－x)＝f (m－x)，故D正确，故选ABD.]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若x-1xn(n∈N*)的展开式中含有x2项，则n的值可以是________(写出满足条件的一个n值即可)．
7(答案不唯一) [x-1xn的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cnk·xn-k2·-1xk＝-1k·Cnk·xn-3k2.
当n-3k2＝2时，n＝3k＋4.故可取k＝1，此时n＝7(答案不唯一)．]
13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴交于T点，P(0，1)，F是C的焦点，Q是C上一点，FQ＝54TP，则p＝________．
56 [抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－p2，由题意得T-p2，0，Fp2，0，
设Q(x0，y0)，则TP＝p2，1，FQ＝x0-p2 ，y0，
因为FQ＝54TP，所以x0-p2 ，y0＝54p2，1，所以x0＝98p，y0＝54，
代入y02＝2px0，得542＝2p×98p，
解得p＝56(负值舍去)，故答案为：56.]
14．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)ω>0，0<φ<π2满足f (x)≤f π6ω恒成立，f (x)＝f (π－x)，且f (x)在区间[0，2π]上有5个零点，则ω＝________．
73 [由题意f π6ω＝sin ω×π6ω+φ＝sin π6+φ＝1，
所以π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝π3＋2kπ(k∈Z)，
因为0<φ<π2，所以φ＝π3，
所以f (x)＝sin ωx+π3.
因为f (x)在区间[0，2π]上有5个零点，
所以5π≤2πω＋π3<6π，
解得73≤ω<176.
因为f (x)＝f (π－x)，
所以函数f (x)＝sin ωx+π3的图象关于直线x＝π2对称，
所以π2ω＋π3＝k1π＋π2，k1∈Z，得ω＝2k1＋13(k1∈Z)，
所以ω＝73，故答案为：73.]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在△ABC中，AD为BC边上的中线，BD＝3，AD＝7，tan ∠BAD＝32.
(1)求△ABC的面积；
(2)若AE＝107AD，求∠BEC.
[解] (1)在△ABD中，由BD＝3，AD＝7，
tan ∠BAD＝32，可得sin ∠BAD＝37，
由正弦定理BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，得∠ABD＝90°，从而AB＝2.
在△ABC中，AB＝2，BC＝23，∠ABC＝90°，
所以S△ABC＝12×2×23＝23.
(2)以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为y轴、x轴，建立坐标系，
则B(0，0)，A(0，2)，
C(23，0)，D(3，0)，
由AE＝107AD，得E1037，-67，
从而EB＝-1037，67，EC＝437，67，
所以cs 〈EB，EC〉＝-844933649×8449＝－12，
所以∠BEC＝120°.
16．(15分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2.
(1)已知点G为AF上一点，且AG＝2，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55，求AF的长及四棱锥D-ABEF的体积．
[解] (1)证明：因为DA⊥平面ABEF，AB，AF⊂平面ABEF，
所以DA⊥AB，DA⊥AF，又AB⊥AF，所以AB、AF、DA两两垂直．以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0，2，0)，E(1，2，0)，
C(0，2，1)，D(0，0，2)，G(2，0，0)，
所以EC＝(－1，0，1)，ED＝(－1，－2，2)，
BG＝(2，－2，0)．
设平面DCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·EC=-x+z=0， n·ED=-x-2y+2z=0，
令x＝2，则z＝2，y＝1，所以n＝(2，1，2)为平面DCE的一个法向量，
因为n·BG＝2×2＋1×(－2)＝2≠0，
所以BG与n不垂直，
所以BG与平面DCE不平行．
(2)设AF＝a(a>0且a≠1)，则F(a，0，0)，
所以BF＝(a，－2，0)，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55，
∴55＝cs〈BF，n〉＝BF·nBF·n＝a，-2，0·2，1，2a2+4×4+1+4＝2a-2a2+4×3，
化简得11a2－40a－16＝0，解得a＝4或a＝－411(舍去)，故AF＝4.
此时S梯形ABEF＝12×(1＋4)×2＝5，
故VD-ABEF＝13S梯形ABEF·DA＝103.
17．(15分)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过点(4，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线MQ，NQ与直线x＝4分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)因为椭圆C的离心率为22，
所以ca＝22，c＝22a.
又b2＋c2＝a2，所以b2＝12a2.
将(2，1)代入椭圆方程，得2a2+1b2＝4a2＝1，
所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22＝1.
(2)当直线l的斜率不为0时， 设直线l：x＝ny＋4，联立得x=ny+4，x24+y22=1，
整理得(n2＋2)y2＋8ny＋12＝0.
则Δ＝64n2－48(n2＋2)＝16n2－96>0，
解得n>6或n<－6.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(s，t)，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝-8nn2+2，y1y2＝12n2+2，
则直线MQ：y－t＝y1-tx1-s(x－s)，
令x＝4，得y＝tn+4-sy1ny1+4-s，
所以A4，tn+4-sy1ny1+4-s，
同理得B4，tn+4-sy2ny2+4-s.
由点A，B关于x轴对称，得yA＋yB＝0，
即tn+4-sy1ny1+4-s+tn+4-sy2ny2+4-s＝0，
整理可得，(tn＋4－s)[(4－s)(y1＋y2)＋2ny1y2]＝0.
易知点Q不在l上，所以tn＋4－s≠0，
所以(4－s)(y1＋y2)＋2ny1y2＝0，
所以(4－s)-8nn2+2＋2n·12n2+2＝0，整理得n(s－1)＝0.
由n的任意性知s＝1，将点Q坐标代入椭圆方程，得14+t22＝1，解得t＝±62，
所以点Q的坐标为1，62或1，-62.
当直线l的斜率为0时，不妨令M(－2，0)，N(2，0)，Q1，62，
此时直线MQ：y＝66(x＋2)，令x＝4，得y＝6，所以A(4，6)，
同理得B(4，－6)，显然点A，B关于x轴对称，满足要求．
经检验，当点Q的坐标为1，-62时，A，B也关于x轴对称．
综上，存在满足题意的点Q，且点Q的坐标为1，62或1，-62.
18．(17分)已知函数f (x)＝x2－a(ln x－a)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f (x)≥a2＋2a－a ln a2－e2.
[解] (1)因为函数f (x)的定义域为(0，＋∞), f ′(x)＝2x－ax＝2x2-ax.
当a≤0时，f ′(x)>0，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>0时，若x∈0，a2，则f ′(x)<0，若x∈a2，+∞，则f ′(x)>0，
所以f (x)在0，a2上单调递减，在a2，+∞上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f (x)在0，a2上单调递减，在a2，+∞上单调递增．
(2)证明：由(1)可知，当a>0时，
f (x)min＝f a2＝a2＋a2－a2ln a2.
要证f (x)≥a2＋2a－a ln a2－e2，只需证f (x)min≥a2＋2a－a ln a2－e2，
即证a2ln a2-3a2＋e2≥0.
令t＝a2，则t>0，要证a2ln a2-3a2＋e2≥0，即证t ln t－3t＋e2≥0.
令g(t)＝t ln t－3t＋e2，则g′(t)＝ln t－2，
当t∈(0，e2)时，g′(t)<0，当t∈(e2，＋∞)时，g′(t)>0，
所以g(t)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，
所以g(t)≥g(e2)＝2e2－3e2＋e2＝0，
故当a>0时，f (x)≥a2＋2a－a ln a2－e2.
19．(17分)为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查．已知某单位有N名员工，其中25是男性，35是女性．
(1)当N＝20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在全市范围内考虑．从N名员工(男、女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1；在二项分布中即男性员工的人数X～B3，25男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001(即P1－P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．(参考数据：578≈24.04)
[解] (1)当N＝20时，男性员工有8人，女性员工有12人．
X服从超几何分布，X＝0，1，2，3，
P(X＝0)＝C123C203＝1157，
P(X＝1)＝C81C122C203＝4495，
P(X＝2)＝C82C121C203＝2895，
P(X＝3)＝C83C203＝14285，
∴X的分布列为
则E(X )＝0×1157＋1×4495＋2×2895＋3×14285＝65.
(2)P1＝C25N 2 C35 N1CN3＝15N25N-1×35N16NN-1N-2＝1825×N25N-1N-1N-2，
P2＝C32252×35＝36125＝0.288，
由于P1－P2≤0.001，则1825×N25 N-1N-1N-2－0.288≤0.001，
即1825×N25N-1N-1N-2≤0.289＝2891 000，
即N25N-1N-1N-2≤2891 000×2518＝289720，
由题意易知(N－1)(N－2)>0，从而720N25N-1≤289(N－1)(N－2)，
化简得N2－147N＋578≥0，又N>0，于是N＋578N≥147，
由于函数y＝x＋578x在x＝578≈24.04处有极小值，从而y＝N＋578N，当N≥25时单调递增，
又142＋578142≈146.07<147，143＋578143≈147.04>147.
因此当N≥143时，符合题意，而又考虑到25N和35N都是整数，则N一定是5的整数倍，于是N＝145，即N至少为145，我们可以在误差不超过0.001(即P1－P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(三)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A．∅ B．S C．T D．Z
C [任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·2n＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T⊆S，
因此，S∩T＝T.故选C.]
2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(0，1)，则z1z2＝( )
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
D [依题意z1＝1－i，z2＝i，所以z1z2＝(1－i)·i＝1＋i.]
3．如图，△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则AD·AE＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [根据题意可知，在△ABE中计算得AE＝3，∠EAD＝30°，
由数量积定义可得AD·AE＝|AD|·|AE|cs 30°＝2×3×32＝3.故选C.]
4．若函数f (x)＝x3·2x+1+a2x+1为R上的偶函数，则实数a的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
A [因为函数f (x)＝x3·2x+1+a2x+1为R上的偶函数，
所以f (－1)＝f (1)，即－1·1+a2-1+1＝1·4+a2+1，
解得a＝－2.
所以f (x)＝x3·2x+1-22x+1，
f (－x)＝－x3·2-x+1-2·2x2-x+1·2x＝－x3·2-2x+11+2x＝x3·2x+1-22x+1＝f (x)，
所以函数f (x)＝x3·2x+1+a2x+1为R上的偶函数．故选A.]
5．已知数列{an}和{bn}均为等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，若anbn为定值，S5＝45，b3＝6，b7＝14，则a5＝( )
A．15 B．56 C．72 D．104
A [在等差数列{an}中，由S5＝5a1+a52＝5a3＝45，得a3＝9，
因为anbn为定值，所以a7b7＝a3b3＝96＝32，
即a7＝21，
所以a5＝a3+a72＝15.故选A.]
6．设a＝ln 2，b＝1.09，c＝e0.3，则( )
A．aC．cA [a＝ln 2e0＝1>a，
令f (x)＝ex－x2－1，则f ′(x)＝ex－2x，
令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，
当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)<0，f ′(x)单调递减，
当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，f ′(x)单调递增，
所以f ′(x)≥f ′(ln 2)＝2(1－ln 2)>0，
所以f (x)在R上单调递增，
所以f (0.3)>f (0)＝0，
即e0.3>1.09，所以c>b.
综上，a7．某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为( )
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
A．455 B．2 718 C．6 346 D．9 545
B [由题意可知，μ＝72，σ＝8，P(80≤X≤88)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)
＝12[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，
则数学成绩位于[80，88]的人数约为0.135 9×20 000＝2 718.故选B.]
8．蹴鞠(如图所示)，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(球)的表面上有四个点A，B，C，P，AC＝BC＝4，PA＝2，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，则该鞠(球)的表面积为( )
A．49π B．64π C．36π D．16π
C [取BP的中点为O，连接OA，OC，
因为PA⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，
故PA⊥AB，
故OP＝OA＝OB.
同理PA⊥BC，而CA⊥BC，CA∩PA＝A，CA，
PA⊂平面PAC，
故BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，
故BC⊥PC，
故OP＝OC＝OB，
综上，O为三棱锥P-ABC外接球的球心，
而PB＝PA2+CA2+CB2＝4+16+16＝6，故外接球的半径为3，
故球的表面积为4π×9＝36π，
故选C.]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是( )
A．这10个月的月销售量的极差为15
B．这10个月的月销售量的第65百分位数为33
C．这10个月的月销售量的中位数为30
D．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
AB [将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10个月的月销售量的极差为15，故A正确；
根据百分位数的定义可知，10×65%＝6.5，
则这10个月的月销售量的第65百分位数为第七个数33，故B正确；
这10个月的月销售量的中位数为28+302＝29，故C错误；
结合图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，
所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误．
故选AB.]
10．函数f (x)＝sin (ωx＋φ)ω>0，φ<π2的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f (x)＝sin 4x-π6
B．f (x)在区间-5π12，-π6上单调递减
C．将f (x)的图象向左平移π12个单位长度所得函数为奇函数
D．方程f (x)＝12在区间0，2π内有4个根
BCD [由题图可得T＝2×5π6-π3＝π，又ω>0，所以ω＝2πT＝2，
因为f π3＝1，所以sin 2×π3+φ＝1，
故2×π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ＝－π6，
故f (x)＝sin 2x-π6，所以A错误；
因为x∈-5π12，-π6，
所以2x－π6∈-π，-π2，
所以f (x)＝sin 2x-π6在区间-5π12，-π6上单调递减，故B正确；
f (x)的图象向左平移π12个单位长度所得函数为y＝sin 2x，该函数为奇函数，故C正确；
因为x∈0，2π，所以2x－π6∈-π6，23π6，由sin 2x-π6＝12得2x－π6＝π6或5π6或13π6或17π6，
解得x＝π6或x＝π2或x＝7π6或x＝3π2，故有4个根，所以D正确．故选BCD.]
11．在直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的倾斜角为π4的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是22，则( )
A．p＝2 B．AB＝9
C．1AF+1BF＝1 D．AF＝2＋2
AC [由题意得AB＝2psin2π4＝4p，设直线l的方程为y＝x－p2，即x－y－p2＝0，
则点O到直线AB的距离是-p212+-12＝24p，
所以12×4p×24p＝22，得p＝2，
所以AB＝8，
1AF+1BF＝2p＝1，AF＝p1-csπ4
＝2(2＋2)，故选AC.]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．现有A，B，C，D，E五人排成一列，其中A与B相邻，C不排在两边，则共有________种不同的排法(用具体数字作答)．
24 [法一：将AB捆绑，则除C以外其他四人的排序有A33·A22＝12种，又C不排在两边，
所以C可选的位置有A21＝2种，所以共12×2＝24种排法．
法二：将AB捆绑，若C的位置任意，则五人的排序有A44·A22＝48种，
其中C排在两边的情况有A21·A33·A22＝24种，
所以C不排在两边的情况有48－24＝24种．]
13．已知函数f (x)＝x2－2，g(x)＝3ln x－ax，若曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)在公共点处的切线相同，则实数a＝________．
1 [设函数f (x)＝x2－2，g(x)＝3ln x－ax图象的公共点坐标为(x0，y0)，
则fx0=gx0，f'x0=g'x0，
即x02-2=3lnx0-ax0，2x0=3x0-a， x0>0，
则3lnx0+x02－1＝0.
令h(x)＝3ln x＋x2－1，易得h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以由3lnx0+x02－1＝0，
解得x0＝1，所以切点坐标为(1，－1)，
所以－1＝3ln 1－a，则a＝1.]
14．已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为33，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且|AF|＝3|FB|，则直线l的斜率为________．
－33或33 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝3|FB|，A，F，B三点共线，
所以AF＝3FB，
所以(－c－x1，－y1)＝3(x2＋c，y2)，
所以x1＋3x2＝－4c，y1＋3y2＝0.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
所以x12a2-9x22a2+y12b2-9y22b2＝－8，
即x1+3x2x1-3x2a2+y1+3y2y1-3y2b2＝－8，
所以-4cx1-3x2a2＝－8，
所以x1－3x2＝2a2c，
所以x1＝a2c－2c，又ca＝33，
所以a2＝3c2，所以x1＝c，
由 c2a2+y12b2＝1，解得y1＝±233c，
当y1＝233c时，直线l的斜率k＝y1x1+c＝33；
当y1＝－233c时，直线l的斜率k＝y1x1+c＝－33，所以直线l的斜率为－33或33.]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-ba-b＝sinAsinC+sinB.
(1)求C；
(2)若a＋b＝6，求△ABC的周长最小值．
[解] (1)因为c-ba-b＝sinAsinC+sinB，
所以由正弦定理可得c-ba-b＝ac+b，
整理得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理的推论知cs C＝a2+b2-c22ab＝ab2ab＝12，
因为0(2)由(1)可知a2＋b2－c2＝ab，整理得c2＝(a＋b)2－3ab＝36－3ab，
且ab≤a+b24＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，
则c2＝36－3ab≥9，即c≥3，可得a＋b＋c≥9，
所以△ABC的周长最小值为9.
16．(15分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD，△ABC是底面的内接正三角形，且DO＝6，P是线段DO上一点．
(1)若PA⊥平面PBC，求PO；
(2)当PO为何值时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大？
[解] (1)因为AE＝AD，OA＝12AE，所以DO＝AD2-OA2＝6，解得AD＝AE＝43，
由于△ABC是等边三角形，圆O是其外接圆，AE是圆O的直径，
所以AE垂直平分BC，OA＝OB＝OC＝23，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinπ3＝43，
所以AB＝6，则AB＝AC＝BC＝6，
由于PA⊥平面PBC，所以PA⊥PC，
由于PA＝OA2+OP2＝OC2+OP2＝PC，
所以△PAC是等腰直角三角形，所以PA＝PC＝6×22＝32，
所以PO＝322-232＝6.
(2)由(1)得AE⊥BC，设AE∩BC＝F，CF＝BF＝3，
OF＝232-32＝3，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，
B(3，3，0)，C(－3，3，0)，E(0，23，0)，
设P(0，0，t)，0则EP＝(0，－23，t)，PB＝(3，3，－t)，
BC＝(－6，0，0)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·PB=3x+3y-tz=0， n·BC=-6x=0，
故可设n＝(0，t，3)，
设直线EP与平面PBC所成角为θ，
则sin θ＝n·EPn·EP＝3t3+t2·12+t2＝3t2+36t2+15，
由于t2＋36t2＋15≥2t2·36t2＋15＝27，当且仅当t2＝36t2，t＝6时等号成立，
所以sin θ≤327＝13，
当t＝0时，点P与点O重合，此时直线EP与平面PBC所成角为0°，其所成角的正弦值为0，
故当PO＝6时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大．
17．(15分)椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为32，R为椭圆C上任意一点，R不在x轴上，△RF1F2的面积的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(1，－1)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点B(0，1)，求证：直线BM，BN的斜率之和kBM＋kBN为定值，并求出定值．
[解] (1)因为椭圆的离心率为32，所以ca＝32，
设R到F1F2的距离为d，因为|F1F2|＝2c，
所以S△RF1F2＝12|F1F2|d＝cd，易得当d＝b时取得最大值，
所以bc＝3，因为b2＝a2－c2，
所以a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)如图，易知点P在椭圆外，
设直线l的方程为x＝my＋m＋1，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，
由x24+y2=1， x=my+m+1，
得(m2＋4)y2＋(2m2＋2m)y＋m2＋2m－3＝0，
所以y1＋y2＝－2m2+2mm2+4，y1y2＝m2+2m-3m2+4，
因为B(0，1)，
所以kBM＝y1-1x1，kBN＝y2-1x2，
所以kBM＋kBN＝y1-1x1+y2-1x2＝x2y1-1+x1y2-1x1x2＝my2+m+1y1-1+my1+m+1y2-1my1+m+1my2+m+1
＝2my1y2+y1+y2-2m-2m2y1y2+m2+my1+y2+m2+2m+1＝2mm+3m-1m2+4-2m2+2mm2+4-2m-2m2m+3m-1m2+4-2mm+1m2+mm2+4+m2+2m+1＝2-8m-48m+4＝－2.
所以kBM＋kBN为定值－2.
18．(17分)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为Pn，若P1＝1.
①求P2，P3；
②证明：数列Pn-14 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
[解] (1)设该选手答对的题目个数为ξ，该选手在第一轮的得分为η，则η＝10ξ，
由题知ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P(ξ＝0)＝C22C52＝110，
P(ξ＝1)＝C21C31C52＝35，
P(ξ＝2)＝C32C52＝310，
故ξ的分布列为
则E(ξ)＝110×0＋35×1＋310×2＝65，
所以E(η)＝10E(ξ)＝12.
(2)①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，
∴P2＝0，则P3＝13.
②由第n次回答的是甲的概率为Pn，得当n≥2时，第n－1次回答的是甲的概率为Pn－1，第n－1次回答的不是甲的概率为1－Pn－1，
则Pn＝Pn－1·0＋(1－Pn－1)·13＝13(1－Pn－1)，即Pn－14＝－13Pn-1-14，
又P1－14＝34，
∴Pn-14 是以34为首项，－13为公比的等比数列，
则Pn＝34×-13n-1＋14，
∴P8＝34×-137＋14<34×-136＋14＝P7，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
19．(17分)已知函数f (x)＝(x－2)ex，g(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f (x)在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)当a＝1时，F(x)＝f (x)＋g(x)，记函数y＝F(x)在12，1上的最大值为m，证明：m<－3.
[解] (1)由题意得f ′(x)＝(x－1)ex，f ′(2)＝e2，又f (2)＝0，
故在点(2，0)处的切线斜率为e2，切线方程为y＝e2x－2e2.
(2)证明：当a＝1时，F(x)＝f (x)＋g(x)＝(x－2)ex＋ln x－x，
则F′(x)＝(x－1)ex＋1x－1＝(x－1)ex-1x，
当12≤x<1时，x－1<0，令h(x)＝ex－1x，
则h′(x)＝ex＋1x2>0，故h(x)在12，1上单调递增．
又h12＝e－2<0，h(1)＝e－1>0，
故存在x0∈12，1，使得h(x0)＝0，即ex0＝1x0，
即ln x0＝－x0，
故当x∈12，x0时，h(x)<0，此时F′(x)>0，
当x∈(x0，1)时，h(x)>0，此时F′(x)<0，
即F(x)在12，x0上单调递增，在(x0，1)上单调递减，则
m＝F(x)max＝F(x0)＝x0-2ex0－x0＋ln x0＝(x0－2)1x0－x0－x0＝1－2x0－2x0.
令G(x)＝1－2x－2x，x∈12，1，
则G′(x)＝2x2－2＝21-x2x2>0,
故G(x)在x∈12，1上单调递增，则G(x)2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(四)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则A∩B＝( )
A．(－1，1) B．(－3，3)
C．{－1，1} D．{－3，－1，1，3}
C [A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，
所以A∩B＝{－1，1}．故选C.]
2．复数z＝12-i＋i2 023(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A．25 B．25i C．－45 D．－45i
C [z＝12-i＋i2 023＝12-i＋(i4)505·i3＝2+i2-i2+i－i＝25+15i－i＝25-45i，故复数z的虚部为－45.故选C.]
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，a4＋a5＝16，则S10＝( )
A．60 B．80 C．90 D．100
D [设等差数列{an}的公差为d，
由已知得a1+d=3， a1+3d+a1+4d=16，解得a1=1，d=2，
所以S10＝10a1＋10×92d＝10×1＋10×92×2＝100.故选D.]
4．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( )
A．275 B．7375 C．7300 D．9731 000
B [记事件A1为取出的一个零件是第一台车床加工的，事件A2为取出的一个零件是第二台车床加工的，事件B为取出的一个零件是合格品，则P(A1)＝23，P(A2)＝13，P(B|A1)＝1－0.03＝0.97，P(B|A2)＝1－0.02＝0.98，故P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝0.97×23＋0.98×13＝7375.故选B.]
5．已知将函数f (x)＝A sin ωx+π4(A，ω∈R)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)＝12cs x的图象，则A＋ω的值为( )
A．－32 B．－12 C．12 D．32
B [将函数f (x)＝A sin ωx+π4(A，ω∈R)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)＝A sin ωx-π4+π4＝A sin ωx+π4-ωπ4＝12cs x，可得A＝12，ω＝－1，所以A＋ω＝－12.故选B.]
6．已知直线x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若CA⊥CB，则实数m的值为( )
A．－4或0 B．－4或4
C．0或4 D．－4或2
A [圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为C(0，－2)，半径为r＝2，
因为CA⊥CB且|CA|＝|CB|＝2，故△ABC为等腰直角三角形，且|AB|＝2|CA|＝22，则圆心C到直线AB的距离为d＝12|AB|＝2，由点到直线的距离公式可得d＝m+22＝2，解得m＝－4或0.故选A.]
7．已知a＝esin 1＋1esin1，b＝etan 2＋1etan2，c＝ecs 3＋1ecs3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>a>b
C [令f (x)＝ex＋e－x，
则f (－x)＝ex＋e－x＝f (x)，
故f (x)为偶函数，f ′(x)＝ex－e－x，
当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＝ex－e－x>0，
故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
而a＝esin 1＋1esin 1＝f (sin 1)，b＝etan 2＋1etan2
＝f (tan 2)＝f (tan(π－2))，
c＝ecs 3＋1ecs3＝f (cs 3)＝f (cs(π－3))
＝f sin3-π2，
因为0＜sin 1＜sin3-π2＜1＜tan(π－2)，
所以f (sin 1)＜f sin3-π2＜f (tan(π－2))，
即b＞c＞a，故选C.]
8．若过点(a，b)(a＞0)可以作曲线y＝xex的三条切线，则( )
A．0＜a＜beb B．－aea＜b＜0
C．0＜ae2＜b＋4 D．－(a＋4)＜be2＜0
D [由y＝xex，得y′＝(x＋1)ex，
设切点为(x0，x0ex0)，则x0+1ex0＝x0ex0-bx0-a，整理得x02-ax0-aex0＝－b，
由题意知关于x0的方程x02-ax0-aex0＝－b有三个不同的解．
令f (x)＝(x2－ax－a)ex，则f ′(x)＝(x＋2)(x－a)ex，
由f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝a，又a＞0，
所以当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当x∈(－2，a)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
又当x→－∞时，f (x)→0，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，
且f (－2)＝4+ae2，f (a)＝－aea＜0，
画出函数f (x)的大致图象如图．
因为f (x)的图象与直线y＝－b有三个交点，
所以0<－b<4+ae2，即－(a＋4)＜be2＜0.故选D.]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是( )
A．若数据x1，x2，…，xn的方差s2＝0，则x1＝x2＝…＝xn
B．若数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据y1，y2，…，yn(其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，n))的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn的众数为78，则可以说总体中的众数为78
AC [对于A，数据x1，x2，…，xn的方差s2＝0，则x1＝x2＝…＝xn，所以选项A正确；对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据y1，y2，…，yn(其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，n))的均值为2×3＋1＝7，所以选项B错误；对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则根据中位数的定义可以估计总体中至少有50%的数据不大于90，所以选项C正确；对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，所以选项D错误．故选AC.]
10．若实数aA．25b<25a<35a
B．若a>1，则lgaab>2
C．若a>0，则b21+a>a21+b
D．若m>53，a，b∈(1，3)，则13(a3－b3)－m(a2－b2)＋a－b>0
BCD [对于A，当a＝0时，25a＝35a，所以选项A错误；对于B，因为a>1，b>a，所以ab>a2>1，又y＝lgax为增函数，
所以lgaab>lgaa2＝2，所以选项B正确；
对于C，b21+a-a21+b＝b21+b-a21+a1+a1+b＝b3-a3+b-ab+a1+a1+b＝b-ab2+a2+ab+a+b1+a1+b，
因为a>0，b>a，所以b>a>0，b－a>0，
所以(1＋a)(1＋b)>0，b2＋a2＋ab＋a＋b>0，
所以b-ab2+a2+ab+a+b1+a1+b>0，即b21+a-a21+b>0，即b21+a>a21+b，所以选项C正确；对于D，13(a3－b3)－m(a2－b2)＋a－b＝13a3－ma2＋a－13b3-mb2+b，令f (x)＝13x3－mx2＋x，则f ′(x)＝x2－2mx＋1，因为m>53，所以f ′(1)＝2－2m<2－103<0，f ′(3)＝10－6m<10－6×53＝0，所以f ′(x)<0在(1，3)上恒成立，所以函数f (x)在(1，3)上单调递减．又1f (b)，即13a3-ma2+a>13 b3－mb2＋b，所以13(a3－b3)－m(a2－b2)＋a－b＝13a3－ma2＋a－13b3-mb2+b>0，所以选项D正确．故选BCD.]
11．随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠(一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作，用来遮阳或避雨)也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”．根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量．现有一个“灯罩斗笠”(如图)，帽坡长为20 cm，帽底宽为203 cm，关于此斗笠，下面说法正确的是( )
A．斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为1003 cm2
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一球上，则该球的表面积为1 600π cm2
D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为(203－30) cm
ACD [斗笠的轴截面如图所示，由题意可知SB＝20，AB＝203，O为AB的中点，连接SO，则sin ∠OSB＝OBSB＝10320＝32，所以∠OSB＝60°，则∠ASB＝120°，所以选项A正确；当截面三角形过斗笠顶点和斗笠侧面上两条互相垂直的母线时(因为轴截面的顶角为120°，所以两条母线可以垂直)，
截面三角形的面积最大，且最大值为12×202＝200(cm2)，所以选项B错误；若此斗笠的顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球为外接球，设此球的半径为R，球心为O1，则O1到S，A，B的距离相等，O1在SO的延长线上，作出点O1，连接AO1，因为此斗笠的高h＝SO＝202-1032＝10，所以OO1＝R－10，在△AOO1中有R2＝(10－R)2＋(103)2，解得R＝20，则该球的表面积S＝4πR2＝1 600π(cm2)，所以选项C正确；
将此斗笠放在平面上，可以盖住的球的半径最大，则此时球为圆锥的内切球，设内切球的半径为r，即轴截面三角形的内切圆的半径为r，
所以S△SAB＝12(20＋20＋203)r＝12×203×10，解得r＝203－30(cm)，所以选项D正确．故选ACD.]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若非零向量a，b满足|a|＝2|b|＝|a＋2b|，则a，b的夹角为________．
2π3 [因为|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cs 〈a，b〉＋4|b|2＝8b2＋8|b|2cs 〈a，b〉＝4|b|2，
解得cs 〈a，b〉＝－12，所以a，b的夹角为2π3.]
13．在x-1x+16的展开式中，含x5项的系数为________．
6 [法一：x-1x+16＝1+x-1x6，展开式的通项Tr＋1＝C6rx-1xr，又x-1xr的展开式的通项T′k＋1＝Crkxr－k-1xk＝-1kCrkxr-2k，则由r－2k＝5，0≤r≤6，0≤k≤r，k，r∈N*，得r＝5，k＝0，所以x-1x+16的展开式中，含x5项的系数为C65·C50·(－1)0＝6.
法二：根据组合知识知要得到含x5的项，需在x-1x+16的括号内的式子中第一项取5次、第二项取0次、第三项取1次，即含x5的项为C65·x5·-1x0·11，所以含x5项的系数为C65＝6.]
14．某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分(n≥4)，每个部分从红、黄、蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花．将总的栽植方案数用an表示，则a4＝________，an＝________．
18 2n＋2·(－1)n [当n＝4时，对区域1，3分类讨论，若区域1，3同色，则第一步栽植区域1有3种方案，第二步栽植区域2有2种方案，第三步栽植区域3有1种方案，第四步栽植区域4有2种方案，所以共有3×2×1×2＝12(种)方案；若区域1，3不同色，则第一步栽植区域1有3种方案，第二步栽植区域2有2种方案，第三步栽植区域3有1种方案，第四步栽植区域4有1种方案，所以共有3×2×1×1＝6(种)方案．所以a4＝12＋6＝18.
当有n＋1个区域时，若不考虑区域1和区域n＋1是否同色，则第一步给区域1栽植有3种方案，第二步给区域2栽植有2种方案，第三步给区域3栽植有2种方案……第n＋1步给区域(n＋1)栽植有2种方案，所以共有3×2n种方案，这3×2n种方案中包含区域1和区域(n＋1)同色和不同色两种情况．若区域1和区域(n＋1)不同色，则共有an＋1种方案，若区域1和区域(n＋1)同色，则可以把这两个区域看作一个区域，记为区域①，则给区域①，2，3，…，n栽植，由题意可知有an种方案，所以an＋1＋an＝3×2n，
即an＋1－2n+1＝－(an－2n)，所以数列{an－2n}(n≥4)是等比数列，且公比为－1，所以an－2n＝(a4－24)·(－1)n-4＝(－1)n·2(注：当n∈Z时，因为n－4与n的奇偶性相同，所以(－1)n-4＝(－1)n)．所以an＝2n＋2·(－1)n.]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝12，Sn＝1－2an＋1，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝lg12an ，且cn＝14bn2-1，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)因为Sn＝1－2an＋1，所以Sn－1＝1－2an(n≥2)，两式相减得2an＋1＝an(n≥2)，
因为a1＝12，Sn＝1－2an＋1，所以令n＝1，可得a2＝12(1－a1)＝14，所以a2a1＝12.
又a1＝12≠0，a2＝14≠0，2an＋1＝an(n≥2)，所以an≠0(n∈N*)，所以an+1an＝12(n∈N*)，
所以数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列，所以an＝12n.
(2)因为an＝12n，所以bn＝lg12an＝n，
所以cn＝14bn2-1＝14n2-1＝12n-12n+1＝1212n-1-12n+1，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1211-13+13-15+…+12n-1-12n+1＝121-12n+1＝n2n+1.
16．(15分)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．
表：甲流水线样本的频数分布表
图：乙流水线样本的频率分布直方图
(1)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.15的χ2独立性检验，能否认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？
附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋b＋c＋d.
[解] (1)由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为P甲＝1550＝310，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为P乙＝(0.012＋0.028)×5＝0.2，
于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，
则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：
5 000×310＝1 500，5 000×0.2＝1 000.
(2)2×2列联表：
则χ2＝100×350-600250×50×75×25≈1.3<2.072＝x0.15，依据小概率值α＝0.15的χ2独立性检验，没有充分证据认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．
17．(15分)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°.
(1)证明：EF⊥平面SBC；
(2)若EF＝12BC，求平面SCD和平面BSC夹角的余弦值．
[解] (1)证明：如图，取SB的中点M，连接FM和MA，则MF∥BC，且MF＝12BC，
因为E是AD的中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥BC，
且AE＝12BC，
所以MF∥AE，且MF＝AE，
所以四边形AEFM为平形四边形，
所以EF∥AM，
因为EF与底面ABCD所成角为45°，所以AM与底面ABCD所成角为45°，
因为SA⊥平面ABCD，SA⊂平面SAB，所以平面SAB⊥平面ABCD，
因为AM⊂平面SAB，所以∠MAB即为AM与底面ABCD所成角，即∠MAB＝45°，
所以△SAB为等腰直角三角形，则AM⊥SB.
因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以SA⊥BC.
又因为AB⊥BC，SA∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AM.
因为BC∩SB＝B，所以AM⊥平面SBC，
所以EF⊥平面SBC.
(2)以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若EF＝12BC，设BC＝2，则EF＝1，
连接AC，取AC的中点H，连接FH，EH，
因为F，H分别为SC，AC的中点，故FH∥SA，
因为SA⊥平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD，
所以FH⊥HE，所以∠FEH＝45°，
所以EH＝FH＝22，CD＝AB＝2，SA＝2，所以D(0，2，0)，B(2，0，0)，S(0，0，2)，C(2，2，0)，
则SC＝(2，2，－2)，BC＝(0，2，0)，CD＝(－2，0，0)，SD＝(0，2，－2)．
设平面BSC的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·SC=2a+2b-2c=0，n·BC=2b=0，
则b=0，a=c，取a＝c＝1，则n＝(1，0，1)为平面BSC的一个法向量．
设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则m·SD=2y-2z=0，m·CD=-2x=0，
则x=0， 2y=2z，取z＝2，则y＝1，则m＝(0，1，2)为平面SCD的一个法向量，
则cs 〈m，n〉＝m·nmn＝22×3＝33，
则平面SCD和平面BSC夹角的余弦值为33.
18．(17分)已知函数f (x)＝(x－a)e2x.
(1)若a＝1，讨论函数g(x)＝f (x)－2x2＋2x的单调性；
(2)若f (x)＋12ln (x＋2)≤xe2x＋12ln a－2，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f (x)＝(x－1)e2x，
g(x)＝f (x)－2x2＋2x＝(x－1)e2x－2x2＋2x，
则g′(x)＝e2x＋(x－1)×2e2x－4x＋2＝(2x－1)·(e2x－2)，
令g′(x)＝0，解得x1＝12，x2＝ln 2，显然ln 2<12，
当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
x∈ln2，12时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
x∈12，+∞时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
综上，g(x)在区间(－∞，ln 2)，12，+∞上单调递增，
在区间ln2，12上单调递减．
(2)f (x)＋12ln (x＋2)≤xe2x＋12ln a－2，
等价于(x－a)e2x＋12ln (x＋2)≤xe2x＋12ln a－2，
即ae2x＋12ln a≥2＋12ln (x＋2)，a>0，
即ae2x＋x＋12ln a≥(x＋2)＋12ln (x＋2)，
即e2x＋ln a＋12(2x＋ln a)≥eln (x+2)＋12ln (x＋2)．
设h(x)＝ex＋12x，
则上式为h(2x＋ln a)≥h(ln (x＋2))，
又函数h(x)在R上单调递增，
则有2x＋ln a≥ln (x＋2)，
即ln a≥－2x＋ln (x＋2)，
令k(x)＝－2x＋ln (x＋2)，x∈(－2，＋∞)，
则k′(x)＝－2＋1x+2＝－2x+3x+2，
令k′(x)＝0，解得x＝－32，
当x∈-2，-32时，k′(x)>0，k(x)单调递增；
当x∈-32，+∞时，k′(x)<0，k(x)单调递减．
则k(x)≤k-32＝－2×-32＋ln -32+2＝3－ln 2.
故由ln a≥3－ln 2＝ln e32，得a≥e32，
故实数a的取值范围为e32，+∞.
19．(17分)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在圆O：x2＋y2＝3上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，PM与PN的斜率均存在，分别记为k1，k2.
(ⅰ)求证：k1·k2＝－1；
(ⅱ)求△OMN面积的取值范围．
[解] (1)因为2b＝2，所以b＝1，
又因为e＝1-b2a2＝22，所以a2＝2，
则椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)(ⅰ)证明：设P(x0，y0)，过P点与椭圆C相切的直线方程为y＝k(x－x0)＋y0，
联立y=kx-x0+y0，x22+y2=1， 得1+2k2x2+4ky0–kx0x+2(kx0－y0)2－2＝0，
由Δ＝0，得x02-2k2-2x0y0k+y02－1＝0，可得k1k2＝y02-1x02-2＝3-x02-1x02-2＝－1.
(ⅱ)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，再设PM：y＝k1(x－x1)＋y1，
联立y=k1x-x1+y1，x22+y2=1，
得1+2k12+4k1y1-k1x1x+2k1x1－y12－2＝0.
由Δ＝0，得x12-2k12-2x1y1k1+y12－1＝0，则k1＝x1y1x12-2＝x1-2y1，PM：y＝x1-2y1(x－x1)＋y1，即x1x＋2y1y＝2，
同理PN：x2x＋2y2y＝2，
因为P(x0，y0)在直线PM，PN上，所以直线MN的方程为x0x＋2y0y＝2，
与椭圆方程联立，可得3+y02x2-4x0x+4-4y02＝0，
所以x1＋x2＝4x03+y02，x1x2＝4-4y023+y02，
所以|MN|＝1+x024y02|x1－x2|＝1+x024y0216x023+y022-16-16y023+y02＝23y02+1y02+3.
O到MN的距离d＝2x02+4y02＝23y02+3，
所以S△OMN＝12·23y02+1y02+3·23y02+3＝2y02+1y02+3，y0≠±1，
令1+y02＝t，则t∈[1，2)∪(2，2]，
所以S△OMN＝22t+t∈23，22.
所以△OMN面积的取值范围为23，22.
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
质量
无人机
合计
甲
乙
优质产品
70
60
130
不是优质产品
30
40
70
合计
100
100
200
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
X
1
2
3
P
2311 024
1132
4411 024
Y
150－m
100－m
100－2m
－30－2m
P
0.4
0.4
0.1
0.1
产品
分厂
合计
甲
乙
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1 000
公司
班次
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
α
0.100
0.050
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
公司
班次
合计
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
质量指
标值m
150≤m<350
100≤m<150或
350≤m≤400
等级
A级
B级
ξ
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
ξ
2
3
4
P
1－2p＋p2
3p3－4p2＋2p
3p2－3p3
X
3
4
5
6
P
18
38
38
18
分组
生产件数
合计
≥80
<80
25周岁及以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
零件数X/个
10
20
30
40
50
加工时间Y/min
62
68
75
81
89
零件数X/个
60
70
80
90
100
加工时间Y/min
95
102
108
115
122
航空
公司
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
航班
正点
率/%
81.8
76.8
76.6
75.7
73.8
72.2
71.2
70.8
91.4
68.5
顾客
投诉
/次
21
58
85
68
74
93
72
122
18
125
x
y
w
(xi
-x)2
(wi
-w)2
(xi-x)·
(yi－y)
(wi-w)·
(yi－y)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
试验
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩
率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩
率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
试验
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zi
9
6
8
－8
15
11
19
18
20
12
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截
面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
试验
体重的增加量
≥m
对照组
试验组
α
0.100
0.050
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
试验
体重的增加量
≥m
对照组
6
14
试验组
14
6
真数x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lg x
(近似值)
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
lg x
(近似值)
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1.255
1.279
X
0
1
2
3
P
1157
4495
2895
14285
ξ
0
1
2
P
110
35
310
质量指标值
频数
(190，195]
9
(195，200]
10
(200，205]
17
(205，210]
8
(210，215]
6
流水线
产品
合计
合格
不合格
甲
乙
合计
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
流水线
产品
合计
合格
不合格
甲
35
15
50
乙
40
10
50
合计
75
25
100