2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第9章统计成对数据的统计分析第2讲成对数据的统计分析

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第9章统计成对数据的统计分析第2讲成对数据的统计分析，共6页。试卷主要包含了相关关系，散点图，正相关、负相关，变量的线性相关，样本相关系数等内容，欢迎下载使用。

知识点一 变量的相关关系
1．相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个 去精确地决定 另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．散点图
每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的 点 表示出来，由这些点组成的统计图称为散点图．
3．正相关、负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现 增加 的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现 减小 的趋势，则称这两个变量负相关．
4．变量的线性相关
如果两个变量的取值呈现 正相关或负相关 ，而且散点落在 一条直线 附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量 非线性相关或曲线相关 .
5．样本相关系数
称r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2)·\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\(y,\s\up6(－))2))为变量x和变量y的相关系数．
r∈[－1,1]，当r>0时，成对样本数据 正相关 ；
当r<0时，成对样本数据 负相关 ；
当|r|接近1时，成对样本数据的线性相关程度 越强 ；
当|r|接近0时，成对样本数据的线性相关程度 越弱 .
知识点二 一元线性回归模型
1．一元线性回归模型
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝ bx＋a＋e ，,Ee＝ 0 ，De＝ σ2 .))我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为 因变量或响应变量 ，x称为 自变量或解释变量 ；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．
2．经验回归方程
记eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,y)i，因此当a，b的取值为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2))).,\(a,\s\up6(^))＝\(y,\s\up6(－))－\(b,\s\up6(^)) \(x,\s\up6(－))，))
(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))称为样本点的中心．
我们将eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为 经验回归直线 ，这种求经验回归方程的方法叫做 最小二乘法 ，求得的eq \(b,\s\up6(^))，eq \(a,\s\up6(^))叫做b，a的 最小二乘估计 .
注：经验回归直线必过样本点中心．
3．残差分析
(1)对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 观测值 ，通过经验回归方程得到的eq \(y,\s\up6(^))称为 预测值 ，观测值减去预测值称为 残差 .残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为 残差分析 .
(2)残差的散点图
残差比较均匀地集中分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对随机误差的假设．
(3)决定系数R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n, )yi－\(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n, )yi－\(y,\s\up6(－))2).
在R2表达式中，eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \(y,\s\up6(－)))2与经验回归方程无关，残差平方和 eq \i\su(i＝1,n,)(yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2 与经验回归方程有关．因此R2越大，意味着残差平方和越 小 ，即模型的拟合效果越 好 ；R2越小，表示残差平方和越 大 ，即模型的拟合效果越 差 .在线性回归模型中，R2表示解释变量对响应变量的贡献率，R2越接近1，拟合效果越好．
知识点三 独立性检验
1．分类变量：用以区别不同的现象或性质的随机变量．
2．2×2列联表
设X，Y为两个分类变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
3.独立性检验
(1)零假设(或原假设)
以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y为定义在Ω上，取值于{0,1}的成对分类变量．
H0： P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1) 称为零假设．
(2)临界值
χ2＝ eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d) .
对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(2≥xα)＝α.称xα为α的 临界值 ，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大．
(3)独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y 不独立 ，该推断犯错误的概率不 超过α ；
当χ2这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
4．独立性检验解决实际问题的一般步骤
(1)提出零假设H0：X与Y相互独立，并给出在问题中的解释．
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2值，并与临界值xα比较．
(3)根据经验规则得出推断结论．
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
归 纳 拓 展
1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性分布时，求出的经验回归方程才有实际意义，否则，求出的经验回归方程毫无意义．根据经验回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
2．相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)·\r(\i\su(i＝1,n,y)\\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2)).
3．独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．根据2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和实际生活．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √ )
(2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0.( × )
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √ )
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．( × )
(5)事件x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大．( √ )
(6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( × )
题组二 走进教材
2．(多选题)(选择性必修3P113T5)对变量y和x的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)进行回归分析，建立回归模型，则( BD )
A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好
B．若由样本数据得到经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则其必过点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))
C．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若y和x的样本相关系数r＝－0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
3．(选择性必修3P132例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名、治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析甲、乙两种疗法的效果，结论为 两种疗法效果没有差异 .
附：
[解析] 由题意的两种疗法数据的列联表
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝eq \f(136×15×63－52×62,67×69×21×115)≈4.881<7.879＝x0.005.
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，
认为两种疗法效果没有差异．
题组三 走向高考
4．(2023·高考天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是( C )
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5
[解析] 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，D选项错误．故选C.
5．(2022·全国高考甲卷(节选))甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
[解析] 根据已知数据得到列联表如下：
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
＝eq \f(500×240×30－210×202,260×240×450×50)≈3.205>2.706.
所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
P(2≥xα)
0.100
0.050
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
公司
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500