高三数学一轮复习第二章函数第七课时函数的图象及其应用学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第七课时函数的图象及其应用学案，共15页。

1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；
(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象 关于x轴对称 y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象 关于y轴对称 y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象 关于原点对称 y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象 关于直线y=x对称 y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象
a＞1，横坐标缩短为原来的1a，纵坐标不变 0＜a＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变 y＝f (ax)的图象；
②y＝f (x)的图象
a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 y＝af (x)的图象．
(4)翻折变换
①y＝f (x)的图象x轴下方部分翻折到上方 x轴及上方部分不变 y＝|f (x)|的图象；
②y＝f (x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧 原y轴左侧部分去掉，右侧不变 y＝f (|x|)的图象．
[常用结论]
(1)函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)的图象关于直线x＝b-a2对称；
(2)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝2b－f (－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
[典例1] 作出下列函数的图象．
(1)y＝12x；
(2)y＝|lg2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1．
[解] (1)先作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，再作出y＝12x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12x的图象，如图①实线部分所示．
(2)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图②．
(3)∵y＝x2-2x-1，x≥0，x2+2x-1，x<0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③．
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数，三角函数y＝sin x、y＝cs x等函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
跟进训练1 作出下列函数的图象．
(1)y＝10|lg x| ；(2)y＝|lg2x－1|．
[解] (1)y＝10|lg x|＝x，x≥1，1x，0(2)先作出y＝lg2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|lg2x－1|的图象，如图②所示．
考点二 函数图象的辨识
辨析函数图象的入手点，具体如下：
[典例2] (1)(2024·宜宾市第四中学校考一模)函数f (x)＝x sin2x-3π2≤x≤3π2的图象大致为( )
A B
C D
(2)(2023·天津卷)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝5ex-e-xx2+2 B．f (x)＝5sinxx2+1
C．f (x)＝5ex+e-xx2+2 D．f (x)＝5csxx2+1
(1)D (2)D [(1)因为－3π2≤x≤3π2，f (－x)＝－x sin2x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，排除A，C，
又f π2＝π2，f 3π22＝3π2，所以f 3π2>f π2，所以选D．
(2)由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，故排除A，B；
当x>0时，5ex+e-xx2+2>0，排除C选项；
故选D．]
本例(1)先根据奇偶性排除A，C，再根据f 3π2>f π2，确定选项．
本例(2)由图知函数为偶函数，先排除A，B，再判断C中函数在(0，＋∞)上的函数符号排除选项，即得答案．
【教师备用】
(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模)函数f (x)＝(x＋1)ln |x－1|的大致图象是( )
A B
C D
B [因为f (x)＝(x＋1)ln |x－1|，
所以f -12＝12ln 32>0，故排除C，D．
当x>2时，f (x)＝(x＋1)ln (x－1)>0恒成立，排除A．
故选B．]
跟进训练2 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)csx在区间-π2，π2的图象大致为( )
A B
C D
(2)(2024·江西统考模拟预测)函数f (x)＝x22-2x的图象大致为( )
A B
C D
(1)A (2)D [(1)令f (x)＝(3x－3－x)cs x，x∈-π2，π2，
则f (－x)＝(3－x－3x)cs (－x)＝－(3x－3－x)cs x＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数，排除BD；
又当x∈0，π2时，3x－3－x＞0，cs x＞0，所以f (x)＞0，排除C．故选A．
(2)由题可知，2－2|x|≠0⇒x≠±1，
所以函数f (x)的定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，
又f (－x)＝x22-2x＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，排除A，C；
又f (2)＝42-4＝－2<0，排除B．故选D．]
考点三 函数图象的应用
[典例3] (1)已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f (x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f (x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f (x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)设函数f (x)＝2x-1，x≤2，-x+5，x>2．若互不相等的实数a，b，c满足f (a)＝f (b)＝f (c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是( )
A．(16，32) B．(18，34)
C．(17，35) D．(6，7)
(1)C (2)B [(1)由题意得f (x)＝x2-2x，x≥0，-x2-2x，x<0，画出函数f (x)的图象，如图，观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
(2)画出函数f (x)的图象如图所示．
不妨令a＜b＜c，则1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2．
结合图象可得4＜c＜5，故16＜2c＜32，
所以18＜2a＋2b＋2c＜34．]
解决本例(1)需熟知对于已知解析式或易画出在给定区间上的图象的函数，常借助图象研究其性质：
(1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值．
(2)从图象的对称性分析函数的奇偶性．
(3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性．
本例(2)解决的关键是转化为函数图象的交点问题，结合图象即可．
跟进训练3 (1)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
(2)已知函数f (x)＝lg13x，x＞0，2x，x≤0，若关于x的方程f (x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．
(1)12，1 (2)(0，1] [(1)先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时，斜率为12，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为12，1．
(2)作出函数y＝f (x)与y＝k的图象，如图所示，
由图可知k∈(0，1]．]
课后习题(十一) 函数的图象及其应用
1．(湘教版必修第一册P152复习题四T16改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
A B
C D
C [法一：出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，故选C．
法二：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降得快，故选C．]
2．(人教A版必修第一册P73习题3.1T7改编)下列图象是函数y＝x2，x<0，x-1，x≥0的图象的是( )
A B C D
C [其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．]
3．(人教A版必修第一册P68例6改编)对于任意实数a，b，定义mina，b＝a，a≤b，b，a>b．设函数f (x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝minfx，gx的最大值是________．
1 [在同一平面直角坐标系中，作出函数f (x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分，令－x＋3＝lg2x⇒x＝2，
则点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为1．
故答案为1．]
4．(人教A版必修第一册P159复习参考题4T1(1)改编)函数y＝f (x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________．
e－x+1 [函数y＝f (x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，可得f (x)＝e－x，
把y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，即g(x)＝e－x+1．
故答案为e－x+1．]
5．已知函数f (x)＝|2x-1－2|＋m有两个零点，则m的取值范围是( )
A．(0，2) B．(0，＋∞)
C．(－2，0) D．(－∞，0)
C [令f (x)＝|2x-1－2|＋m＝0，得|2x-1－2|＝－m．
因为f (x)有两个零点，所以函数y＝|2x-1－2|的图象与直线y＝－m有两个交点．
画出函数y＝|2x-1－2|的图象，如图所示．由图可知0<－m<2，则－2]
6．(2024·天津北辰校考模拟预测)已知函数f (x)＝x-1x·ln |x|，其图象大致为( )
A B
C D
A [由f (－x)＝-x-1-x·ln |－x|＝x-1-x·ln |x|＝－f (x)，知f (x)的图象关于原点对称，排除B，D；当00，排除C．故选A．]
7．(2023·鞍山一中校考二模)函数y＝sin x·ln x2+2x2的图象可能是( )
A B
C D
A [因为y＝f (x)＝sin x·ln x2+2x2定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝sin (－x)·ln -x2+2-x2＝－sin x·ln x2+2x2＝－f (x)，
所以y＝sin x·ln x2+2x2为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C，x∈(0，π)时，sin x>0，x2+2x2＝1＋2x2>1，
所以ln x2+2x2>0，
所以y＝sin x·ln x2+2x2>0，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合x∈(0，π)时，y＝sin x·ln x2+2x2>0，故A正确．故选A．]
8．函数f (x)＝x2－32x的零点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [函数f (x)＝x2－32x的零点，即为f (x)＝x2－32x＝0的根，所以x2＝32x，
画出两个函数图象如图所示：
根据图象及指数函数的增长趋势，可知两个函数的图象有3个交点，所以函数f (x)＝x2－32x有3个零点，故选C．]
9．(多选)关于函数f (x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有( )
A．函数f (x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f (x)有且仅有两个零点
ABD [函数f (x)＝|ln |2－x||的图象如图所示，
由图可得，函数f (x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；
函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；
若x1≠x2，但f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；
函数f (x)有且仅有两个零点，D正确．
故选ABD．]
10．已知奇函数f (x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf (x)<0的解集为________．
(－2，－1)∪(1，2) [∵xf (x)<0，∴x和f (x)异号，由于f (x)为奇函数，补全函数的图象如图．
当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f (x)>0，
当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f (x)<0，
∴不等式xf (x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)．
故答案为(－2，－1)∪(1，2)．]
函数性质
函数图象特征
函数的定义域
图象的左右位置
函数的值域
图象的上下位置
函数的奇偶性
图象的对称性
函数的单调性
图象的变化趋势
函数的周期性
图象的循环往复
函数的零点
图象与x轴的交点情况
函数经过的定点、极值点等
函数图象上的特殊点