高三数学一轮复习第二章函数第一课时函数的概念及其表示学案

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第1课时 函数的概念及其表示
[考试要求] 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
考点一 函数的概念
1．函数的概念
提醒：以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f (x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f (x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为x│x≠kπ＋π2，k∈Z．
2．复合函数定义域的求法
(1)若f (x)的定义域为[m，n]，则f (g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域．
(2)若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，就是f (x)的定义域．
[典例1] (1)若函数y＝f (x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f (x)的图象可能是( )
A B
C D
(2)函数f (x)＝x+13x-2＋(x－1)0的定义域为( )
A．23，+∞ B．23，1∪(1，＋∞)
C．23，1∪(1，＋∞) D．23，+∞
(3)已知函数y＝f (x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝f2x+1x+2的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪(－2，3]
B．[－8，－2)∪(－2，1]
C．[－15，－2)∪(－2，3]
D．-92，-2∪(－2，0]
(1)B (2)C (3)D [(1)A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2]．故选B．
(2)要使函数f (x)＝x+13x-2＋(x－1)0有意义，
则3x-2>0x-1≠0，解得x>23且x≠1，
因此，函数f (x)的定义域为23，1∪(1，＋∞)．故选C．
(3)由题意得－8≤2x＋1≤1，解得－92≤x≤0，
又x＋2≠0，解得x≠－2，故函数的定义域是
-92，-2∪(－2，0]．故选D．]
本例(1)考查对函数概念的理解，注意集合A中任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y与之对应；本例(2)特别注意(x－1)0中x－1≠0；本例(3)要注意f (x)中的“x”与f (2x＋1)中“2x＋1”的范围一致．
跟进训练1 (1)函数f (x)＝4-x2x-1的定义域为( )
A．[－2，2] B．(－2，3)
C．[－2，1)∪(1，2] D．(－2，1)∪(1，2)
(2)已知函数f (x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数f (2x－2)的定义域为( )
A．(0，2) B．-12，12
C．(1，2) D．-12，0
(3)若函数y＝mx-1mx2+4mx+3的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．0，34 B．0，34
C．0，34 D．0，34
(1)C (2)C (3)D [(1)要使函数有意义，则4-x2≥0，x-1≠0，解得－2≤x≤2，且x≠1，
故函数f (x)的定义域为[－2，1)∪(1，2]．故选C．
(2)对于函数f (x＋2)，－2即f (x)的定义域为(0，2)，
对于函数f (2x－2)，0<2x－2<2，即1故f (2x－2)的定义域是(1，2)．故选C．
(3)∵函数y＝mx-1mx2+4mx+3的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3≠0，
∴m＝0或m≠0，Δ=16m2-12m<0，
即m＝0或0∴实数m的取值范围是0，34．故选D．]
考点二 同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
[典例2] 下列各组中的两个函数为同一个函数的是( )
A．y1＝x2-16x-4，y2＝x＋4
B．f (x)＝x－1，g(x)＝x2－1
C．f (x)＝x2－2x＋1，g(t)＝t2－2t＋1
D．f 1(x)＝1，f 2(x)＝x0
C [A项：y1的定义域不包括x＝4，两个函数的定义域不同，所以是不同函数；
B项：g(x)＝x2－1＝|x|－1≠f (x)，即对应关系不同；
C项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一个函数；
D项：f 2(x)的定义域不包括x＝0，两个函数的定义域不同，所以是不同函数．故选C．]
判断两个函数是否为同一个函数的注意点：(1)f (x)与g(x)的(化简之前)定义域必须相同；
(2)f (x)与g(x)的(化简之后)表达式必须相同；
(3)二者缺一不可．
跟进训练2 (多选)下列四组函数，f (x)与g(x)不表示同一个函数的是( )
A．f (x)＝x－1，g(x)＝x2-1x+1
B．f (x)＝x，g(x)＝(x)2
C．f (x)＝1，g(x)＝(x＋1)0
D．f (x)＝|x＋1|，g(x)＝x+1，x≥-1-x-1，x<-1
ABC [对A，g(x)＝x2-1x+1(x≠－1)，f (x)与g(x)定义域不同；
对B，g(x)＝(x)2＝x(x≥0)，f (x)与g(x)定义域不同；
对C，g(x)＝(x＋1)0＝1(x≠－1)，f (x)与g(x)定义域不同；
对D，f (x)＝|x＋1|＝x+1，x≥-1，-x-1，x<-1，则f (x)与g(x)为同一个函数．故选ABC．]
考点三 函数解析式的求法
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法；
(2)换元法；
(3)配凑法；
(4)构造方程组消元法．
[典例3] (1)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x∈R均满足：2f (x)－f (－x)＝3x＋1，则函数f (x)的解析式为( )
A．f (x)＝x＋1 B．f (x)＝x－1
C．f (x)＝－x＋1 D．f (x)＝－x－1
(2)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
(3)已知f x-1x＝x2＋1x2，则函数f (x)＝____________，f (3)＝________．
(1)A (2)4x＋1 (3)x2＋2 11 [(1)由2f (x)－f (－x)＝3x＋1，
可得2f (－x)－f (x)＝－3x＋1，①
又4f (x)－2f (－x)＝6x＋2，②
①＋②得：3f (x)＝3x＋3，
解得f (x)＝x＋1，故选A．
(2)∵f (x)为单调递增的一次函数，∴设f (x)＝ax＋b，a>0，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53(不合题意，舍去)．因此f (x)＝4x＋1．
(3)令x－1x＝t，则x2＋1x2＝x-1x2＋2＝t2＋2，
所以f (t)＝t2＋2，所以f (x)＝x2＋2，
所以f (3)＝32＋2＝11．]
本例(1)的关键是构造关于f (x)与f (－x)的二元一次方程组，用构造方程组消元法求解；本例(2)注意f (x)为单调递增的一次函数，设f (x)＝ax＋b，a>0，用待定系数法求解；本例(3)换元法的关键是令x－1x＝t，发现x2＋1x2＝x-1x2＋2＝t2＋2．
跟进训练3 (1)已知f (x＋1)＝x＋2x，求f (x)的解析式；
(2)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式；
(3)已知f (x)满足2f (x)＋f 1x＝3x，求f (x)的解析式．
[解] (1)法一(配凑法)：∵f (x＋1)＝x＋2x
＝(x＋1)2－1，
∴f (x)＝x2－1，x≥1．
法二(换元法)：令x＋1＝t，t≥1，则x＝t－1，x＝(t－1)2，
∴f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
∴f (x)的解析式为f (x)＝x2－1(x≥1)．
(2)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝2，得c＝2，
又f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，
即2ax＋a＋b＝x－1，
∴2a=1，a+b=-1，即a=12，b=-32．
∴f (x)＝12x2－32x＋2．
(3)(方程组法)∵2f (x)＋f 1x＝3x，①
∴将x用1x替换，
得2f 1x＋f (x)＝3x，②
由①②解得f (x)＝2x－1x(x≠0)．
考点四 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
提醒：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
[典例4] (1)已知函数f (x)＝2x-1，x<0，2x，x>0，那么f (3)的值是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
(2)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f (x)＝x2-4，x>2，x-3+a，x≤2，若f (f (6))＝3，则a＝________．
(1)A (2)2 [(1)因为函数f (x)＝2x-1，x<0，2x，x>0，
所以f (3)＝23＝8．故选A．
(2)因为6>2，所以f (6)＝6－4＝2，
所以f (f (6))＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]
由于分段函数在x的不同取值范围内对应的表达式不同， 所以做题时应注意函数表达式的选择．本例(1)因为3>0，则代入f (x)＝2x；本例(2)在求解时要先内后外，即先求出f (6)的值为2，再求f (f (6))＝f (2)＝1＋a．
跟进训练4 (1)(2024·山东省聊城一中期中)已知函数f (x)＝3x+1，x≥4，fx2，x<4，则f (3)＋f (4)＝( )
A．37 B．41
C．19 D．23
(2)已知函数f (x)＝2x，x>0，x+1，x≤0，若f (a)＋f (1)＝0，则实数a＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(3)已知函数f (x)＝1+lg22-x，x<1，2x-1，x≥1，
则f (f (－2))＝________．
(1)B (2)A (3)4 [(1)因为f (x)＝3x+1，x≥4，fx2，x<4，则f (3)＝f (9)＝3×9＋1＝28，f (4)＝3×4＋1＝13，
因此，f (3)＋f (4)＝41．
故选B．
(2)∵函数f (x)＝2x，x>0，x+1，x≤0，
∴f (1)＝21＝2，
∵f (a)＋f (1)＝0，
∴f (a)＝－2，
当a>0时，f (a)＝2a＝－2，
方程2a＝－2无解，即满足条件的a不存在；
当a≤0时，f (a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3．
∴a＝－3．故选A．
(3)由f (x)＝1+lg22-x，x<1，2x-1，x≥1，
所以f (－2)＝1＋lg2[2－(－2)]＝1＋lg24＝3，
所以f (f (－2))＝f (3)＝23-1＝22＝4．故答案为4．]
课后习题(五) 函数的概念及其表示
1．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是( )
A B C D
B [函数f (x)＝|x－1|＝x-1，x≥1，1-x，x<1．结合选项可知，选项B正确．故选B．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P72习题3.1T2改编)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f (x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f (x)＝-x3与g(x)＝x-x
C．f (x)＝xx与g(x)＝1x0
D．f (x)＝x与g(x)＝x2
AC [f (x)＝-x3＝－x-x与g(x)＝x-x的表达式不同；f (x)＝x与g(x)＝x2＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．]
3．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f (x)＝x＋1x，则f (x)的定义域为________；若f (a)＝2，则a的值为________．
(－∞，0)∪(0，＋∞) 1 [要使函数f (x)有意义，必须使x≠0，
故f (x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
由f (a)＝2得a＋1a＝2，解得a＝1．]
4．(人教A版必修第一册P74习题3.1T13改编)函数f (x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．
(1)若f (a)＝3，求实数a的取值范围；
(2)当x∈(－1.5，2]时，写出函数f (x)的解析式．
[解] (1)若f (a)＝3，则[a]＝3，[x]表示不超过x的最大整数，知a∈[3，4)．
(2)当x∈(－1.5，2]时，
f (x)＝-2，-1.55．下列图象中，能表示函数y＝f (x)图象的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．①③
D [∵一个x只能对应一个y，∴①③符合题意．
对于②中，当x>0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义；
对于④中，当x＝0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义．
故选D．]
6．(2024·福建福州模拟)下列四组函数中，f (x)与g(x)是同一个函数的是( )
A．f (x)＝x，g(x)＝x2x
B．f (x)＝2lg x，g(x)＝lg x2
C．f (x)＝|x|，g(x)＝x2
D．f (x)＝12x，g(x)＝x12
C [A选项，f (x)＝x的定义域是R，g(x)＝x2x的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数；
B选项，f (x)＝2lg x的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数；
C选项，g(x)＝x2＝|x|＝f (x)，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一个函数；
D选项，f (x)＝12x的定义域是R，g(x)＝x12的定义域是{x|x≥0}，所以不是同一个函数．故选C．]
7．(2024·湖北省武昌实验中学校考模拟预测)已知函数f (x)＝2x，x≥4，fx+2，x<4，则f (1＋lg23) 的值为( )
A．6 B．11
C．24 D．36
C [1＋lg23∈(2，3)，
所以f (1＋lg23)＝f (3＋lg23)＝23＋lg23＝23·2lg23＝8×3＝24，故选C．]
8．(多选)十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f (x)满足f (x)·f (－x)＝1，则称f (x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是( )
A．f (x)＝1 B．f (x)＝x2
C．f (x)＝ex D．f (x)＝ln x
AC [对于A：f (x)＝1，则f (－x)＝1，
所以f (x)·f (－x)＝1，故A正确；
对于B：f (x)＝x2，则f (2)·f (－2)＝16，故B错误；
对于C：f (x)＝ex，则f (－x)＝e－x，
所以f (x)·f (－x)＝ex·e－x＝e0＝1，故C正确；
对于D：f (x)＝ln x定义域为(0，＋∞)，则当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，此时f (－x)无意义，故D错误．
故选AC．]
9．(2023·上海徐汇统考三模)函数y＝lg 2-xx+3的定义域为________．
(－3，2) [函数y＝lg 2-xx+3中，2-xx+3>0，
即(x－2)(x＋3)<0，解得－3所以函数y＝lg 2-xx+3的定义域为(－3，2)．
故答案为(－3，2)．]
10．(2023·北京市第十中学高三三模)函数f (x)＝x+1＋12-x的定义域为________．
[－1，2)∪(2，＋∞) [由题意得x+1≥02-x≠0，解得x≥－1且x≠2，
所以函数的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)．
故答案为[－1，2)∪(2，＋∞)．]
11．(2024·青岛第五十八中学高三一模)设函数f (x)＝x2+1，x≤0，lgx，x>0．若f (a)＝0，则a＝________．
1 [由题知，当a≤0时，f (a)＝a2＋1＝0无解；
当a>0时，f (a)＝lg a＝0，解得a＝1，成立．
故答案为1．]
12．设函数f (x)＝x-a，x≤1，lg3x，x>1．
(1)如果f (1)＝3，那么实数a＝________；
(2)如果函数y＝f (x)－2有且仅有两个零点，那么实数 a的取值范围是________．
(1)－2或4 (2)(－1，3] [(1)由题意f (1)＝|1－a|＝3，解得a＝－2或a＝4．
(2)如图，
y＝|x－a|的图象是由两条以(a，0)为端点的射线组成，当(a，0)在A，B之间(包括B不包括A)时，函数y＝f (x)和y＝2有两个交点，即y＝f (x)－2有两个零点．所以实数a的取值范围为(－1，3]．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：函数的奇偶性、函数性质的综合．
函数的性质主要考查与抽象函数有关的问题(奇偶性、单调性、对称性、周期性等)．
2．轮考点：函数的概念、图象，函数的应用．
(1)函数的概念主要考查新定义问题、分段函数的求值等问题；
(2)函数的图象主要考查基本初等函数图象的识别；
(3)指数、对数、幂函数主要考查代数值的大小比较，对数函数的性质应用等问题；
(4)函数的应用主要考查函数零点问题、函数模型的应用等．
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
定义域
x的取值范围A
对应
关系
y＝f (x)，x∈A
值域
与x的值相对应的y值的集合{f (x)|x∈A}