高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一课时两个计数原理、排列与组合课件

这是一份高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一课时两个计数原理、排列与组合课件，共34页。PPT课件主要包含了m＋n，m×n，一定的顺序，不同排列，不同组合等内容，欢迎下载使用。

考点一　两个计数原理及综合应用
[典例1]　(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24　　　B．18　　　 C．12　　　 D．9(2)(2024·四川资阳统考模拟)某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有(　　)A．360种 B．420种C．480种 D．540种
(3)(多选)(2024·山东枣庄模拟预测)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是(　　)A．选1人为负责人的选法种数为30B．每组选1名组长的选法种数为3 024C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
(1)B　(2)D　(3)ABC　[(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法．(2)如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉，有4种不同的布置方案，再在区域D布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同的布置方案；若区域B与区域E布置不同的花卉，则区域B有2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方案．故不同的布置方案有5×4×3×(3＋2×3)＝540(种)．故选D.
(3)对于A，选1人为负责人的选法有6＋7＋8＋9＝30(种)，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法有6×7×8×9＝3 024(种)，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法有6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335(种)，故C正确；对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37(种)，故D错误．故选ABC.]
[拓展变式]　若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．
点拨　利用两个计数原理解决问题的步骤
跟进训练1　(1)(2023·广西桂林一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有(　　)A．18种 B．24种 C．36种 D．54种
(2)(2024·福建三明模拟)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有(　　)A．180种 B．192种 C．300种 D．420种(3)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为________．
考点二　排列、组合问题1．排列与组合的概念
2．排列数与组合数的定义、公式、性质
考向1　排列问题[典例2]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．
点拨　求解排列应用问题的六种常用方法
考向2　组合问题[典例3]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
点拨　组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
跟进训练2　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
考点三　分组、分配问题考向1　不同元素的整体均分问题[典例4]　教育部为了发展各地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
考向2　不同元素的部分均分问题[典例5]　(2024·江苏南通模拟)“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为(　　)A．72 B．36 C．48 D．18
考向3　不同元素的不等分问题[典例6]　若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
考向4　相同元素的分配问题[典例7]　把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法种数为(　　)A．41 B．56 C．156 D．252
【教师备用】将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．
点拨　分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
跟进训练3　(1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)A．60种 B．120种 C．240种 D．480种(2)(2024·山东泰安高三模拟)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目．若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有(　　)A．540种 B．36种 C．108种 D．90种
(3)(2024·广东揭阳高三模拟)为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有________种．(用数字作答)