高三数学一轮复习第八章解析几何第七课时双曲线学案

这是一份高三数学一轮复习第八章解析几何第七课时双曲线学案，共25页。

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
[常用结论]
设x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，P是双曲线上任意一点，F1，F2分别为其左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成的△PF1F2(如图所示)称为焦点三角形．设∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|·|PF2|＝2b21-csθ；
2S△PF1F2＝b2tanθ2．
[典例1] (1)(易错题)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2＝________．
(1)x2－y28＝1(x≤－1) (2)34 [(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，又|C1C2|＝6，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，
所以cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1·PF2＝422+222-422×42×22＝34.]
[拓展变式]
将本例(2)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，
∵PF1·PF2＝0，
∴PF1⊥PF2，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2.
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为非零常数，还是差为非零常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
跟进训练1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．圆
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
(3)已知F是双曲线x24-y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
(1)B (2)23 (3)9 [(1)如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|＝4，
所以由双曲线的定义可得，
点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(2)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，
在△F1PF2中，由余弦定理的推论，得
cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1·PF2＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝23.
(3)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象(图略)，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.]
考点二 双曲线的标准方程
[典例2] (1)(多选)(2023·广东韶关模拟预测)曲线C的方程为x2－y2λ－4＝0，则( )
A．当λ>0时，曲线C是焦距为41+λ的双曲线
B．当λ<－1时，曲线C是焦距为41-λ的双曲线
C．曲线C不可能为圆
D．当－1<λ<0时，曲线C是焦距为41+λ的椭圆
(2)经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________．
(1)AD (2)y225-x275＝1 [(1)对于A，当λ>0时，方程x2－y2λ－4＝0化为x24-y24λ＝1，曲线C是焦距为24+4λ＝41+λ的双曲线，A正确；对于B，当λ<－1时，方程x2－y2λ－4＝0化为y24-λ+x24＝1，
曲线C是焦点在y轴上，焦距为24-λ-4＝4-1-λ的椭圆，B错误；
对于C，当λ＝－1时，曲线C表示圆x2＋y2＝4，C错误；
对于D，当－1<λ<0时，方程x2－y2λ－4＝0化为x24+y24-λ＝1，
曲线C是焦点在x轴上，焦距为24-4-λ＝41+λ的椭圆，D正确．故选AD.
(2)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴9m-28n=1， 72m-49n=1，解得m=-175，n=-125.
∴双曲线的标准方程为y225-x275＝1.]
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2-y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟进训练2 (1)(2024·贵州毕节模拟预测)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程：________．
(2)(2023·湖南郴州一模)已知双曲线x2m-y2n＝1(m>0，n>0)和椭圆x24+y23＝1有相同的焦点，则4m+1n的最小值为________．
(1)x2－y22＝1(答案不唯一) (2)9 [(1)如图，取a＝1，b＝2，c＝3，且AB⊥x轴，
可得|AF2|＝|BF2|＝b2a＝2，|AF1|＝|BF1|＝2a＋|AF2|＝4，
即|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝4，△ABF1为正三角形，符合题意，此时双曲线C的方程为x2－y22＝1.
故答案为x2－y22＝1(答案不唯一)．
(2)椭圆x24+y23＝1的焦点坐标为(±1，0)，故m＋n＝1，
故4m+1n＝4m+1n(m＋n)＝4＋4nm+mn＋1≥5＋24nm·mn＝9，
当且仅当4nm＝mn，即m＝23，n＝13时，等号成立，故4m+1n的最小值为9.
故答案为9.]
考点三 双曲线的简单几何性质
双曲线的渐近线
[典例3] (2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
y＝±3x [∵双曲线的方程是x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线为y＝±bax，
∵离心率为e＝ca＝2，可得c＝2a, ∴c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝3a，由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±3x.]
双曲线的离心率
[典例4] (1)(2024年1月九省联考)设双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，F2A·F2B＝4a2，则C的离心率为( )
A．2 B．2 C．5 D．7
(2)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A．55 B．255 C．355 D．455
(1)D (2)D [(1)由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝F2A，所以四边形AF1BF2为平行四边形，
令|F1A|＝|F2B|＝m，
则|F1B|＝|F2A|＝2m，
由双曲线定义可知F2A-F1A＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即F1A＝F2B＝m＝2a，F1B＝F2A＝4a，
F2A·F2B＝F2A·F2Bcs ∠AF2B＝4a×2a cs ∠AF2B＝4a2，
则cs ∠AF2B＝12，即∠AF2B＝π3，故∠F2BF1＝2π3，
则有cs ∠F2BF1＝F1B2+F2B2-F1F222F1B·F2B＝4a2+2a2-2c22×4a×2a＝－12，
即20a2-4c216a2＝－12，即2016-4e216＝－12，则e2＝7，由e>1，故e＝7.
故选D.
(2)根据双曲线C的离心率e＝5＝ca，得c＝5a，即 c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
法一：由y=2x，x-22+y-32=1，得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝165，x1x2＝125.
所以|AB|＝1+22|x1－x2|
＝5·1652-4×125＝455，故选D.
法二：圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝2×2-322+-12＝55，
所以|AB|＝21-d2＝21-552＝455，故选D.]
双曲线几何性质的综合应用
[常用结论]
1．双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x(渐近线互相垂直)，离心率为e＝2，方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)．
3．x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2-x2a2＝1(a>0，b>0)是一对共轭双曲线，它们有相同的渐近线和焦距．设其离心率分别为e1，e2，则有1e12+1e22＝1.
[典例5] (1)(2023·贵州黔东南模拟预测)已知A，B分别是双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且PF⊥x轴．若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为( )
A．2 B．3 C．2 D．3
(2)(多选)(2024·辽宁抚顺模拟预测)已知双曲线C1：x2－y2＝1与椭圆C2：x2b2+1+y2b2＝1(b>0)的一个交点为M，A，B分别是C1的左、右顶点，S，T分别是C2的左、右顶点，则( )
A．直线MA与直线MB的斜率之积为1
B．若b2＝3，则tan ∠AMB＝724
C．若|MS|－|MT|＝2，则b2＝1
D．若△MAB的面积为255，则b2＝2
(1)C (2)ACD [(1)由题意可得，A(－a，0)，B(a，0)，P点的横坐标为c，代入x2a2-y2b2＝1，
又yP>0，
则Pc，b2a，kPA＝b2ac+a，kPB＝b2ac-a，则kPBkPA＝c+ac-a＝3，可得ca＝2.
即双曲线C的离心率为2.故选C.
(2)对选项A，由题意得
A(－1，0)，B(1，0)，
设M(x0，y0)，则x02-y02＝1，
则kMA·kMB＝y0x0+1·y0x0-1＝y02x02-1＝1，故A项正确；
对选项B，不妨设M在第一象限，若b2＝3，
则椭圆C2：x24+y23＝1.
联立x2-y2=1x24+y23=1⇒x=47，y=37，得M47，37.
所以kMA＝3747+1＝4-73，kMB＝3747-1＝4+73.
所以tan ∠AMB＝tan (∠MBx－∠MAx)＝kMB-kMA1+kMAkMB＝73，故B项错误；
对选项C, 若|MS|－|MT|＝2，则S，T分别为双曲线的左、右焦点，
则b2＋1＝2，即b2＝1，故C项正确；
对选项D，S△MAB＝12×2×|yM|＝255，解得|yM|＝255，代入双曲线C1：x2－y2＝1求得|xM|＝355，
再代入椭圆C2：x2b2+1+y2b2＝1(b>0)，求得b2＝2，故D项正确．故选ACD.]
【教师备用】
(2023·江西九江一模)在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面．由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔．已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150 m，塔顶直径为80 m，塔的最小直径(喉部直径)为60 m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为110 m，则该双曲线的离心率约为(精确到0.01)( )
A．2.14 B．1.81 C．1.73 D．1.41
B [建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线标准方程为x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，根据题意，可得2a＝60，所以a＝30，由塔的总高度为150 m，塔顶直径为80 m，塔的最小直径为60 m，喉部标高为110 m，可得点A(40，40)在该双曲线上，则402302-402b2＝1，可得b2＝9×4027，所以c2＝a2＋b2＝302＋9×4027＝100×2077，可得e2＝c2a2＝237∈(3，4)，所以e∈(3，2)，结合选项，可得B项符合题意．故选B.]
1.求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2-y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2-x2b2＝0，得y＝±abx.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝C2-a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
跟进训练3 (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是( )
A．-33，33 B．-36，36
C．-223，223 D．-233，233
(2)(2024·福建福州模拟预测)已知双曲线E：x2a2-y24＝1，过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B，△OAB的面积为2，则E的焦距为( )
A．2 B．22 C．4 D．42
(3)已知点F是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1)A (2)D (3)(1，2) [(1)因为F1-3，0，F23，0，x022-y02＝1，
所以MF1·MF2＝-3-x0，-y0·(3-x0，-y0)＝x02+y02－3＜0，
即3y02－1＜0，解得－33＜y0＜33.
(2)如图，由题意可得，A(a，0)，且直线AB与双曲线的一条渐近线平行，所以kAB＝2a，
则可得直线AB的方程为y＝2a(x－a)，令x＝0，可得y＝－2，即B(0，－2)，
所以|OA|＝a，|OB|＝2，则S△OAB＝12|OA|·|OB|＝12×a×2＝2，解得a＝2，
所以c2＝a2＋b2＝4＋4＝8，即c＝22，则E的焦距2c＝42.故选D.
(3)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，则b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2.]
考点四 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系的判断方法
(1)代数法：将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．
(2)数形结合法：判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
[典例6] (1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
①求C的方程；
②设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
(1)2(满足10，b>0)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，
结合渐近线的特点，只需0可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”．
所以e＝ca＝1+b2a2≤1+4＝5，
又因为e>1，所以1故答案为2(满足1＜e≤5皆可)．]
(2)[解] ①因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝217，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝17，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－y216＝1(x≥1)．
②设T12，t，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1x-12(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2x-12(k2≠0)，
由y-t=k1x-12，x2-y216=1， 得(16-k12)x2－2k1t-k12x－t-k122－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
易知16-k12≠0，
则xAxB＝-t-k122-1616-k12，xA＋xB＝2k1t-k1216-k12，
所以|TA|＝1+k12xA-12 ＝1+k12xA-12，
|TB|＝1+k12xB-12＝1+k12xB-12，
则|TA|·|TB|＝(1+k12)xA-12xB-12＝(1+k12)xAxB-12xA+xB+14
＝1+k12·-t-k122-1616-k12-12·2k1t-k1216-k12+14＝1+k12t2+12k12-16.
同理得|TP|·|TQ|＝1+k22t2+12k22-16.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以1+k12t2+12k12-16＝1+k22t2+12k22-16，所以k22-16+k12k22-16k12＝k12-16+k12k22-16k22，
即k12＝k22，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
【教师备用】
(2024·海南华侨中学校考模拟预测)已知双曲线E：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，右顶点A到渐近线的距离等于32.
(1)求双曲线E的方程；
(2)点M，N在E上，且AM⊥AN，直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
[解] (1)由题意，取渐近线bx－ay＝0，右顶点A到该渐近线的距离d＝aba2+b2＝32，
又a2+b2＝c，ca＝2，解得b＝3，a＝1，c＝2，
则双曲线E的方程为x2－y23＝1.
(2)由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM：y＝k(x－1)，
与E的方程联立，消去y得(3－k2)x2＋2k2x－k2－3＝0，易知k2≠3，
由根与系数的关系得1·xM＝k2+3k2-3，
则Mk2+3k2-3，6kk2-3.
因为AM⊥AN，所以kAM·kAN＝－1，
用－1k代替k显然此时k2≠13，
同理得N3k2+11-3k2，-6k1-3k2，得kMN＝2kk2-1(k2≠1)，
直线MN：y＝2kk2-1x-k2+3k2-3+6kk2-3＝2kk2-1x＋4kk2-1＝2kk2-1(x＋2)，
过定点(－2，0)．
当k2＝1时，直线MN的斜率不存在，易知直线MN的方程为x＝－2，
过左焦点(－2，0)．综上，直线MN过定点(－2，0)．
解决直线与双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
跟进训练4 (1)已知双曲线x216-y29＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．-43，43
B．-∞，-34∪34，+∞
C．-34，34
D．-∞，-43∪43，+∞
(2)过双曲线x2－y23＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
(3)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(1)B (2)B (3)D [(1)双曲线的渐近线方程为y＝±34x，当直线l与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点．当直线l斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率k＞34；当直线l斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率k＜－34.故选B.
(2)当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝2b2a＝6，则当直线l与双曲线的右支交于A，B两点时，满足题意的直线l有1条；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6，则当直线l与双曲线的左、右两支分别交于一点时，还可作出2条直线l，使得|AB|＝6.故满足题意的直线l有3条，故选B.
(3)结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得x12-y129=1，x22-y229=1，
两式作差，得x12-x22＝y12-y229，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝y1-y2y1+y29，y1-y2y1+y2x1-x2x1+x2＝9，
即y1-y2x1-x2·y1+y22x1+x22＝kAB·y0x0＝9，
因此kAB＝9·x0y0.
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．
对于A选项，因为kAB＝9×11＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×-12＝－92<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×13＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×-1-4＝94<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.]
课后习题(四十八) 双曲线
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1＞2，故|PF2|＝6.]
2．(人教B版选择性必修第一册P156习题2－6AT3改编)已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，它的焦点是椭圆x225+y216＝1的长轴的端点，则此双曲线的标准方程为________．
x216-y29＝1 [设双曲线方程为x2a2-y2b2＝1，
由题意得ba=34， c=5， c2=a2+b2，
解得a＝4，b＝3，所以双曲线的标准方程为x216-y29＝1.]
3．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2 T6改编)经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．
x215-y215＝1 [设双曲线的方程为x2a2-y2a2＝±1(a>0)，
把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为x215-y215＝1.]
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
(－2，－1) [因为方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1.]
5．(2023·四川成都二模)已知直线y＝2x是双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，且点(23，23)在双曲线C上，则双曲线C的方程为( )
A．x23-y24＝1 B．x23-y26＝1
C．x26-y212＝1 D．x212-y224＝1
C [由双曲线C：x2a2-y2b2＝1，则其渐近线方程为y＝±bax，由题意可得ba＝2，即b＝2a，
将点(23，23)代入双曲线方程可得12a2-122a2＝1，解得a2＝6，b2＝12，所以双曲线C的方程为x26-y212＝1.]
6．(2024·四川成都模拟预测)已知双曲线η：x23-y26＝1的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则△OPF的面积为( )
A．32 B．322 C．33 D．332
B [因为双曲线η的渐近线方程为y＝±2x，F(3，0)，所以根据点到直线的距离公式可得，|PF|＝3212+22＝6.
又|OF|＝3，则|OP|＝3，所以△OPF的面积为12×6×3＝322.故选B.]
7．(2024·陕西汉中模拟预测)已知双曲线C：x2－y2b2＝1(b>0)的离心率为10，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．3x±y＝0 B．x±3y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
A [因为双曲线C：x2－y2b2＝1(b>0)的离心率为10，即e＝ca＝1+b21＝10，解得b＝3，
因此，双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，即3x±y＝0.故选A.]
8．(多选)(2024·河南郑州模拟预测)已知双曲线C：x2a2-y2a2+3＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝25，点P是C上一点，则( )
A．C的离心率为5
B．若PF1⊥x轴，则|PF1|＝8
C．若|PF1|＝2|PF2|，则|PO|＝5(其中O为坐标原点)
D．点P到C的两条渐近线的距离之积为45
ACD [因为|F1F2|＝25，所以c＝5，所以a2＋a2＋3＝5，解得a2＝1，故双曲线C：x2－y24＝1.
对于A，a＝1，c＝5，双曲线C的离心率e＝ca＝5，故A正确；
对于B，由题可得F1(－5，0)，又PF1⊥x轴，所以xP＝－5，则5-yP24＝1，
解得yP＝±4，所以|PF1|＝4，故B错误；
对于C，因为|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，
所以|PO|＝12|F1F2|＝5，故C正确；
对于D，设P(x0，y0)，则x02-y024＝1，因为双曲线C的渐近线方程为x－y2＝0或x＋y2＝0，
所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为x0-y021+14·x0+y021+14＝45x02-y024＝45，故D正确．故选ACD.]
9．(2024·四川绵阳模拟预测)双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的离心率为2，则右焦点F2到其渐近线的距离为________．
3 [双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的离心率为2，由a＝1得c＝2，则b＝C2-a2＝3，
右焦点F2(2，0)，渐近线方程为3x±y＝0，F2到渐近线的距离为d＝2332+12＝3.故答案为3.]
10．(2023·河北唐山一模)设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则|OM|＝________．
2 [如图所示，
延长F1M交PF2于点Q，由PM为∠F1PF2的平分线及PM⊥F1Q，可得△PMF1≌△PMQ，所以|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝4，即|PQ|－|PF2|＝4，
即|QF2|＝4，在△F1QF2中，因为O和M分别为F1F2，F1Q的中点，
所以|OM|＝12|QF2|＝2.故答案为2.]
11．(2023·北京通州区三模)已知双曲线C：x2－y2b2＝1(b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b＝________；若双曲线C1与C不同，且与C有相同的渐近线，则C1的方程可以为________．(写出一个答案即可)
1 x22-y22＝1(答案不唯一) [由题意，双曲线C：x2－y2b2＝1(b>0)的一条渐近线方程为y＝bx，
可得焦点F(c，0)到一条渐近线y＝bx的距离为d＝bc1+b2＝b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，
若双曲线C1与C不同，且与C有相同的渐近线，则C1的方程可以为x2－y2＝2，即x22-y22＝1(答案不唯一)．]
12．(2023·江苏盐城三模)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)过点(22，1)，渐近线方程为y＝±12x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
[解] (1)由题设可知8a2-1b2=1，ba=12， 解得a=2，b=1，
则双曲线C的方程为x24－y2＝1.
(2)设点M的横坐标为xM>0，当直线l斜率不存在时，直线l：x＝2，
易知点M到y轴的距离为xM＝2；
当直线l斜率存在时，设l：y＝kx＋mk≠±12，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x24-y2=1，y=kx+m，整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，整理得4k2＝m2＋1.
则x1＋x2＝－8km4k2-1＝－8kmm2＝－8km，
则xM＝x1+x22＝－4km>0，即km<0，
则xM2＝16k2m2＝4＋4m2>4，即xM>2，
∴此时点M到y轴的距离大于2.
综上所述，点M到y轴的距离的最小值为2.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2-y2b2＝1
(a>0，b>0)
y2a2-x2b2＝1
(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
标准方程
x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a，或x≥a；y∈R
y≤－a，或y≥a；x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝ca∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)