高三数学一轮复习第八章解析几何第一课时直线的方程学案

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【教师备选资源】
第1课时 直线的方程
[考试要求] 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
考点一 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2-y1x2-x1．
3．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
[典例1] (1)直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B．0，π4∪3π4，π
C．0，π4 D．0，π4∪π2，π
(2)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k1(3)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
(1)B (2)D (3)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.
因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，
又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，故选B.
(2)因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0(3)设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kPA＝1，直线PB的斜率是kPB＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至π2，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由π2增到β，斜率的变化范围是(－∞，－3].
故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]
斜率取值范围的两种求法
提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分0，π2与π2，π两种情况讨论．
跟进训练1 (1)设直线l的斜率为k，且－1A．0，π3∪3π4，π B．0，π6∪3π4，π
C．π3，3π4 D．0，π3∪3π4，π
(2)(2023·北京市东城区期末)在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为( )
A．－23 B．0 C．3 D．23
(1)D (2)B [(1)由－1(2)由题意知，正三角形ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝3＋(－3)＝0.]
直线的方向向量与法向量
1．直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l．
(2)设直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，直线l的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上不同的两点，则
①u＝0⇔x2－x1＝0⇔θ＝π2⇔斜率不存在；
②u≠0⇔k＝y2-y1x2-x1＝tan θ＝vu⇔a＝u(1，k)；
③a＝(u，v)＝λ(cs θ，sin θ)(λ≠0)．
2．直线的法向量
(1)一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．
(2)若直线的一个方向向量a＝(u，v)，一个法向量v＝(x，y)，则
①ux＋vy＝0；
②v＝λ(－v，u)，λ≠0.
[典例2] 已知直线l的一个方向向量a＝(1，1)，且A(1，－2)，B(x，2)在直线l上．
(1)求x的值；
(2)求直线的斜率k与倾斜角θ.
[解] (1)由a∥AB，AB＝(x－1，4)知，1×(x－1)－1×4＝0，
得x－1－4＝0，解得x＝5.
(2)∵a＝(1，1)，∴k＝1，由tan θ＝k＝1得θ＝π4.
【教师备用】
(1)(多选) (2023·浙江湖州模拟)已知直线l的一个方向向量为u＝1，k，则( )
A．k＝1时，直线l的斜率为1
B．k>0时，直线l的倾斜角范围为0，π2
C．对于任意的实数k，直线l都与直线y＝kx＋1平行
D．向量u可以是平面直角坐标系中任意一条直线的方向向量
(2)已知直线l经过点P(3, m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________.
(1)AB (2)2 43 [(1)由直线的方向向量定义可知，当直线与x轴不垂直时，若直线l的一个方向向量为u＝1，k，则直线l的斜率为k，所以k＝1时，直线l的斜率为1，A正确；
k>0时，直线l的倾斜角范围为0，π2，B正确；
对于C，直线l有可能与y＝kx＋1重合，C错误；对于D，向量u不可以表示平面直角坐标系中斜率不存在的直线，D错误．故选AB.
(2)由直线l的方向向量为(2，4)得，直线l的斜率为42＝2，因此m--23-m＝2，解得m＝43.]
跟进训练2 (1)(多选)若直线的一个法向量a＝(－4，2)，则直线的方向向量可能是( )
A．(－2，4) B．(1，2)
C．(3，6) D．(－1，－2)
(2)若直线的一个方向向量a＝(0，－2 023)，则直线的倾斜角为________．
(1)BCD (2)90° [(1)1×(－4)＋2×2＝0，所以(1，2)是直线的方向向量；(3，6)＝3(1，2)，(－1，－2)＝－1(1，2)，所以(3，6)，(－1，－2)都是直线的方向向量．故选BCD.
(2)a＝(0，－2 023)，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为90°.]
考点二 直线方程的求法
直线方程的五种形式
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数，截距不是距离．
[常用结论]
1．几种特殊位置的直线方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量u＝(－B，A)．
[典例3] 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
[解] (1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为y-13-1＝x-2-2-2，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝2-22＝0，y＝1+32＝2.
BC边的中线AD过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为x-3+y2＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0，2)．
所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
求直线方程的两种方法
跟进训练3 (1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________．
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________．
(1)2x＋3y－5＝0 (2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 [(1)联立x+y=2， 2x-y=1，解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1)．
∵直线的一个方向向量v＝(－3，2)，
∴直线的斜率k＝－23.
则直线的方程为y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
(2)由题意可设直线方程为xa+yb＝1.
则a+b=6，2a+1b=1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.]
考点三 直线方程的综合应用
[典例4] 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
[解] 法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A2-1k，0，B(0，1－2k)，
S△AOB＝12(1－2k)·2-1k＝124+-4k+-1k≥12×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.
法二：设直线l：xa+yb＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，
所以2a+1b＝1，
则1＝2a+1b≥22ab，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为12×ab＝12×8＝4，
当且仅当2a＝1b＝12时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为x4+y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
[拓展变式]
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[解] 由本例法二知，2a+1b＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a+1b＝3＋ab+2ba≥3＋22，
当且仅当a＝2＋2，b＝1＋2时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－2－2＝0.
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
[解] 法一：由本例法一知A2k-1k，0，B(0，1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝1k2+1·4+4k2＝2×1+k2k＝2-k+1-k≥4.
当且仅当－k＝－1k，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a+1b＝1.所以|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1
＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a+1b－5＝2ba+ab≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．特别注意斜率不存在的情况．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
跟进训练4 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解] (1)证明：法一：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x+2=0，1-y=0，解得x=-2，y=1.
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1)．
(2)法一：由方程知，当k≠0时，直线l在x轴上的截距为－1+2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有-1+2kk≤-2，1+2k≥1，
解得k＞0；
当k＝0时，直线l为y＝1，符合题意．
故k的取值范围是[0，＋∞)．
法二：直线l的方程可化为y＝kx＋1＋2k，
∴k＞0， 1+2k≥0，或k=0， 1+2k≥0，
∴k∈[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A-1+2kk，0，B(0，1＋2k)．
依题意得-1+2kk＜0，1+2k＞0，解得k＞0.
∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1+2kk·|1＋2k|＝12·1+2k2k＝124k+1k+4
≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
课后习题(四十二) 直线的方程
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为 (－1，－1)，则y＝( )
A．－32 B．32 C．－1 D．1
C [法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得AB＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为 (－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C.
法二：由直线的方向向量为(－1，－1)得，直线的斜率为-1-1＝1，所以y--34-2＝1，解得y＝－1.故选C.]
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]
3．(人教B版选择性必修第一册P89练习AT2改编)已知点(a，－2)，(－1，b)确定的直线方程是y＝－3x＋1，则当x>0时，ax＋bx的最小值是________．
4 [由条件知－2＝－3a＋1，b＝－3×(－1)＋1，
分别解得a＝1，b＝4，∴ax＋bx＝1x＋4x≥21x·4x＝4，
当且仅当1x＝4x，即x＝12时，等号成立，
∴1x＋4x的最小值是4.]
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.
9x－y＝0或x＋y－10＝0 [当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为xa+ya＝1，则1a+9a＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0.]
5．(2024·湖北省黄冈市红安一中月考)在△ABC中，A(4，－1)，AB的中点M(3，2)，重心P(4，2)，则BC边所在直线的斜率为( )
A．34 B．－34 C．23 D．－23
B [因为A(4，－1)，AB的中点M(3，2)，所以点B的坐标为(2，5)．
又重心P(4，2)，所以根据重心坐标公式可得点C的坐标为(6，2)，所以BC边所在直线的斜率为5-22-6＝－34.]
6．(2024·四川省成都市期中)已知点A(－2，3)，B(3，2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB有公共点，若点Q(m，3)在直线l上，则实数m的取值范围为( )
A．-∞，-154∪[－2，＋∞)
B．-154，-2
C．2，154
D．-2，154
D [由题意可求得kPA＝－52，kPB＝43.
设直线l的斜率为k.
因为过点P(0，－2)的直线l与线段AB有公共点，
所以k≥43或k≤－52，
因为点Q(m，3)在直线l上，所以m＝0或5m≥43或5m≤－52，解得－2≤m≤154.
故选D.]
7．(2024·山东省潍坊高三开学考试)已知函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，当x<0时，f (x)>1，则方程y＝ax＋1a表示的直线大致是( )
A B
C D
C [∵f (x)＝ax且x<0时，f (x)>1，
∴01.
对于y＝ax＋1a，令x＝0得y＝1a，令y＝0得x＝－1a2.
∵-1a2>1a，∴C项符合要求．]
8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，1)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．2x＋4y－3＝0 B．x－2y－3＝0
C．2x－y－3＝0 D．4x－2y－3＝0
D [由AC＝BC及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，AB的中点为M1，12，斜率kAB＝－12，则AB垂直平分线的斜率k＝2，则△ABC的欧拉线的方程为y－12＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0，故选D.]
9．在平面直角坐标系中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若PA＝－2PB，则直线l的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0
A [设A(a，0)，B(0，b)，由PA＝－2PB，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b－1)，则a＝3，b＝32.由截距式可得直线l的方程为x3+y32＝1，即x＋2y－3＝0.]
10．(多选)下列说法正确的是( )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0
AB [选项A中，直线在x轴和y轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故A正确；选项B中，点0+12，2+12在直线y＝x＋1上，且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，故B正确；选项C中，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故C错误；选项D中，还有一条横、纵截距都为0的直线y＝x满足条件，故D错误．]
11．(2024·江西省宜春市模拟)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则y+3x+2的取值范围为________．
43，8 [y+3x+2表示经过定点P(－2，－3)与函数y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象上任意一点(x，y)的直线的斜率k.
如图所示，可知kPA≤k≤kPB，
由已知可得A(1，1)，B(－1，5)，
所以kPA＝43，kPB＝8，
则y+3x+2的取值范围为43，8.]
12．(2024·湖南衡阳模拟预测)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0，1)，则y1+1x1-1的取值范围为______________．
(－∞，－2] [y1+1x1-1表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k，
又由M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，
如图所示可得C(0，1)，B(1，e)，则kAC＝－2，
所以k≤－2，即k的取值范围为(－∞，－2].]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：直线与圆、圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．
(1)高考时直线与圆的位置关系考查多以选择、填空题的形式呈现，难度中等，重在考查学生的双基．
(2)圆锥曲线标准方程的求解一般出现在解答题的第1问，属于容易题．
(3)直线与圆锥曲线的综合性问题常出现在解答题的第2问，常考的有定点、定值、定直线问题，范围(最值)问题，探究性问题等，通常难度较大．
2．轮考点：圆与圆、圆锥曲线的定义及几何性质．
(1)对圆与圆位置关系的考查，一般以选择、填空题为主，难度不大．
(2)利用圆锥曲线的定义解题，重在考查双基，难度不大．
(3)椭圆、双曲线的离心率，双曲线的渐近线，抛物线的准线等几何性质也经常出现在高考试题中，重在考查数形结合思想、方程思想、转化思想及数学运算能力，难度中等或偏上．
数形
结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数
图象法
根据正切函数的图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
xa+yb＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用