北师大版八年级数学下册压轴题攻略专题07图形旋转之费马点最值模型全攻略(原卷版+解析)

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专题07 图形旋转之费马点最值模型全攻略如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值类型一、基本费马点模型例题1.如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长． 【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【变式训练4】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）A．+ B．+ C．4 D．3类型二、加权费马点模型例：如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值专题07 图形旋转之费马点最值模型全攻略如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值类型一、基本费马点模型例题1.如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而，（两点之间线段最短），从而.过作的平行线分别交于点，易知.因为在和中，①， ②。又，所以③. ①+②+③可得，即.综上，的取值范围为.【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长． 【解析】 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）． ∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO=．∴ BG=BO+GO =+．∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴ +=，解得=2．【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．【详解】解：如图所示，将绕点A逆时针旋转60°于，将绕点B顺时针旋转60°于，连接，，作交BA的延长线于点G，作交AB的延长线于点H，∴，，∴，，，，又∵旋转角等于60°，∴，，∴和都是等边三角形，∴，，∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE，∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值为的长度．∵，，∴，，又∵，，∴，，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是矩形，∴，∴，，∴．∴．∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值为．【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF，∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．【变式训练4】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）A．+ B．+ C．4 D．3【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等边三角形，∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，∴EC＝＝＝＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值为+．故选：B．类型二、加权费马点模型例：如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，∴，，，∴为等边三角形，∴，∴，∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为同理可证为等边三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值为；（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，∴，，，，，∴，∴，∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为∵∠ACB=30°，∴∴，过点A再作的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值为；（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，，∴，过点C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为∵∠ACB=30°，∴∴，过点A再作的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴，∴，∴∴，∴的最小值为；