初中数学北师大版八年级下册第三章 图形的平移与旋转综合与测试习题ppt课件
展开【中考·荆州】如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)图②中，∠AOF＝__________(用含α的式子表示)；
(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
解：AF＝DE.证明如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.∵∠DOF＝∠COE＝α，∴∠AOF＝∠DOE.∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE.
如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；
(2)求证：∠A1AC＝∠C1.
证明：由旋转的性质知△ABC≌△A1BC1，∴∠ABC＝∠A1BC1＝120°，AB＝A1B，∠C＝∠C1.∵∠A1BA＋∠A1BC1＝180°，∴∠A1BA＝60°.∴△A1BA为等边三角形．∴∠A1AB＝60°.∴∠A1AB＋∠ABC＝180°.∴AA1∥BC.∴∠C＝∠A1AC.∴∠A1AC＝∠C1.
如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.求证：BC∥AD.
证明：由旋转的性质可得△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°，∴AB＝DB.∴△ABD是等边三角形．∴∠DAB＝60°.∴∠CBE＝∠DAB.∴BC∥AD.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，且∠DAE＝45°.
(1)画出将△ABD绕点A逆时针旋转90°后的三角形；
解：如图，△ACF即为所求．
(2)若BD＝3，CE＝4，求DE的长．
解：连接EF，如图所示．∵把△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACF，∴∠B＝∠ACF，BD＝CF，AD＝AF，∠DAF＝90°.∴∠EAF＝90°－∠DAE＝45°＝∠DAE.
如图，把正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBP′，若BP＝2，AP＝1.
(2)连接CP，若CP＝3，求∠APB的度数．
解：∵PB＝P′B，∠PBP′＝90°，∴∠BP′P＝∠BPP′＝45°.∵把△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBP′，∴AP＝CP′＝1，∠APB＝∠BP′C.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D不与点A，B重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
证明：∵把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝∠DCF＋∠ECF＝90°.∵∠ACB＝90°＝∠ACD＋∠DCF，∴∠ACD＝∠ECF.又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数；
(3)求证：DE2＝BD2＋AD2.
证明：∵∠ABC＝∠EBC＝45°，∴∠DBE＝∠ABC＋∠EBC＝90°.∴DE2＝BD2＋EB2.又∵EB＝AD，∴DE2＝BD2＋AD2.
在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于M，N两点．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时(如图①)，易证BM＋DN＝MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图②)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？并进行证明．
解：BM＋DN＝MN.证明如下：如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE.由旋转的性质可得∠EAN＝90°，BE＝DN，AE＝AN，∠ABE＝∠D＝90°，∴E，B，C三点共线．∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°.又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.
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