高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.1函数的概念及其表示【原卷版+解析】

这是一份高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.1函数的概念及其表示【原卷版+解析】，共42页。


【核心素养】
1.以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．
知识点一
函数的概念
知识点二
函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
知识点三
函数的表示方法
1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
2.【易混辨析】
（1）判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
（2）从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
知识点四
分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
知识点五
区间的概念
1.一般区间的表示．
设a，b∈R，且a2.特殊区间的表示.
3.特别提醒：
(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．
(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
常考题型剖析
题型一：函数的概念
【典例分析】
例1-1.（2022秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2.（2023·全国·校联考模拟预测）映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则：
等级原始分占比赋分区间
若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（ ）
A．91B．92C．93D．94
例1-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B． ，
C．
D．
变式1-2. 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
变式1-3. ，x∈R.
(1)计算的值；
(2)计算的值．
题型二：求函数的定义域
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2022·北京高考真题）函数的定义域是_________．
例2-3.（2022秋·河南驻马店·高三期中）已知的定义域为，则的定义域为_ _.
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
3.求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．
【变式训练】
变式2-1.（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
变式2-2.（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______．
变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为， 则函数的定义域为_____
题型三：求函数的解析式
【典例分析】
例3-1.（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.
例3-2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知函数的定义域为，值域为，且，函数的最小值为2，则（ ）
A．12B．24C．42D．126
例3-3.（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立.
(1)证明：；
(2)设，，若图象上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围.
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．
4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
【变式训练】
变式3-1.（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．1
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数_______，=_______．
变式3-3.（2023·全国·模拟预测）已知，则______．
题型四：求函数的值域
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高三专题练习）的值域为__________
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________
例4-3.（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.
【规律方法】
函数值域的常见求法：
(1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）
(4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
②形如y＝ax＋b＋eq \r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
③形如y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq \r(k)]，单调增区间为[eq \r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq \r(k)，2eq \r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．
【变式训练】
变式4-1.（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，x，y满足，且，则t的取值范围是_________．
变式4-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)证明：；
题型五：分段函数及其应用
【典例分析】
例5-1.（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数若，则___________.
例5-2.（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
例5-3．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.
【总结提升】
1.分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
2.解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．
3.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
4.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.
【变式训练】
变式5-1.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
变式5-3.（2020·山东·统考高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
题型六：根据定义域、值域（最值）求参数
【典例分析】
例6-1. （2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
例6-2.（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
例6-3．（2022·河南郑州·郑州外国语学校统考一模）已知函数,若存在及,使得成立,则的取值范围为___________.
【规律方法】
已知函数的定义域（值域）求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域、值域（最值）问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
【变式训练】
变式6-1.（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学）已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A．B．C．D．
变式6-2.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ）
A．a2+1B．a+
C．a-D．a-
变式6-3.（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数，那么（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知函数，对于任意的，总有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·陕西商洛·统考一模）若函数满足：，且，则（ ）
A．2953B．2956C．2957D．2960
二、多选题
6．（2022·海南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数，则______．
8.（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________
10.（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________
11．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
A
3%
[91,100]
B+
79%
[81,90]
B
16%
[71,80]
C+
24%
[61,70]
C
24%
[51,60]
D+
16%
[41,50]
D
7%
[31,40]
E
3%
[21,30]
转换对应赋分T的公式：
其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）
专题3.1 函数的概念及其表示

【核心素养】
1.以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．
知识点一
函数的概念
知识点二
函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
知识点三
函数的表示方法
1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
2.【易混辨析】
（1）判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
（2）从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.
知识点四
分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
知识点五
区间的概念
1.一般区间的表示．
设a，b∈R，且a2.特殊区间的表示.
3.特别提醒：
(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．
(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
常考题型剖析
题型一：函数的概念
【典例分析】
例1-1.（2022秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
例1-2.（2023·全国·校联考模拟预测）映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则：
等级原始分占比赋分区间
若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（ ）
A．91B．92C．93D．94
【答案】C
【分析】根据赋分公式，分别代入数据等级A赋分区间[91,100]及原始分区间[81,87]的端点即可得出结果.
【详解】等级A赋分区间[91,100]，原始分区间为[81,87]，
据赋分公式，得，解得．
故选：C．
例1-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________
【答案】
【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以
故答案为：
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B． ，
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.
【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于B，因为时，；时，；所以表示同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
故选：ACD.
变式1-2. 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
【答案】见解析
【解析】(1)列表法：
(2)图象法：如图所示：
(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
变式1-3. ，x∈R.
(1)计算的值；
(2)计算的值．
【答案】
【解析】思路分析：(1)将函数的自变量代入计算即可，(2)可以分别将的函数值算出再相加，也可以根据待求式中数据的特征，结合(1)中所得结果求解．
详解：(1)由于，，所以.
(2)解法一：因为，，，，，，，
所以.
解法二：因为，从而，
即，而，
所以.
题型二：求函数的定义域
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
例2-2.（2022·北京高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
例2-3.（2022秋·河南驻马店·高三期中）已知的定义域为，则的定义域为_ _.
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】∵，∴，
∴，∴.
即的定义域为.
故答案为：
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
3.求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．
【变式训练】
变式2-1.（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解.
【详解】因为函数的图象经过原点，
所以，解得，
所以函数的解析式为.
要使有意义，只需要，
所以的定义域为.
故选：A.
变式2-2.（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______．
【答案】
【分析】求函数的定义域，保证根号下的式子大于等于0，分母不为0即可.
【详解】，
，或
所以定义域为：.
故答案为：
变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为， 则函数的定义域为_____
【答案】
【分析】令进行换元，根据已知函数的定义求u的范围即可.
【详解】令，由得：，
所以，即，
所以，函数的定义域为.
故答案为：
题型三：求函数的解析式
【典例分析】
例3-1.（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.
【答案】
【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.
【详解】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
故答案为：
例3-2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知函数的定义域为，值域为，且，函数的最小值为2，则（ ）
A．12B．24C．42D．126
【答案】D
【分析】方法一：采用赋值法及基本不等式可得，从而结合条件可化简得
，累加求和即可；
方法二：特殊函数法由题意不妨设满足条件，依次求函数值即可.
【详解】解：方法一
令，有，则满足，
又因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
方法二：抽象出特殊函数，其满足题目要求，从而快速求得答案
，
故选：D
例3-3.（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立.
(1)证明：；
(2)设，，若图象上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意，时，恒成立，即，得证；
（2）求出函数的解析式，将问题转化为对恒成立，再分离参数构造函数并求函数最值即可得解.
【详解】（1）由知：恒成立．又因x＝2时，恒成立，∴
（2）由（1）知，而，联立解得：，
即，则，显然，否则恒成立，矛盾，
因此，若二次函数值永远不小于0，
则，即，解得，，
则，因，函数图象上的点位于直线的上方，
则，恒成立，所以，所以，
即，当时，成立，此时，因此，，
所以，当时，，
当且仅当，即时取“=”，从而有，综合得：，
所以实数m的取值范围是.
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．
4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
【变式训练】
变式3-1.（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】将和分别代入，联立即可求解.
【详解】代入可得①，
代入可得②
联立①②解得，
故选：B
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数_______，=_______．
【答案】 11
【分析】利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
变式3-3.（2023·全国·模拟预测）已知，则______．
【答案】/2.5
【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.
【详解】由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：.
题型四：求函数的值域
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高三专题练习）的值域为__________
【答案】
【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.
【详解】设
则，
，
故函数的值域为.
故答案为：
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________
【答案】
【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.
【详解】由已知得函数的定义域为，
，
，
又
，
，又，
故答案为：.
例4-3.（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.
【答案】或
【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
【规律方法】
函数值域的常见求法：
(1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）
(4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
②形如y＝ax＋b＋eq \r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
③形如y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq \r(k)]，单调增区间为[eq \r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq \r(k)，2eq \r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．
【变式训练】
变式4-1.（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，x，y满足，且，则t的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意分析可得，结合二次函数求取值范围.
【详解】∵，解得，
∴，
又∵，则，
对于，可知二次函数开口向上，对称轴，
故当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
故，即t的取值范围是.
故答案为：.
变式4-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)证明：；
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】(1)根据倒数代换和二次函数的值域以及反比例函数的特点即可求解.(2)根据函数不动点的定义即可求解.
【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为；
（2） 当时，此时显然；
 当时，必有两点位于函数图像上，且两点关于直线对称．又因为，所以．
因为当时，．
即对恒成立，所以不存在两点关于直线对称．
综上，．
题型五：分段函数及其应用
【典例分析】
例5-1.（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
例5-2.（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
例5-3．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出的图象，通过图象可得最小值；
（2）设，可知恒过点，作图并分类讨论，结合条件根据图象，求出k的取值范围.
【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，，的图象，如图1所示，
由，解得或；
由，解得或.
由图象易得，
结合图象可知，当时，取得最小值，
即.
（2）设，则恒过点，
因为，所以记，
由（1）知，的图象如图2所示，
当时，，即，
所以，不等式恒成立.
当时，易知直线AM的斜率，
由图象可知，根据恒成立，
可得，解得，所以，
综上所述，k的取值范围是.
【总结提升】
1.分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
2.解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．
3.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
4.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.
【变式训练】
变式5-1.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
【答案】A
【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.
【详解】由分段函数知：当时，周期，
所以，
所以．
故选：A
变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因，又当时，，
当，，时，，
则，
，
当，，时，，
则，
，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，
设的最大值为，
则，且
所以，解得
所以m的最大值为.
故选：A.
变式5-3.（2020·山东·统考高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为，
所以，因为，
所以.
（2）因为，
则，
因为，所以，
即，解得.
题型六：根据定义域、值域（最值）求参数
【典例分析】
例6-1. （2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过分段函数进行求导，取得最小值，从而可得，当时，取得最小值，继而可求出结论.
【详解】由题可知解得．
故选：B.
例6-2.（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
例6-3．（2022·河南郑州·郑州外国语学校统考一模）已知函数,若存在及,使得成立,则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由题意即为当及时,函数的值域有交集,根据函数的单调性求出两个函数的值域,先求没有交集的情况,再取其补集即可.
【详解】根据一次函数性质易知函数在上的值域为，
函数在上的值域为.
若函数值域和函数的值域没有交集,
则或,
解得或,
所以要使当及时,函数的值域有交集,则.
故答案为：.
【规律方法】
已知函数的定义域（值域）求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域、值域（最值）问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
【变式训练】
变式6-1.（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学）已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域和值域分析列式求解，进而可得集合，再根据交集运算求解.
【详解】∵，由题意可得，解得，
可得，
故.
故选：B.
变式6-2.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（ ）
A．a2+1B．a+
C．a-D．a-
【答案】D
【解析】
先化简函数的解析式得再分类讨论，求出每一段的最小值，即得函数的最小值.
【详解】
函数f(x)=x2+|x-a|=
当x≥a>时，
函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；
当xf(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-.
因为a2-=a2-a+=>0.
所以a2>a-.
所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
故选：D
变式6-3.（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由，可知，解不等式即可.
【详解】由，可知，
解得，
故答案为：.
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由根式性质求函数定义域得集合B，应用集合交运算求结果.
【详解】由题设，则.
故选：A
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数，那么（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根据分段函数的概念代入解析式计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：D．
3．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知函数，对于任意的，总有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据解析式，计算，判断A，B，取特殊值判断C，D.
【详解】因为，
所以，A错误，B正确；
又，
所以，C，D错误；
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.
【详解】由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：A
5．（2023·陕西商洛·统考一模）若函数满足：，且，则（ ）
A．2953B．2956C．2957D．2960
【答案】A
【分析】法一：利用特殊函数法与待定系数法，求得满足题意的一个函数，代入即可得解.
法二：利用赋值法，得到与，进而利用换元法与作差法得到，由此得解.
【详解】法一：
取，易验证满足．
由，得，解得，
故．
法二：
因为，
令，则，；
令，则，；
两式相减得，
由的任意性，令，得，
所以．
故选：A.
二、多选题
6．（2022·海南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以.
【详解】对任意,恒有，
令可得，
因为当时,故，所以，
令可得，所以，
当时,,根据已知条件得,即，所以.
故选：ABC.
三、填空题
7．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数，则______．
【答案】6
【分析】根据分段函数的解析式求解函数值.
【详解】函数，，
.
故答案为：6
8.（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________
【答案】
【分析】由，可得的取值范围，再利用二次函数的单调性与对称轴求出给定区间的函数值域.
【详解】因为，所以，
又，
所以当时，单调递减，，
所以函数的值域为.
故答案为：
10.（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
【解析】
分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.
【详解】
当时，，所以，
解得，不满足，舍去；
当时，，所以解得，满足.
故答案为：.
11．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．
【答案】
【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，
当时在上单调递增，在上也单调递增，
则只需，解得；
当时在上的最小值为，则只需要，解得；
综上可得，即实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
函数
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
A
3%
[91,100]
B+
79%
[81,90]
B
16%
[71,80]
C+
24%
[61,70]
C
24%
[51,60]
D+
16%
[41,50]
D
7%
[31,40]
E
3%
[21,30]
转换对应赋分T的公式：
其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）
x(台)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(元)
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000