高三数学一轮复习第八章解析几何第五课时椭圆及其性质学案

这是一份高三数学一轮复习第八章解析几何第五课时椭圆及其性质学案，共26页。

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
[典例1] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x264-y248＝1 B．x248+y264＝1
C．y264-x248＝1 D．x264+y248＝1
(2)(多选)已知P是椭圆x29+y24＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs ∠F1PF2＝13，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝22
C．点P到x轴的距离为2105
D．PF1·PF2＝2
(3)(2023·广东梅州统考三模)已知椭圆C：x29+y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C的一个交点为A，若|AF2|＝4，则△AF1F2的面积为( )
A．23 B．13 C．4 D．15
(1)D (2)BCD (3)D [(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为x264+y248＝1.
(2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋25，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝PF12+PF22－2|PF1||PF2|cs ∠F1PF2＝(PF1+PF2)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－23|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝12×6×223＝22，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝12|F1F2|·d＝12×25d＝22，所以d＝2105，故C选项正确；
PF1·PF2＝|PF1|·|PF2|cs ∠F1PF2＝6×13＝2，故D选项正确．故选BCD.
(3)椭圆C：x29+y25＝1中，|F1F2|＝29-5＝4，
由|AF2|＝4及椭圆定义得|AF1|＝2，
因此△AF1F2为等腰三角形，如图所示，底边上的高h＝
AF22-12 AF12＝42-12＝15，
所以△AF1F2的面积为S△AF1F2＝12|AF1|·h＝15.故选D.
]
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟进训练1 (1)已知椭圆x2a2+y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为________．
(2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216+y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
(1)42＋4 (2)8 [(1)椭圆的左焦点F1(－c，0)关于直线y＝－x的对称点P(0，c)仍在椭圆上，则c＝b＝2，a＝22，则△PF1F2的周长为2a＋2c＝42＋4.
(2)根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.]
考点二 椭圆的标准方程
提醒：椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看分母，焦点随着大的跑”．
[典例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，32)；
(3)经过两点(2，－2)，-1，142.
[解] (1)由题意知，椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，由题意得c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝a2-c2＝25-16＝3，所以椭圆的标准方程为x225+y29＝1.
(2)由题意得，椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2+x2b2＝1(a>b>0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝4-02+32+22+4-02+32-22＝12，解得a＝6.
又c＝2，所以b＝a2-c2＝42.
所以椭圆的标准方程为y236+x232＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4，32)，所以18a2+16b2＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为y236+x232＝1.
(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)．
由已知条件得4a2+2b2=1， 1a2+144b2=1，解得a2=8，b2=4，
所以所求椭圆的标准方程为x28+y24＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2＝1(a>b>0)．
由已知条件得4b2+2a2=1， 1b2+144a2=1，解得b2=8，a2=4.
则a2b>0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为x28+y24＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－2)，-1，142代入椭圆的一般方程，
得4A+2B=1，A+144B=1，解得A=18，B=14，
所以所求椭圆的标准方程为x28+y24＝1.
1.利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程x2a2+y2b2＝1与x2a2+y2b2＝λ(λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
跟进训练2 (1)(2023·山东临沂模拟预测)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的标准方程为( )
A．x22＋y2＝1 B．x23+y22＝1
C．x24+y23＝1 D．x25+y24＝1
(2)与椭圆x225+y29＝1有相同的焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程为________．
(1)C (2)x236+y220＝1 [(1)如图所示，|AF2|＝12|AB|＝32，|F1F2|＝2，由椭圆定义得
|AF1|＝2a－32.①
在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝322＋22.②
由①②得a＝2，则b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23＝1.故选C.
(2)法一：因为所求椭圆与椭圆x225+y29＝1的焦点相同，
所以所求椭圆的焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又点(3，15)在所求椭圆上，
所以32a2+152b2＝1，即9a2+15b2＝1.②
联立①②得a2＝36，b2＝20，
故所求椭圆的标准方程为x236+y220＝1.
法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x225+λ+y29+λ＝1(λ>－9)．
因为椭圆过点(3，15)，所以将x＝3，y＝15代入方程得925+λ+159+λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．
故所求椭圆的标准方程为x236+y220＝1.]
考点三 椭圆的简单几何性质
[常用结论]
椭圆方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，P为椭圆上一点，设∠F1PF2＝θ.
(1)|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝a2.
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为c，±b2a.
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4C2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ．
6S△F1PF2＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc.
(7)焦点三角形PF1F2的周长L＝2a＋2c.
椭圆的长轴、短轴、焦距
[典例3] (1)一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳(无弹性)的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为0.9 m，细绳长为1.5 m，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆中心的弦中，最短弦长为( )
A．0.6 m B．1.2 m C．0.8 m D．1.6 m
(2)设椭圆x24+y22＝1的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝2，则PF1·PF2＝________．
(3)已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为3，则b＝________．
(1)B (2)1 (3)1 [(1)根据题意，结合椭圆定义得：椭圆的长轴长为2a＝1.5，焦距为2c＝0.9，
所以，椭圆的短半轴长为b＝a2-c2＝342-9202＝144400＝35＝0.6，
因为过椭圆中心的弦中，最短的弦为椭圆的短轴，即为2b＝1.2，
所以，过该椭圆中心的弦中，最短弦长为2b＝1.2 m．故选B.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，
由题意可知|F1F2|＝2c＝22，r1＋r2＝2a＝4，①
r1－r2＝2，②
联立①②，解得r1＝3，r2＝1.在△PF1F2中，PF1·PF2＝r1r2cs θ＝12[r12+r22－(2c)2]＝12×(9＋1－8)＝1.
(3)法一：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为3，可得12|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝34|PF1||PF2|＝3，
∴|PF1||PF2|＝4.
根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.
再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，∴b2＝1，即b＝1.
法二：S△F1PF2＝b2tan ∠F1PF22，
∴3＝b2·tan 60°，∴b＝1.]
设P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，当点P，F1，F2不共线时，称△PF1F2为椭圆的焦点三角形．在解决椭圆上的点P与两个焦点F1，F2的距离问题时，常利用椭圆的定义得出|PF1|＋|PF2|＝2a.结合题设条件，在焦点三角形中灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理及整体思想即可完成相关计算．因此，回归定义是求解椭圆问题的常用方法．
【教师备用】
(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．1 B．2 C．4 D．5
B [法一：因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝b2tan ∠F1PF22，得12|PF1|·|PF2|＝1×tan 90°2，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
法二：因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝25，
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即PF12+PF22＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.]
离心率问题
[典例4] (1)(多选)(2023·湖北武汉模拟预测)已知F1，F2是椭圆E：y24+x23＝1的两个焦点，点P在椭圆E上，则( )
A．焦点F1，F2在x轴上
B．椭圆E的长轴长为4
C．椭圆E的离心率为12
D．使得△F1PF2为直角三角形的点P恰有6个
(2)已知椭圆x24+y2m＝1的离心率e为方程6x2－5x＋1＝0的根，则满足条件m的值的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(3)已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．0，22 B．22，1
C．0，32 D．32，1
(1)BC (2)D (3)B [(1)由题意可知椭圆E：y24+x23＝1的长半轴长a＝2，短半轴长b＝3，焦半距c＝1，
椭圆E：y24+x23＝1的焦点在y轴上，A错误；椭圆E的长轴长为2a＝4，B正确；
椭圆E的离心率为ca＝12，C正确；椭圆的右顶点M(3，0)，焦点F1(0，－1)，F2(0，1)，
所以MF1＝(－3，－1)，MF2＝(－3，1)，
cs 〈MF1，MF2〉＝MF1·MF2MF1·MF2＝12>0，
则〈MF1，MF2〉∈0，π2，即∠F1MF2为锐角，故根据椭圆的对称性可知，使得△F1PF2为直角三角形的点P恰有4个(以F1或F2为直角顶点)，D错误．故选BC.
(2)由6x2－5x＋1＝(3x－1)(2x－1)＝0，得x＝13或x＝12.
若e＝13，当椭圆的焦点在x轴上时，0可得m＝329，满足条件；
当椭圆的焦点在y轴上时，m>4，则m-4m＝19，可得m＝92，满足条件．
若e＝12，同理可得m＝3或m＝163.
综上，m有4个不同的值．
(3)若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥12，
又e<1，所以e∈22，1.]
【教师备用】
(1)(2023·山东青岛模拟)已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，PF1=5PF2，则C的离心率为( )
A．216 B．22 C．12 D．23
(2)已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝a2c上存在一点P满足(FP+FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A．12，1 B．22，1
C．5-12，1 D．0，22
(1)A (2)C [(1)在椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得PF1+PF2＝2a，
因为PF1=5PF2，所以PF2＝a3，PF1＝5a3，在△PF1F2中，F1F2＝2c，
由余弦定理得F1F22＝PF12＋PF22－2PF1PF2cs ∠F1PF2，
即4c2＝25a29+a29-5a29＝73a2，所以 c2a2＝712，
所以C的离心率e＝ca＝216.故选A.
(2)记AP的中点为Q，则FQ＝12(FP+FA)，
所以(FP+FA)·AP＝2FQ·AP＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝b2+C2＝a.
因为点P在直线x＝a2c上，所以|FP|≥a2c－c，
即a≥a2c－c，所以ac≥a2c2－1，
所以e2＋e－1≥0，
解得e≥5-12或e≤-5-12.
又0＜e＜1，故5-12≤e＜1.故选C.]
与椭圆有关的最值(范围)问题
[典例5] (1)(多选)(2023·重庆模拟预测)已知椭圆的离心率为45，短轴长为2b，两个焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，记∠F1PF2＝θ，则下列结论中正确的是( )
A．△PF1F2的周长与点P的位置无关
B．当θ＝90°时，△PF1F2的面积取得最大值
C．△PF1F2的外接圆半径最小为43b
D．△PF1F2的内切圆半径最大为49b
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A．52 B．6 C．5 D．2
(3)(2024·广东深圳高三模拟)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋t与椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)交于A，B两点，P为AB的中点，直线OP的斜率为k0，若－34(1)ACD (2)A (3)12，63 [(1)由椭圆定义知，△PF1F2的周长为2a＋2c，故A正确；显然当P位于短轴端点时△PF1F2的面积最大，由e＝45知，此时θ>π2，故B错误；由正弦定理知外接圆直径2R＝2csinθ，由e＝45知θ最大为钝角，故sin θ＝1时，2R取最小值2c，故R的最小值为c＝43b，故C正确；设内切圆半径为r，由S△PF1F2＝12r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝12r(2a＋2c)知，S△PF1F2越大，则r越大，Smax＝12·2c·b＝bc，故rmax＝2bc2a+2c＝bca+c＝49b，故选ACD.
(2)设点P(x，y)，则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝254-2y+122.
当2y＋12＝0，即y＝－14(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.故选A.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k＝y1-y2x1-x2，x0＝x1+x22，y0＝y1+y22，
所以k0＝y0x0＝y1+y2x1+x2，得kk0＝y12-y22x12-x22，将A，B两点坐标代入椭圆方程，得x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式相减，得x12-x22a2+y12-y22b2＝0，有y12-y22x12-x22＝－b2a2，所以kk0＝－b2a2，
由－34由e＝ca，得13<1－e2<34，即14解得12所以椭圆的离心率的取值范围为12，63，故答案为：12，63.]
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1-b2a2求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．
跟进训练3 (1)如图，椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为( )
A．2-12 B．3-12
C．2－1 D．3－1
(2)(2023·湖南校联考二模)已知F1，F2分别为椭圆C：x26+y22＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF12＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为( )
A．64 B．16 C．8 D．4
(3)若点O和点F分别为椭圆x24+y23＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
(1)B (2)B (3)C [(1)由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，3c)，
将点P坐标代入x2a2+y2b2＝1，可得4c2a2+3c2b2＝1，
又b2＝a2－c2，则4 c4－8a2c2＋a4＝0，
所以4e4－8e2＋1＝0，因为0＜e＜1，所以e＝3-12.故选B.
(2)|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2，
因为椭圆上的点P满足|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
当点P为F1F2的延长线与C的交点时，|PF1|－|PF2|取得最大值，最大值为|F1F2|＝4.
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为16.故选B.
(3)由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵x24+y23＝1，∴y2＝3－34x2，
∴OP·FP＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，
∴当x＝2时，OP·FP有最大值6.故选C.]
【教师备用】
拓展视野2 椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆x2a2+y2b2＝1a>b>0上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：PM⊥PN.
性质2：PO平分切点弦MN.
性质3：S△MON的最大值为ab2，S△MON的最小值为a2b2a2+b2.
[典例] (多选)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：x2a2+y2b2＝1a>b>0的蒙日圆为C：x2＋y2＝32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则( )
A．椭圆Γ的离心率为22
B．△MPQ面积的最大值为32a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为2-2a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－12
ABD [依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝32a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝ca＝1-b2a2＝22，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以PQ＝2×32a2＝6a，所以△MPQ面积的最大值为12PQ×32a2＝6a2×32a2＝32a2，故B正确；
设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F-c，0，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝12a2，所以MF2＝x0+c2+y02＝x02+y02＋2x0c＋c2＝32a2＋2x0×22a＋12a2＝2a2＋2ax0，又－62a≤x0≤62a，所以MF2≥2-3a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为6-2a2，故C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设Ax1，y1，Dx2，y2，则B-x1，-y1，k1＝y1-y2x1-x2，k2＝y1+y2x1+x2，又x122b2+y12b2=1，x222b2+y22b2=1，所以x12-x222b2+y12-y22b2＝0，
所以y12-y22x12-x22＝y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2＝－12，
所以k1k2＝－12，故D正确．故选ABD.]
课后习题(四十六) 椭圆及其性质
1．(人教A版选择性必修第一册P113例6改编)设动点M到定点F(－c，0)的距离与它到直线l：x＝－a2c的距离之比为ca，a>c>0，则动点M的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．圆或椭圆
B [设M(x，y)，由条件知x+c2+y2x+a2c＝ca，
两边平方并化简得a2-c2a2x2＋y2＝a2－c2，
∵a>c>0，∴令a2－c2＝b2(b>0)，
则b2a2x2＋y2＝b2，即x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，
∴动点M的轨迹是椭圆，故选B.]
2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为12 B．焦距为34
C．短轴长为14 D．离心率为32
D [把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得y214+x2116＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝32，短轴长2b＝12，离心率e＝ca＝32，故选D.]
3．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：x225+y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△AF1B的周长为________．
20 [△AF1B的周长为4a＝4×5＝20.]
4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________．
x216+y27＝1或y216+x27＝1 [因为a＝4，e＝34，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x216+y27＝1或y216+x27＝1.]
5．(2024·河北唐山模拟预测)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的面积为183π，以C的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则C的标准方程是( )
A．x29+y227＝1 B．x236+y227＝1
C．x281+y212＝1 D．x281+y23＝1
B [由题意知：ab＝183且ba＝32，则a2＝36，b2＝27.所以椭圆的标准方程为x236+y227＝1.
故选B.]
6．(2024年1月九省联考)椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1)的离心率为12，则a＝( )
A．233 B．2 C．3 D．2
A [由题意得e＝a2-1a＝12，解得a＝233.故选A.]
7．(2024·湖北孝感校联考模拟预测)某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3F1F2.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为( )
A．2103 米 B．655 米
C．83 米 D．125 米
B [根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如图，
根据椭圆的定义△PQF1的周长为|PQ|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝3×2c，
即2a＝3c，①
由该椭球横截面的最大直径为2米，可知2b＝2，得b＝1.
又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝c2＋1，②
①②联立可得c＝255，a＝355，所以该椭球的高为2a＝655 米．故选B.]
8．(2023·陕西西安三模)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上一点P到焦点F1的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为( )
A．12 B．25 C．13 D．23
B [根据题意及椭圆的简单几何性质可得
a+c=7，a-c=3，解得a＝5，c＝2，
所以椭圆C的离心率e＝ca＝25.故选B.]
9．(2024·沈阳二中校考模拟预测)魏晋时期数学家刘徽(如图a)为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．将两个底面半径为1的圆柱分别从纵、横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图b)，两圆柱公共部分形成的几何体(如图c)即为一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上)．
由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为( )
A．22 B．12 C．24 D．14
A [由“牟合方盖”产生的过程可知，将图b中正方体的前面的面旋转至上面，
可得图中标出的各点A，B，C，D，P，Q在原正方体中相对对应的位置．如图所示，
故图中的曲线PBQD所对应的椭圆的长轴长2a＝|BD|＝22，短轴长2b＝|PQ|＝2，
于是可得此椭圆的半焦距c＝a2-b2＝1，因此，此椭圆的离心率e＝ca＝22.
故选A.]
10．(2024·四川巴中模拟预测)已知椭圆C：x2m+3+y2m-1＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C短轴的一个端点，且∠F1PF2＝90°，则椭圆C的长轴长是________．
42 [由椭圆C：x2m+3+y2m-1＝1，可得a2＝m＋3，b2＝m－1.
因为P是椭圆C短轴的一个端点，
且∠F1PF2＝90°，
可得PF12＋PF22＝F1F22，
即2a2＝4c2＝4(a2－b2)，
可得a2＝2b2，即m＋3＝2(m－1)，解得m＝5，
所以a＝22，故椭圆C的长轴长是42.]
11．(2024·广东韶关模拟预测)韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，|AB|＝44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为________．
45 [如图，按椭圆对称轴所在直线建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为y2a2+x2b2＝1(a>b>0)，
令y＝－c，即-c2a2+x2b2＝1，
解得x＝±b2a，
依题意可得a+c=110，2b2a=44，
所以a+c=110， a2- c2a=22，
所以a-ca＝22110，所以e＝ca＝45.]
12．(2024·四川绵阳模拟预测)设椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为13OF1.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)平面上一点B满足AB＝AF1+AF2，过F1与AB平行的直线交E于M，N两点，若MN＝32，求椭圆E的方程．
[解] (1)由题设AF2⊥F1F2及F1(－c，0)，
F2(c，0)，不妨设A(c，y0)(y0>0)，
所以C2a2+y02b2＝1，a2-b2a2+y02b2＝1，解得y0＝b2a或y0＝－b2a(舍去)，从而Ac，b2a，
直线AF1的方程为y＝b22ac(x＋c)，整理得b2x－2acy＋b2c＝0，
原点O到直线AF1的距离为b2cb4+4a2c2＝c3，将c2＝a2－b2代入整理得a2＝2b2，
即a＝2b＝2c，所以离心率e＝22.
(2)由(1)可设椭圆方程为x22c2+y2c2＝1，则Ac，c2，
因为AB＝AF1+AF2，
所以四边形AF2BF1为平行四边形，所以直线AB过O点，则AB斜率为12，
则设直线MN的方程为y＝12(x＋c)，
联立椭圆方程得2x2＋2cx－C2＝0，显然Δ>0，则xM＋xN＝－c，xM xN＝－c22，
则MN＝1+k2xM-xN＝1+12c2+2c2＝32，
解得c＝2，
所以b＝2，a＝22，所以椭圆E的方程为x28+y24＝1.
椭圆的标
准方程
x2a2+y2b2＝1(a>b>0)
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)
图象
椭圆焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
异同点
相同点：都满足a2＝b2＋c2.
不同点：焦点的位置和坐标不同
标准方程
x2a2+y2b2＝1(a>b>0)
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca∈(0，1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2