高三数学一轮复习第八章解析几何第八课时抛物线学案

这是一份高三数学一轮复习第八章解析几何第八课时抛物线学案，共21页。

把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[典例1] (1)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．
(2)(2023·全国乙卷)已知点A(1，5)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
(3)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
(1)5 45 (2)94 (3)4 [(1)由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2x)，则|FM|＝x-12+4x＝6，解得x＝5.
易得点N(5，0)，从而S△FMN＝12(xN－xF)·|MN|＝12×4×25＝45.
(2)∵点A(1，5)在抛物线C：y2＝2px上，
∴5＝2p，得p＝52，∴点A到准线的距离为xA＋p2＝1＋54＝94.
(3)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.]
[拓展变式]
1．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
[解] 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF|的最小值为1+512+-12＝32，
所以d1＋d2的最小值为32－1.
2．若将本例(3)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] 由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部，
∴|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，又F(1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42+22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.
跟进训练1 (1)(2023·云南保山二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1所成的角为45°时，点Q的轨迹为( )
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
(2)(2023·上海虹口三模)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线x2＋y2－8x－2y＋16＝0上一动点，则|PF|＋|PQ|的最小值为________．
(1)C (2)4 [(1)以点D为原点，DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，设Q(x，y，1)，可得DQ＝(x，y，1)，DA1＝(1，0，1)，因为直线DQ与DA1所成的角为45°，
则cs 45°＝DQ·DA1DQDA1＝x+1x2+y2+1×2＝22，
化简可得y2＝2x，所以点Q的轨迹为抛物线，故选C.
(2)由抛物线C：y2＝4x，可得焦点坐标为F(1，0)，准线方程为l：x＝－1，
又由曲线x2＋y2－8x－2y＋16＝0，可化为(x－4)2＋(y－1)2＝1，可得圆心坐标为M(4，1)，半径r＝1.
过点P作PA⊥l，垂足为A，过点M作MA1⊥l，垂足为A1，交抛物线于P1，如图所示．
根据抛物线的定义，可得|PF|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1，
要使得|PA|＋|PM|取得最小值，只需使得点P与P1重合，此时A与A1重合，即|PA|＋|PM|≥|P1A1|＋|P1M|＝5，当且仅当M，P1，Q1，A1在一条直线上时，等号成立．
所以|PF|＋|PQ|的最小值为5－1＝4.故答案为4.]
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
[典例2] (1)已知动圆P与定圆A：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
(2)(2024·河南襄城模拟预测)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( )
A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8.25 cm
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(1)C (2)C (3)x＝－32 [(1)令P点坐标为(x，y)，A(2，0)，动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PA|＝1＋r，d＝r，
P在直线的右侧，故P到定直线l的距离是d＝x＋1，
所以|PA|－d＝1，即x-22+y2－(x＋1)＝1，
化简得y2＝8x.故选C.
(2)以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p>0)，将点(5，6.25)代入，
得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h，
则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)，代入到x2＝4y中，得42＝4(h－3)，解得h＝7.故选C.
(3)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以OFPF＝PFFQ，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.
法二(应用射影定理法)：由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，PF2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.]
【教师备用】
(2024·河北石家庄模拟预测)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点A(4，－1)，P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|＋d的最小值为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线y＝kx＋1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在时，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得1k1+1k2＝λk3，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
[解] (1)设抛物线C的焦点为F0，p2，根据抛物线的定义得d＝|PF|，|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝42+-1-p22＝5，由于p>0，解得p＝4，
则拋物线C的方程为x2＝8y.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入抛物线C的方程，
整理得x2－8kx－8＝0，
所以x1＋x2＝8k，x1·x2＝－8，
1k1＝x1-4y1+1＝x1-4kx1+2，
同理1k2＝x2-4kx2+2，
则1k1+1k2＝x1-4kx1+2+x2-4kx2+2＝2kx1x2+2-4kx1+x2-16k2x1x2+2kx1+x2+4＝-32k2-168k2+4＝－4，1k3＝0-42＝－2，所以λ＝2 .
1．求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：根据条件求p.
2．抛物线定义的应用规律
提醒：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
3．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
跟进训练2 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝( )
A．1 B．2 C．22 D．4
(2)(2023·河南郑州模拟预测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若|AF|＝3，则△AFB的外接圆面积为( )
A．27π8 B．64π27 C．9π4 D．25π16
(1)B (2)A [(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，它到直线y＝x＋1的距离为d＝p2+12＝2⇒p＝2.故选B.
(2)设A(x1，y1)，由抛物线的定义可知|AF|＝|AB|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，代入抛物线的方程中得到|y1|＝22，由几何关系可知|BF|＝y12+22＝23，sin ∠BAF＝y1AF＝223.
设△AFB的外接圆半径为R，由正弦定理可知2R＝BFsin ∠BAF，解得R＝3322，
所以△AFB的外接圆面积为πR2＝27π8.故选A.]
考点三 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组y=kx+b，y2=2px 解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，直线与抛物线相交；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点，直线与抛物线相切；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点，直线与抛物线相离.
(2)当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点但不是相切．
[常用结论]
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有
(1) x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝p1-csα，|BF|＝p1+csα，
特别地1AF+1BF＝2p；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sinα＝12|OF|·|y1－y2|．
2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．
[典例3] (1)(多选)(2024·山东烟台统考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是( )
A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥2
D．过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
②若AP＝3PB，求|AB|.
ABC [取PQ的中点N，N在l上的射影为N1，Q在l上的射影为Q1，如图所示：
对于选项A，因为p＝2，所以|PQ|＝
|PP1|＋|QQ1|＝x1＋x2＋2＝8，故A正确；
对于选项B, 根据抛物线的性质|PP1|＝|PF|，
|QQ1|＝|QF|，
NN1为梯形QQ1P1P的中位线，故|NN1|＝12(|PP1|＋|QQ1|)＝12|PQ|，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；
对于选项C，因为F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝2，故C正确；
对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立y=kx+1，y2=4x， 可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，解得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．故选ABC.]
(2)[解] 设直线l：y＝32x＋t，Ax1，y1，Bx2，y2.
①由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32＝4，
所以x1＋x2＝52.
由y=32x+t，y2=3x， 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－12t-19.
从而由－12t-19＝52，得t＝－78.
所以l的方程为y＝32x－78.
②由AP＝3PB，得y1＝－3y2.
由y=32x+t，y2=3x， 得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2.
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝13.
故|AB|＝4133.
【教师备用】
(多选)(2024·云南昭通模拟预测)已知A，B是抛物线C：y2＝2x上两动点，F为抛物线C的焦点，则( )
A．直线AB过焦点F时，|AB|的最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时，|AB|＝83
C．若AB中点M的横坐标为2，则|AB|的最大值为5
D．1AF+1BF＝2
BC [对于A项，过点A，B分别作准线x＝－12的垂线，垂足分别为A1，B1，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A2，B2，准线与x轴的交点为C，如图所示．
设直线AB的倾斜角为θ，|AF|＝n，|BF|＝m.
根据抛物线的定义：|AA1|＝|AF|＝n，由图可知|AA1|＝|A2C|＝n，|CF|＝p＝1，
|CF|＋|FA2|＝|AA1|＝n，在Rt△AFA2中，|FA2|＝n cs θ，
所以n cs θ＋1＝n，∴n＝11-csθ，
同理m＝11+csθ，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝11-csθ+11+csθ＝2sin2θ.
因为θ∈[0，π)，所以sinθ∈[0，1]，故当sin θ＝1时，2sin2θmin＝2，
故|AB|的最小值为2，此时AB垂直于x轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知，|AB|＝2322＝83，故B正确；
对于C项，|AB|≤|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋1＝2×2＋1＝5，
当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以|AB|的最大值为5，故C正确；
当直线AB过焦点F时，1AF+1BF＝1－csθ＋1＋cs θ＝2，
当直线AB不过焦点F时，1AF+1BF不是定值，例如当xA＝xB＝2时，此时yA＝2，yB＝－2，
即A(2，2)，B(2，－2)，F12，0，|AF|＝|BF|＝322+22＝52，1AF+1BF＝25×2＝45≠2，故D错误．
故选BC.]
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系一般用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
跟进训练3 (1)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|＞|OA|2
D．|BP|·|BQ|＞|BA|2
(2)(2023·河北唐山三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为3的直线l与C交于A，B两点，则△AOB的面积为________．
(1)BCD (2)433 [(1)将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线C的方程为x2＝y，故其准线方程为y＝－14，A错误；
kAB＝1--11-0＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，
联立y=2x-1，x2=y， 可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直线AB与C相切于点A，故B正确；
设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，点P(x1，y1)，点Q(x2，y2)，
联立y=kx-1，x2=y， 得x2－kx＋1＝0，
所以Δ=k2-4＞0，x1+x2=k， x1x2=1，
所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝x12+y12＝y1+y12，|OQ|＝x22+y22＝y2+y22，
所以|OP|·|OQ|＝y1y21+y11+y2＝kx1·kx2＝|k|＞2＝|OA|2，故C正确；
因为|BP|＝1+k2|x1|，|BQ|＝1+k2|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正确．
故选BCD.
(2)由抛物线方程知：F(1，0)，则直线l：y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0.
由y=3x-1，y2=4x， 得3x2－10x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝103，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝163，
又坐标原点O到直线l的距离d＝33+1＝32，
∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×163×32＝433.]
课后习题(四十九) 抛物线
1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝14x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A [∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A．1716 B．1516 C．78 D．0
B [M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]
3．(人教B版选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝－4y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为( )
A．2 B．22 C．3 D．23
B [设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－4y，且|PA|＝x2+y+32＝-4y+y2+6y+9＝y2+2y+9＝y+12+8，
又∵y≤0，∴当y＝－1时，|PA|min＝8＝22.故选B.]
4．(人教B版选择性必修第一册P162练习B T3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将点P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]
5．(2024·内蒙古赤峰高三统考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为坐标原点O，经过点A(x0，2)，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝( )
A．12 B．1 C．2 D．2
C [因为点A(x0，2)在抛物线上，|AF|＝3|OF|，所以x0＋p2＝3p2，所以x0＝p，
所以A(p，2)，所以4＝2p2，解得p＝2.故选C.]
6．(2024·广东广州高三模拟)石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型．如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水面距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是( )
A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
B [设抛物线C：x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(4，－4)在抛物线C上，则－2p×(－4)＝42，解得p＝2，
故抛物线C的焦点到准线的距离是2米．故选B.]
7．(2024·海南海口模拟预测)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2距离之和的最小值是( )
A．355＋1 B．2
C．165 D．3
D [由题可知x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F，则F(1，0)，
所以动点P到l2的距离等于P到x＝－1的距离加1，
即动点P到l2的距离等于|PF|＋1.
所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离加1，
即其最小值是4-0+65＋1＝3.故选D.]
8．(2024·重庆模拟预测)已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝8，圆C′：x2＋y2－52y＝0，若抛物线C与圆C′交于P，Q两点，且|PQ|＝5，则线段AB的中点D的横坐标为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [圆C′：x2＋y2－52y＝0过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点P(0，0)，
设Q(m，n)，m>0，
依题意，m2＋n2＝|PQ|2＝5，又m2＋n2＝52n，解得m＝1，n＝2，即Q(1，2)，
则22＝2p×1，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，
而|AB|＝8，因此x1＋x2＝6，
所以线段AB的中点D的横坐标为x1+x22＝3.故选B.]
9．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点(A(x_1 ) ，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则( )
A．p＝2 B．|AB|≥4
C．OA·OB＝－4 D．k1k2＝－4
ABD [因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；
抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，设直线l：x＝my＋1，则与抛物线方程联立得y2=4x， x=my+1，
消去x整理得y2－4my－4＝0，
则Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；
因为OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；
k1k2＝y1x1·y2x2＝－4，故D正确．故选ABD.]
10．(2024·福建泉州统考模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(－1，0)的直线l与C交于不同的两点M，N.若|NF|＝2|PF|，则|MF|＝________．
43 [由题意得抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线的对称性不妨令y1>0，y2>0，如图，显然|NF|＝2|PF|＝4，而|NF|＝x2＋1，则x2＝3，y2＝23，
于是直线l的方程为y＝32(x＋1)，
由y2=4x，y=32x+1，得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝13，x2＝3，
所以|MF|＝x1＋1＝43.
故答案为43.]
11．(2023·四川南充三模)设抛物线y2＝2x的焦点为F，若圆M：(x－3)2＋y2＝8与抛物线有4个不同的交点，记x轴上方的两个交点为A，B.则|FA|·|FB|的值是________．
134 [由题意可知F12，0，
联立y2=2x， x-32+y2=8，
得x2－4x＋1＝0⇒x＝2＋3或x＝2－3，
不妨令A(2－3，yA)，B(2＋3，yB)，FA＝32-3，yA，FB＝32+3，yB，
所以|FA|·|FB|
＝ 32-32 + yA2·32 + 32 + yB2
＝ 32-32 + 22-3·32 + 32 + 22 + 3
＝374-53×374+53＝134.
故答案为134.]
12．(2024·江西校联考模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，顶点为坐标原点O，过点F的直线l与C相交于A，B两点，当点O到直线l的距离最大时，|AB|＝4.
(1)求C的标准方程；
(2)过点B作BD⊥x轴于点D，记线段BD的中点为P，且△OAF与△OPF的面积之和为S，求S的最小值．
[解] (1)由题意知，Fp2，0，直线l的斜率不为0，
设l：x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x=my+p2，y2=2px， 得y2－2pmy－p2＝0，Δ＝4p2m2＋4p2＞0，
y1+y2=2pm，y1y2=-p2，
则|AB|＝1+m2|y1－y2|＝1+m2×y1+y22-4y1y2＝1+m2×2pm2+4p2＝2p(m2＋1)，
当m＝0时，点O到直线l的距离最大，则|AB|＝2p＝4，所以p＝2，所以C的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，设l：x＝ny+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x=ny+1，y2=4x， 则y2－4ny－4＝0，y1y2＝－4.
因为线段BD的中点为P，所以P点的纵坐标为12y2，
所以S＝12|OF|y1+y22＝12y1+y22≥12×2y1·y22＝2，
当且仅当|y1|＝y22，即|y1|＝2，|y2|＝22时取等号，所以S的最小值为2.标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Fp2，0
F-p2，0
F0，p2
F0，-p2
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R