新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第5讲 向量与解析几何

这是一份新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第5讲 向量与解析几何，共14页。试卷主要包含了已知抛物线等内容，欢迎下载使用。

问题综述
本讲研究向量问题与解析几何交叉问题，具体如下：
1.利用向量线性的关系，将几何问题代数化；
2.利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题；
3.利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题；
4.利用数量积坐标形式、投影解决几何问题.
二、典例分析
类型一：利用向量线性的关系，几何问题代数化
【例1】过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意设，由，，即
设直线的方程为联立直线与抛物线方程，消元得
故即
【例2】（2018年浙江高考17题）已知点，椭圆上两点满足，则
当 时，点横坐标的绝对值最大.
【答案】
【解析】若直线的斜率不存在，那么，不是最大值；
设直线，
，.
由知，所以.
因此，当且仅当，即时取等号.
解法2：设则，
，又均在椭圆上，则
.
而，则当时，取得最大值为4.
【例3】（2018学年金丽衢十二校第二次联考17）过点的直线与椭圆交于点和，且
，点满足.若为坐标原点，则的最小值为.
【答案】.
【解析】解法1：常规处理（运算量偏大）
情形一：直线斜率存在时，设直线为，
联立：
由于点在椭圆内部，显然；
由韦达定理有：
联立
.
处理1：（柯西不等式求最值）
.
处理2：（几何意义求最值）
情形二：当直线斜率不存在时，直线方程为，此时.
综上所述.
解法2：定比点差（运算量较小）
设点，
（*）
，
代入（*）式有.
所以的轨迹方程为直线.
注：背景解读：
过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足，则点在直线上.
证明方法：定比点差法.
类型二：利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题
【必要储备】两个非零向量垂直的充要条件是，如，，
则．
【例4】（2017届广西武鸣县高中高三月考）已知椭圆的左顶点为，是椭圆上
异于点的任意一点，点与点关于点对称．
（1）若点的坐标为，求的值；
（2）若椭圆上存在点，使得以线段为直径的圆过原点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为 .
由点在椭圆上，所以，解得.
（2）设则且
又，以线段为直径的圆过原点，则OP⊥OM，即，
所以=
由①②得：，所以.
【例5】（江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试）设点是圆上任意一点，点是点
在轴上的投影，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点，若直线与轨迹相切于点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆经过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设，
由已知得，因为点在圆上，所以＝4，即.
所以点的轨迹方程为.
（2）证明：由 得，
如图，设点的坐标为，依题意，且，则
，整理得.
此时 所以，
由，解得 即.
由，，
，故.
所以为直径的圆过定点.
类型三：利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题
【例6】（河北省唐山市2018届高三上学期期末）已知为抛物线的焦点，过点作两条互
相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.
（1）求的取值范围；
（2）设线段的中点分别为点，求证：为钝角.
【解析】（1）由题可知设直线的方程为.
由，则或.
设直线的方程为，由，同理得或.
又或，即或
（2）设，由方程得
即，
，
而，所以与不共线.
故为钝角.
类型四：利用数量积坐标形式、投影解决几何问题
【例7】（2017浙江高考21题）如图，已知抛物线， 点，抛物线上的点
，过点作直线的垂线，垂足为.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求的最大值.
【解析】（2）投影法，
而代入得： .
令，则.
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，的最大值.
注：也可将目标式转化为：，
，也可，可谓殊途同归！
【例8】(宁波市2018.02高三期末试卷）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一
点作次抛物线的切线，为切点，且.
（1）求证：直线过定点；
（2）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.
【解析】（1）设直线的方程为设，
以为切点的切线方程分别为
由
这两条切线的斜率分别为
所以直线恒过定点
（2）设
当时，则，可得；
当时，则，可得
所以，
令
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以
注：也可以由三元均值得
三、巩固练习
1.（湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试）已知椭圆，若直线经过，与椭
圆交于两点，且，则直线的方程为
A. B. C. D.
2.（2017江苏13）在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，
则点的横坐标的取值范围是 ．
3.（2014年浙江文22）已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为
的中点，.
（1）若，求点的坐标；
（2）求面积的最大值.
4.（广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测）已知椭圆的离心率为，且过点.
若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.
5.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切.
（1）求直线被圆所截得的弦的长；
（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方程；
（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为钝角，求直线纵截距的取值范围．
6.（2017课标II，理）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点
满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点
7.已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交
轴于，直线交轴于.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设为原点，，，求证为定值.
8.（2018学年宁波市第一学期期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，抛物线在、
处的切线交于．
（1）求证：；
（2）设，当时，求的面积的最小值．
四、巩固练习参考答案
1.【答案】B
【解析】设直线斜率为， ， ，
由与联立可得 ，则，解得，故选B.
2.【答案】
【解析】不妨设，则，且易知．
..
故．所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.
联立，得，，如图所示，结合图形知．
3.【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）由题意知焦点为，准线方程为，设，
由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，
所以或，由得或.
（2）设直线的方程为，，，，
由得，于是，
所以，，所以的中点，
由，所以，
所以，因为，
所以，由，，所以，
又因为，点到直线的距离为，
所以，
记，，令解得，.
所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
又，所以当时 ，取得最大值，此时，
所以的面积的最大值为.
4.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得， 又， 椭圆，
因点在上，，得， ，
所以椭圆的方程为：.
（2）设，则，
由以为直径的圆经过坐标原点，得，即 （1）
由，消除整理得：，
由，得，
而 （2）
（3）
将（2）（3）代入（1）得：，即，
又，
原点到直线的距离，
把代入上式得，即的面积是为
5.【解析】（1）由题意得圆心到直线的距离等于半径，
圆C的标准方程:所以圆心到直线的距离
（2）因为点，所以，
所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）
又圆方程为： （2），由得直线方程：
（3）设直线的方程为：联立得：，
设直线与圆的交点，
由，得， （3）
因为为钝角，所以，
即满足，且与不是反向共线，
又，所以
由（3）（4）得，满足，即，
当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，
故直线纵截距的取值范围是，且.
6.【解析】（1）设，设， .
由得因为在上，所以.
因此点的轨迹方程为.
（2）由题意知.设，则
，.
由得，
又由知，故.所以，即.
又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.
7.【解析】（1）由已知可得，所以抛物线的方程为，
令，，直线显然不能与轴垂直，令其方程为，
代入整理得，即，
所以由已知可得解得且，所以直线的斜率的取值范围为.
（2） 由（1）知，，而点，均在抛物线上，所以，.
因为直线与直线与轴相交，则直线与直线的斜率均存在，即，，
因为，所以直线的方程为.
令，可得，即，同理可得，
而由可得，，所以；
同理由可得，，所以，
所以=
.
8.【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】（1）设，，把抛物线看成函数求导得，
则：即，：.
解得，所以，所以．
设：与抛物线联立得：，所以，，
从而，所以，所以；
（2）由（1）得，，，，
因为，所以，，所以，
，所以
，因为，所以点到直线的
距离，所以，
令，则有，所以.