高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.3函数的奇偶性与周期性【原卷版+解析】

这是一份高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.3函数的奇偶性与周期性【原卷版+解析】，共39页。


【核心素养】
1.以常见函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
知识点二
函数的周期性
1.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2．常用结论
周期性常用的几个结论如下：
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；
（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；
（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；
（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.
（5）若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；
常考题型剖析
题型一：函数奇偶性的判断
【典例分析】
例1-1.（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
例1-2.（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（ ）．
A．B．C．D．
【知识拓展】
(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
【变式训练】
变式1-1.（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
变式1-2.（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：由函数的奇偶性求解析式（函数值）
例2-1.（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，
则当x<0时，f(x)= （ ）
A．B．
C．D．
例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则__________．
【规律方法】
应用函数的奇偶性求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
【变式训练】
变式2-1.（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是定义域为R的奇函数，时，，则（ ）
A．0B． C． D．2
变式2-2.（2021·上海高三二模）已知函数为奇函数，若，则___________．
题型三：由函数的奇偶性求参数值
【典例分析】
例3-1.（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
例3-2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【规律方法】
利用函数的奇偶性求参数值：
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
【变式训练】
变式3-1.（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
变式3-2. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：函数周期性及其应用
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高三对口高考）已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例4-2．（2023·全国·高三对口高考）若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为__________．
【规律方法】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
【变式训练】
变式4-1. 已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )
A．B．C．D．
变式4-2.（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为__________．
题型五：函数的奇偶性、单调性综合应用
【典例分析】
例5-1.（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例5-2.（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________.
【总结提升】
函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三对口高考）设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式5-2.（2023·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型六：函数的奇偶性、周期性综合应用
【典例分析】
例6-1.（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
例6-2.【多选题】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）定义在上的奇函数满足：是偶函数，且，则（ ）
A．B．
C．的图象不关于直线对称D．
【规律方法】
1.周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2.应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
【变式训练】
变式6-1.（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．B．的周期为2
C．D．
变式6-2.【多选题】（2023·山东泰安·统考模拟预测）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．的图象关于对称B．是的一个周期
C．D．
题型七：函数的奇偶性、周期性及单调性的综合应用
例7-1.【多选题】（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．直线y＝1与函数的图象在区间上有4个交点
D．
例7-2. （2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则、、的大小关系为__________．
【总结提升】
单调性、奇偶性与周期性的综合问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【变式训练】
变式7-1. （2023·全国·高三对口高考）函数均为偶函数，且当时，是减函数，设，，则a、b、c的大小是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-2.（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．是周期为4的周期函数D．
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2023·全国·高三对口高考）函数是定义在区间上的奇函数，，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3.（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
4．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·北京大兴·校考三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
6.（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的周期为3B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·云南·校联考模拟预测）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
三、填空题
9.（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数为偶函数，则______________．
10．（2023·全国·高三对口高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则__________．
11．（2023·山东烟台·统考三模）已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为________．
四、解答题
12．（2023·全国·高三对口高考）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
专题3.3 函数的奇偶性与周期性

【核心素养】
1.以常见函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
知识点二
函数的周期性
1.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2．常用结论
周期性常用的几个结论如下：
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；
（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；
（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；
（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.
（5）若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；
常考题型剖析
题型一：函数奇偶性的判断
【典例分析】
例1-1.（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
例1-2.（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，再判断选项AC的奇偶性，排除AC，判断选项B的单调性，排除B，判断选项D的奇偶性和单调性确定结论.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
由，所以函数为奇函数，
因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，
所以函数为上的增函数，
对于A，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，，
因为，所以函数不是奇函数，A错误；
对于B，设，则，
故函数不是其定义域上的增函数，B错误；
对于C，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，C错误；
对于D，设，则的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，
又函数为上的增函数，D正确；
故选：D.
【知识拓展】
(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．
(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
【变式训练】
变式1-1.（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【答案】C
【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.
【详解】函数的定义域为，
则，
由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
故选：C.
变式1-2.（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对称性分析可得函数有且仅有一个对称中心，结合图象变换分析判断.
【详解】由题意可得：，
因为
，
若为定值，
则，解得，此时，
所以函数有且仅有一个对称中心.
对于选项A：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故A错误；
对于选项B：有且仅有一个对称中心为，符合题意，故B正确；
对于选项C：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故C错误；
对于选项D：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故D错误；
故选：B.
题型二：由函数的奇偶性求解析式（函数值）
例2-1.（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，
则当x<0时，f(x)= （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
是奇函数，x≥0时，．
当时，，，得．故选D．
例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则__________．
【答案】
【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得，，赋值可求.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，
取可得
因为是偶函数，
所以，
取可得，
所以，又，
所以.
故答案为：.
【规律方法】
应用函数的奇偶性求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
【变式训练】
变式2-1.（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是定义域为R的奇函数，时，，则（ ）
A．0B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】 ，由于是定义域为R的奇函数，所以，
故选：C
变式2-2.（2021·上海高三二模）已知函数为奇函数，若，则___________．
【答案】
【解析】
利用奇函数的性质，代入1和-1，即可求得函数值.
【详解】
由题知：，又为奇函数，
则，
故，
故答案为：
题型三：由函数的奇偶性求参数值
【典例分析】
例3-1.（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
例3-2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
【规律方法】
利用函数的奇偶性求参数值：
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
【变式训练】
变式3-1.（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】方法一：由偶函数的性质，即可求得的值；方法二：由偶函数图像关于轴对称，求出二次函数对称轴，列出方程求解即可．
【详解】方法一：因为，
所以，
由，得，
解得；
方法二：，
因为是偶函数，
所以图像关于直线对称，
所以，解得，
故选：D．
变式3-2. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
为奇函数
当时，
又时，
本题正确选项：
题型四：函数周期性及其应用
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高三对口高考）已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合函数的周期性和奇偶性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，并且满足，
则，
所以，函数是周期为的周期函数，
且当时，，则
.
故选：B.
例4-2．（2023·全国·高三对口高考）若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为__________．
【答案】/
【分析】令，利用函数周期性的定义推导可得出结论.
【详解】令，对任意的，存在常数，
使得，即，
故函数的一个周期为，即函数的一个正周期为.
故答案为：.
【规律方法】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
【变式训练】
变式4-1. 已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由函数是定义域为的奇函数，所以，且，
又由，即，
进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
又由，可得，，
则，
所以．
故选C．
变式4-2.（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为__________．
【答案】/
【分析】由求出的取值范围，再结合函数的周期性可求得在上的解析式.
【详解】因为函数的周期为，当时，，
且，当时，则，
故当时，.
故答案为：.
题型五：函数的奇偶性、单调性综合应用
【典例分析】
例5-1.（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
例5-2.（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的 定义域为 ,
因为 ,
所以 ,
故函数 为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 ,
故 在 上单调递减, 且 .
则使得成立，
需，
所以且，
所以且，
所以且
解得或，
故答案为：.
【总结提升】
函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三对口高考）设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意结合的奇偶性和单调性的示意图，化简不等式为，数形结合，求得它的解集．
【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数，
且，函数图像示意图如图所示：

故不等式，即，即，
结合的示意图可得它的解集为或
故选：D．
变式5-2.（2023·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得函数在上单调递增，且为偶函数，进而可得，即得.
【详解】对任意的，都有，则，
令，则在上单调递增，
因为为定义在上的偶函数，
所以，即为偶函数，
又，
由，可得，即，
所以，
所以的解集为，
故选：A.
题型六：函数的奇偶性、周期性综合应用
【典例分析】
例6-1.（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
例6-2.【多选题】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）定义在上的奇函数满足：是偶函数，且，则（ ）
A．B．
C．的图象不关于直线对称D．
【答案】ACD
【分析】根据奇函数与偶函数的性质判断A，结合周期函数的定义证明函数是周期为8的周期函数，根据周期函数性质判断B，举反例判断C，结合周期性，利用分组求和法计算判断D.
【详解】∵是偶函数，∴，
将代换为可得，，
因为函数为定义在上的奇函数，
所以，故，
所以，故A正确；
因为，，
所以，即，
所以
所以函数是周期为8的周期函数，
∴，故B错误；
对于选项C，若的图象关于直线对称，则，
但是
又，这与假设矛盾，所以选项C正确；
∵是周期为8的周期函数，
∴的正奇数项的周期为4，
又，，，
∴
，
故D正确.
故选：ACD.
【规律方法】
1.周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2.应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
【变式训练】
变式6-1.（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．B．的周期为2
C．D．
【答案】C
【分析】由函数是R上的奇函数，可得，且，即可判断A，根据即可判断B，根据，令，求出，再结合函数的周期性即可判断CD.
【详解】因为函数是R上的奇函数，
所以，且，故A正确；
因为，所以的周期为2，故B正确；
由，
令，则，所以，
所以，故C错误；
，
所以，故D正确.
故选：C.
变式6-2.【多选题】（2023·山东泰安·统考模拟预测）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．的图象关于对称B．是的一个周期
C．D．
【答案】ACD
【分析】由函数的图象关于对称，可得，即可判断A；先求出最小正周期为，再推出由可判断B；令，求出可判断C；求出，可判断D.
【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得，
令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确.
对于B，令由，，
所以，，所以关于对称.
由，所以，
所以，，所以，关于对称.
令等价于，则，
又因为，所以
令等价于，
所以，
所以可得出最小正周期为.
，，所以不是的周期，所以B错误.
对于C，令，则，所以，所以C正确.
对于D，因为图象关于对称，所以，
因为，，因为最小正周期为，
所以，所以，
，
有，选项D正确.
故选：ACD.
题型七：函数的奇偶性、周期性及单调性的综合应用
例7-1.【多选题】（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．直线y＝1与函数的图象在区间上有4个交点
D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得关于对称和关于对称，由此推理计算即可判断各命题作答.
【详解】的定义域为，由为偶函数，得，
令等价于，所以，所即，
所以关于对称，
由图象关于成中心对称，得，
于是，令等价于，
所以，所以关于对称，
则，因此，所以，
所以，则是周期为4的周期函数，
当时，，
，故A正确；
在的图象如下图所示，

故B正确；

直线y＝1与函数的图象在区间上有5个交点，故C不正确；
当时，，可得：，
，，
，即，
因此，
故D正确；
故选：ABD.
例7-2. （2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则、、的大小关系为__________．
【答案】/
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，计算可得，，然后分析函数在区间上的单调性，即可得出、、的大小关系.
【详解】因为定义在上的奇函数，满足，
则，
所以，函数是周期为的周期函数，
所以，，
因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
故函数在上为增函数，
所以，，即.
故答案为：.
【总结提升】
单调性、奇偶性与周期性的综合问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【变式训练】
变式7-1. （2023·全国·高三对口高考）函数均为偶函数，且当时，是减函数，设，，则a、b、c的大小是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质和周期函数的定义证明，由此转化，利用函数的单调性比较其大小.
【详解】因为函数均为偶函数，
所以，，
所以，
所以，
，
因为，当时，是减函数，
所以，
所以.
故选：A.
变式7-2.（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．是周期为4的周期函数D．
【答案】ABC
【分析】由图象的平移可得是偶函数，从而判断B；对都有，取，可求得，从而判断A；
进而得到恒成立，从而判断C；再由已知可得在上单调递增，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，故是偶函数， B正确；
因为函数对都有，
所以取，可得，
又是偶函数，所以，从而可得， A正确；
由，知，故是周期为4的周期函数，C正确；
因为是偶函数，且是周期为4的周期函数，所以，
，
又对，当时，都有，
所以在上单调递增，，
即， D错误.
故选：ABC.
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】利用即可求出，即可求解
【详解】，
因为为奇函数，所以，
即，所以，
经检验，满足题意,
所以，所以.
故选：B.
2．（2023·全国·高三对口高考）函数是定义在区间上的奇函数，，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意结合奇函数的对称性分析运算.
【详解】因为与的单调性相同，且为奇函数，
设在处取到最大值，则在处取到最小值，
可得，且在处取到最大值，在处取到最小值，
所以.
故选：C.
3.（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
4．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
5.（2023·北京大兴·校考三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
【答案】D
【分析】根据得到，所以的周期为4，根据得到关于对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据求出时函数解析式；D选项，根据的最小正周期，得到的最小正周期.
【详解】因为，所以，故，
所以的周期为4，
又，所以，故关于对称，
又时，，故画出的图象如下：

A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误；
B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；
C选项，当时，，则，C错误；
D选项，由图象可知的最小正周期为4，
又，故的最小正周期为2，D正确.
故选：D
6.（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的周期为3B．
C．D．
【答案】D
【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得，，由此可得，再证明为周期为的函数，通过赋值可得，，由此判断B，结合周期函数定义判断A，根据周期函数性质判断CD .
【详解】因为为奇函数，
所以，
将代换为可得，，
取可得，，取可得，，
又，所以，
因为为偶函数，
所以，
将代换为可得，，又
所以，
将代换为可得，，
所以，
所以函数为周期函数，周期为4，
由取可得，又，
所以，B错误；
，C 错误；
，D正确；
因为，，所以函数不是周期为3的函数，A错误；
故选：D.
二、多选题
7．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由求得，即可判断A、B选项；由已知得出周期，结合函数的奇偶性，即可判断C、D选项.
【详解】已知函数为上的奇函数，则，即，解得，A正确；B错误；
又因为，即，从而周期为8，，
，
.
因为当时，，所以，
从而，，，
所以，C正确；D错误.
故选：AC.
8．（2023·云南·校联考模拟预测）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
【答案】AD
【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.
【详解】选项A：
设，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，
，所以为偶函数，故A正确；
选项B：
，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故B错误；
选项C：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以为偶函数，故C错误；
选项D：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，，
因为是不恒为0的函数，
所以不恒成立，所以不是奇函数，，
因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，
所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，
故选：AD.
三、填空题
9.（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数为偶函数，则______________．
【答案】1
【分析】根据偶函数的性质即可得到对均成立，从而求出参数的值.
【详解】由题设，，
所以，得，得对均成立．
所以，解得．
经检验，满足要求.
故答案为：
10．（2023·全国·高三对口高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则__________．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得出的值，根据函数对称性可得出的值，推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，
则对任意的，，，则，
所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，且，
因此，.
故答案为：.
11．（2023·山东烟台·统考三模）已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为________．
【答案】1
【分析】根据得的周期为4，且，再由可得答案.
【详解】因为，所以，所以的周期为4，
所以，，，
即，
若，则，
即，
可得，所以.
故答案为：1.
四、解答题
12．（2023·全国·高三对口高考）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）把看成一个整体证明即可；
（2）当时，可得出，再由可求得函数在上的解析式；
（3）计算出、、、的值，再利用函数的周期性可求得的值.
【详解】（1）证明：因为是定义在上的奇函数，且对任意实数，，
则，所以函数是周期为的周期函数.
（2）解：当时，，
此时，.
（3）解：因为当时，；当时，，
所以，，，，，
因为，
所以，
.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称