新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第23讲 解析几何同构

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（Ⅰ）求点到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂足于，求直线的方程.
解析：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为：
所以圆心到准线的距离是
（II）设，
则题意得，
设过点的圆的切线方程为，
即①
则
即，
设，的斜率为，则是上述方程的两根，所以
将①代入,得
由于是此方程的根，
故，所以
由，得，
解得
即点的坐标为，
所以直线的方程为
2. 【2018年浙江21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
解析：（Ⅰ）设，，，
则中点为，由中点在抛物线上，可得，化简得，显然，
且对也有，
所以是二次方程的两不等实根，
所以，，即垂直于轴.
（Ⅱ），
由（1）可得，，
，
此时在半椭圆上，
∴，
∵，∴，
∴，
，
所以，
，所以，
即的面积的取值范围是.
模考链接：
1.如图，已知抛物线：，直线过点与抛物线交于第一象限内两点，设的斜率分别为.
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)若直线恰好与圆:相切，求的值.
解析：(Ⅰ)设：，代入，
得，，得.
设，则，
，所以的取值范围是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，设过原点且与圆相切的直线为，则，整理得
，
，得，所以.
2.已知椭圆：，点在椭圆上，点到直线的距离均
等于.直线的斜率分别为.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)证明：.
解析：(Ⅰ)设，因为直线：，：，
所以，化简得
同理
所以是方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理得，
因为点在椭圆上，所以，即，
所以
(Ⅱ) 设，，即，即
因为在椭圆上，所以，即
，整理得，
所以，所以
.
3.【2019届9+1联盟期中考试】已知抛物线：上动点，点在射线上，满足的中点在抛物线上．
(Ⅰ)若直线的斜率为1，求点的坐标；
(Ⅱ)若射线上存在不同于的另一点， 使得的中点也在抛物线上，求的最大值．
解析：(Ⅰ)设直线的方程为， 则，设，由得，
所以，，
又解得
经检验都是方程的解，所以或.
(Ⅱ)设，，，则由的中点在抛物线上，可得，整理得，
同理，
所以是方程的两个不相等的非负根，
所以 所以.
所以，当且仅当时，取“=”号.
所以的最大值为.
4.【2018金华十校4月模拟】已知抛物线和，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.
（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；
（Ⅱ）求面积的最小值.
解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，设切线的斜率为，
则切线的方程为：，即.
∴，解得：.
∵，∴.
（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①
圆心到切线的距离，整理得：②
将①代入②得：③
设方程的两个根分别为，..，由韦达定理得：，，
从而，
.
记函数，则，
..，的最小值为，当取得等号.
5．【2018浙江省名校协作体试题】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；[来源:学.科
（Ⅱ）过点..作抛物线的两条切线，分别为两个切点，求面积的最小值．
解析：（Ⅰ）的方程为,其准线方程为．
（Ⅱ）设，，，
则切线的方程：，即，又，所以..，同理切线的方程为，又和都过..点，所以，所以直线的方程为.
联立..得，所以。
所以．
点到直线的距离．
所以的面积
所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为