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高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题1.1集合(原卷版+解析)
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这是一份高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题1.1集合(原卷版+解析)，共26页。
【核心素养】
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
知识点一
元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．
（4）五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
知识点二
集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
知识点三
集合的基本运算
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.
知识点四
集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.
4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
常考题型剖析
题型一：集合的基本概念
【典例分析】
例1-1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
例1-2．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式训练】
变式1-1.（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（ ）
A．－2B．－1C．D．
变式1-2.（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
题型二：集合间的基本关系
例2-1.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
例2-2.（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________
题型三：集合的基本运算
【典例分析】
例3-1.（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
例3-2．（2023·安徽·校联考二模）若集合，则的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例3-3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）若集合，集合，则中整数的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【规律方法】
如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
【变式训练】
变式3-1. （2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-3.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集，集合，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
题型四：利用集合的运算求参数
【典例分析】
例4-1.（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知、，集合，集合，若，则（ ）
A．B．C．或D．
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】
（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑 时是否成立，以防漏解．
【变式训练】
变式4-1.（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知集合，若，则的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．3
变式4-2.（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：集合的新定义问题
【典例分析】
例5-1. （2023·全国·高三专题练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例5-2．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．
【规律方法】
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2.（2023·山西·高三校联考阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．NB．ZC．QD．
1．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．（2023·陕西西安·校联考一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
4.（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
8.（2023·天津和平·统考一模）已知全集，则中元素个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
10．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
12.（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A．B．C．8D．6集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
专题1.1 集合
【核心素养】
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
知识点一
元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．
（4）五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
知识点二
集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
知识点三
集合的基本运算
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.
知识点四
集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.
4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
常考题型剖析
题型一：集合的基本概念
【典例分析】
例1-1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
例1-2．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．
【详解】集合，
所以集合的元素个数为9个．
故选：B．
【规律方法】
与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式训练】
变式1-1.（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（ ）
A．－2B．－1C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.
【详解】∵，∴，∴，
可知，故A、C、D错误；，故B正确.
故选：B
变式1-2.（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
题型二：集合间的基本关系
例2-1.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A
例2-2.（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.
【详解】集合，.
要使，只需，解得：.
故选：A
【方法技巧】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】用列举法表示集合A，再写出其子集即可作答.
【详解】集合，
则集合A的子集有：，共8个，
所以集合A的子集的个数为8.
故选：D
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________
【答案】
【分析】根据，列出元素之间的关系，即可求解实数的值.
【详解】因为，且，
所以，，
因为，，
所以，解得.
当时，，满足要求.
所以.
故答案为：.
题型三：集合的基本运算
【典例分析】
例3-1.（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】全集，集合，
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
例3-2．（2023·安徽·校联考二模）若集合，则的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先化简集合，然后利用交集运算求解.
【详解】由题意得，，
故，即共有4个元素，
故选：C．
例3-3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）若集合，集合，则中整数的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据不等式的解法，分别求得集合，，结合集合并集的运算，求得，进而得到答案.
【详解】由题意，可得集合，，
则，其中集合有，共有个.
故选：C.
【规律方法】
如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
【变式训练】
变式3-1. （2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【详解】依题意得，，
所以．
故选：C．
变式3-2. （2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，得，所以，
不等式的解集为，
所以，
所以或，
所以；
故选：A.
变式3-3.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集，集合，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先表示出集合与集合的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即可．
【详解】由题意知，，
所以，，
故选：B．
题型四：利用集合的运算求参数
【典例分析】
例4-1.（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知、，集合，集合，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】利用交集运算可得出，可得出，讨论、的取值范围，结合已知条件检验可得出结果.
【详解】因为集合，集合，若，则，可得，
若，则，此时，，不合乎题意；
若，则，此时，，合乎题意.
因此，.
故选：D.
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性求解.
【详解】因为集合，集合，且，
所以，
所以若，不满足元素互异性，
则或，满足互异性，
所以.
故选：C．
【规律方法】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】
（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑 时是否成立，以防漏解．
【变式训练】
变式4-1.（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知集合，若，则的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】由集合A中的元素，计算可能出现在集合B中的元素，得到的值的范围.
【详解】
若，则的值可能是-3，0，3，不可能是-1.
故选：B.
变式4-2.（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
故选：A
题型五：集合的新定义问题
【典例分析】
例5-1. （2023·全国·高三专题练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据在R上定义运算，结合分式不等式的解法求出不等式的解集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解.
【详解】由得，
即，解得，
由题设知，解得.
故选：C.
例5-2．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．
【答案】7
【分析】令，列举出所有三元子集，结合组成v阶的Steiner三元系定义，确定中元素个数.
【详解】由题设，令集合，共有7个元素，
所以的三元子集，如下共有35个：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有：
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.
故答案为：7
【规律方法】
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.
【详解】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
变式5-2.（2023·山西·高三校联考阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．NB．ZC．QD．
【答案】C
【分析】根据数域的定义，对选项进行验证.
【详解】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；
任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；
对于集合，，，故不是数域，D选项错误.
故选：C
1．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
2.（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
3.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.
【详解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为.
故选：C
2．（2023·陕西西安·校联考一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，然后根据集合的并集运算可得答案.
【详解】因为，所以，所以．
故选：B
3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用集合之间的基本关系即可判断.
【详解】,,
,
，故B正确；
，,
,故AD正确；
故选：C
4.（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可得：
所以.
故选：D.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求函数定义域、解一元二次方程求集合，由集合交运算求.
【详解】由题设，，或，
所以.
故选：A
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再利用并集的运算即可求解.
【详解】集合，
又因为集合，由交集的定义可得，
，
故选：C.
7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【详解】因为，所以.
当时，，得；
当时，则.
故实数x的取值集合为.
故选：B
8.（2023·天津和平·统考一模）已知全集，则中元素个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】利用列举法表示全集，可得到，从而得到集合，即可得解；
【详解】因为，，
∴，，
∴，中元素个数为4个，
故选：B．
9.．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】A
【分析】根据交集的运算和子集的定义求解.
【详解】因为，又，
所以，
所以的元素个数为3，其非空子集有7个．
故选:A．
10．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解分式不等式求集合B，应用集合的交、补运算求结果.
【详解】由题设，由知：，则，
所以，故.
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：由，，解得，
所以，
集合，
因为，所以，解得．
故选：C．
12.（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A．B．C．8D．6
【答案】C
【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故选：C
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
【核心素养】
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
知识点一
元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．
（4）五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
知识点二
集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
知识点三
集合的基本运算
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.
知识点四
集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.
4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
常考题型剖析
题型一：集合的基本概念
【典例分析】
例1-1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
例1-2．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式训练】
变式1-1.（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（ ）
A．－2B．－1C．D．
变式1-2.（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
题型二：集合间的基本关系
例2-1.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
例2-2.（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________
题型三：集合的基本运算
【典例分析】
例3-1.（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
例3-2．（2023·安徽·校联考二模）若集合，则的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例3-3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）若集合，集合，则中整数的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【规律方法】
如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
【变式训练】
变式3-1. （2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-3.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集，集合，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
题型四：利用集合的运算求参数
【典例分析】
例4-1.（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知、，集合，集合，若，则（ ）
A．B．C．或D．
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】
（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑 时是否成立，以防漏解．
【变式训练】
变式4-1.（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知集合，若，则的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．3
变式4-2.（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：集合的新定义问题
【典例分析】
例5-1. （2023·全国·高三专题练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例5-2．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．
【规律方法】
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2.（2023·山西·高三校联考阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．NB．ZC．QD．
1．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．（2023·陕西西安·校联考一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
4.（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
8.（2023·天津和平·统考一模）已知全集，则中元素个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
10．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
12.（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A．B．C．8D．6集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
专题1.1 集合
【核心素养】
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
知识点一
元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．
（4）五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
知识点二
集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
知识点三
集合的基本运算
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.
知识点四
集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.
4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
常考题型剖析
题型一：集合的基本概念
【典例分析】
例1-1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
例1-2．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．
【详解】集合，
所以集合的元素个数为9个．
故选：B．
【规律方法】
与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式训练】
变式1-1.（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（ ）
A．－2B．－1C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.
【详解】∵，∴，∴，
可知，故A、C、D错误；，故B正确.
故选：B
变式1-2.（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
题型二：集合间的基本关系
例2-1.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A
例2-2.（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.
【详解】集合，.
要使，只需，解得：.
故选：A
【方法技巧】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】用列举法表示集合A，再写出其子集即可作答.
【详解】集合，
则集合A的子集有：，共8个，
所以集合A的子集的个数为8.
故选：D
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________
【答案】
【分析】根据，列出元素之间的关系，即可求解实数的值.
【详解】因为，且，
所以，，
因为，，
所以，解得.
当时，，满足要求.
所以.
故答案为：.
题型三：集合的基本运算
【典例分析】
例3-1.（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】全集，集合，
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
例3-2．（2023·安徽·校联考二模）若集合，则的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先化简集合，然后利用交集运算求解.
【详解】由题意得，，
故，即共有4个元素，
故选：C．
例3-3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）若集合，集合，则中整数的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据不等式的解法，分别求得集合，，结合集合并集的运算，求得，进而得到答案.
【详解】由题意，可得集合，，
则，其中集合有，共有个.
故选：C.
【规律方法】
如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
【变式训练】
变式3-1. （2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【详解】依题意得，，
所以．
故选：C．
变式3-2. （2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，得，所以，
不等式的解集为，
所以，
所以或，
所以；
故选：A.
变式3-3.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集，集合，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先表示出集合与集合的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即可．
【详解】由题意知，，
所以，，
故选：B．
题型四：利用集合的运算求参数
【典例分析】
例4-1.（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知、，集合，集合，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】利用交集运算可得出，可得出，讨论、的取值范围，结合已知条件检验可得出结果.
【详解】因为集合，集合，若，则，可得，
若，则，此时，，不合乎题意；
若，则，此时，，合乎题意.
因此，.
故选：D.
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性求解.
【详解】因为集合，集合，且，
所以，
所以若，不满足元素互异性，
则或，满足互异性，
所以.
故选：C．
【规律方法】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】
（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑 时是否成立，以防漏解．
【变式训练】
变式4-1.（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知集合，若，则的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】由集合A中的元素，计算可能出现在集合B中的元素，得到的值的范围.
【详解】
若，则的值可能是-3，0，3，不可能是-1.
故选：B.
变式4-2.（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
故选：A
题型五：集合的新定义问题
【典例分析】
例5-1. （2023·全国·高三专题练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据在R上定义运算，结合分式不等式的解法求出不等式的解集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解.
【详解】由得，
即，解得，
由题设知，解得.
故选：C.
例5-2．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．
【答案】7
【分析】令，列举出所有三元子集，结合组成v阶的Steiner三元系定义，确定中元素个数.
【详解】由题设，令集合，共有7个元素，
所以的三元子集，如下共有35个：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有：
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.
故答案为：7
【规律方法】
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.
【详解】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
变式5-2.（2023·山西·高三校联考阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．NB．ZC．QD．
【答案】C
【分析】根据数域的定义，对选项进行验证.
【详解】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；
任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；
对于集合，，，故不是数域，D选项错误.
故选：C
1．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
2.（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
3.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.
【详解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为.
故选：C
2．（2023·陕西西安·校联考一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，然后根据集合的并集运算可得答案.
【详解】因为，所以，所以．
故选：B
3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用集合之间的基本关系即可判断.
【详解】,,
,
，故B正确；
，,
,故AD正确；
故选：C
4.（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可得：
所以.
故选：D.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求函数定义域、解一元二次方程求集合，由集合交运算求.
【详解】由题设，，或，
所以.
故选：A
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再利用并集的运算即可求解.
【详解】集合，
又因为集合，由交集的定义可得，
，
故选：C.
7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【详解】因为，所以.
当时，，得；
当时，则.
故实数x的取值集合为.
故选：B
8.（2023·天津和平·统考一模）已知全集，则中元素个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】利用列举法表示全集，可得到，从而得到集合，即可得解；
【详解】因为，，
∴，，
∴，中元素个数为4个，
故选：B．
9.．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】A
【分析】根据交集的运算和子集的定义求解.
【详解】因为，又，
所以，
所以的元素个数为3，其非空子集有7个．
故选:A．
10．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解分式不等式求集合B，应用集合的交、补运算求结果.
【详解】由题设，由知：，则，
所以，故.
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：由，，解得，
所以，
集合，
因为，所以，解得．
故选：C．
12.（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A．B．C．8D．6
【答案】C
【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故选：C
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
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