新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第15讲 定比点差法解题赏析

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则得到，化简得（*）
由，得
两式相减得
把（*）代入得
化简得
特别地，如果（或），则可以得到方程组，继而求出点坐标，最近几年的浙江高考题中此问题出现比较多．
题1．【2011年.浙江卷.理17】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上，若；则点的坐标是 ．
解析：由知，，
所以，
把，，代入得
化简得，
两式相减得，
化简得，，联立，
解得，代入椭圆求得．
题2.【2018浙江高考17】已知点，椭圆上两点满足，则当_________时，点横坐标的绝对值最大．
答案：5
解：设，由于，
得到，（*），
由，均在椭圆上可以知道，
，变形得
两式相减得，
把（*）式代入知，
化简得，结合，解得，代入
故
所以，当时，有最大值4，即点B的横坐标的绝对值最大值为2．
题3【2015年北京文20】
已知椭圆：．过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
解析：由题意不妨设，，．
．，．
点差法
．
．
．又，解得．
，，且，，三点共线．
不妨设，则有．
由得是的等比分线，故．
即直线与直线是平行关系．
小结1：通过前三个例题，我们发现破解这类题的关键是通过方程组求出相应交点的坐标，因此这类题多数是相应定比分点的横坐标或纵坐标为0，如果不为0或者相应的比值不确定，又该如何求解呢？
结论2：
若,且,则称调和分割，根据定义也调和分割，在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上两点，若存在两点满足,且，则一定有，即两个互相调和的定比分点坐标满足有心曲线的特征方程
题4【2008安徽理】编辑与方法提供：浙江余姚韩水昌
已知椭圆：．过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足．证明：点总在某定直线上．
【解析】设点，，．
由题设，，，，均不为零．
不妨设．
又，，，四点共线，可设，．
由定比分点得到

．
．
将，坐标代入上式，得到．
即点总在定直线上．
巩固练习
1.已知是双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条双曲线分别交于两点，若,则双曲线的离心率为
解：设，由于，
故
得到，（*），
由，均在渐近线上可以知道，
，变形得
两式相减得，
把（*）式代入知，
化简得，结合，解得，故
由,得，所以
2.【2018.8七彩阳光】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点，如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为__________

解：设，
由，得；由，得
所以 （*）
由，变形得
两式相减得
把（*）式代入知故
所以， 所以
3.已知椭圆：．过点的直线与椭圆相交于，两点（，两点可以重合），求的取值范围．
【解析】设点，．
可设，由定比分点得到
．
．
将点坐标代入上式，得到．又，得到．
由．．
4.如图，椭圆：．过点作直线，分别交椭圆于，，，四点，且直线的斜率为，试判断直线与直线的位置关系．
【解析】设点，，，．
设，则由定比分点得到
又，在椭圆：上，
所以．
又，．三式相加得．
同理，设，可得．两式相减得．
又直线的斜率为，则．
，即．．
5.【2019全国卷理19】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点分别为，与轴的交点为．
（1）若，求直线的方程；（2）若，求．
解：（1）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：
，
设，故
由抛物线定义可得：，解得．
故直线方程为：
（2）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：
，设，故
由可得，可得，带入上式可得，
故直线方程为．
解得：，故．