新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第13讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题

这是一份新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义 第13讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题，共16页。试卷主要包含了问题综述，典例分析，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类：
（1）是椭圆上的两个动点，且满足，即椭圆的正交中心角问题，此时有,中心到直线的距离为定值, 且；
（2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于和，则；
（3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题.
2.椭圆中的垂直问题的主要策略：
（1）利用斜率之积等于,但要注意斜率是否存在；
（2）利用向量数量积等于0.
3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题：
（1）形如“以为直径的圆过原点” ，则；
（2）形如“椭圆上存在两点关于直线对称”，则直线与直线垂直；
（3）形如“直线与椭圆交于两点，为锐角”，则.
4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算.
二、典例分析
类型1：椭圆中的正交中心角问题
例1. 在中心为的椭圆上任取两点，使，
求证：（1）;
（2）中心到直线的距离是否为定值？
证明：设直线的斜率为
①当存在时，且.设，
则的方程分别为：，，
由方程组得，
同理＝，
所以.
②当不存在时，，满足.
③当时，，满足.
所以成立.
（2）因为, 显然是一个定值.
例2. (2019年山东理T22)设椭圆过两点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由.
解析:（1）因为椭圆过两点,
所以解得所以椭圆的方程为.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且,设该圆的切线方程为,解方程组
得,即,
则,即
要使,需使,即,所以,
所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,
此时圆的切线都满足或
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足.
综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,所以,
所以当且仅当时取”=”.
当时,.
当的斜率不存在时, 两个交点为或,
所以此时,
综上, 的取值范围为即: .
类型2：椭圆中的正交焦点弦问题
例3.过椭圆的一个焦点作两条互相垂直的弦分别交椭圆于
和，求证：.
证明：设，方程为，则方程为
由方程组得，
所以
所以
所以，同理，
所以.
例4. (2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为.
（1）设点的坐标为，证明：；
（2）求四边形的面积的最小值.
解析：（1）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，．
（2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则，
；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为.
类型3：椭圆中的垂直弦问题
例5.(2014年浙江理T21)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.
（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.
解析：（1）设直线的方程为，由，
消去得，，
由于直线与椭圆只有一个公共点，故，
即，
解得点的坐标为，
由点在第一象限，故点的坐标为.
（2）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，
所以点到直线的距离，
整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以点到直线的距离的最大值为.
例6.(2013年浙江理T21)如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径，，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程.
解析：（1）由题意得，，，所以椭圆C的方程为.
（2）设，，,由题意知直线的斜率存在，
不妨设其为，则直线的方程为.
又圆：，故点到直线的距离，
所以，又，故直线的方程为，
由，消去，整理得，
故，所以，
设面积为，则，
所以，
当且仅当时取等号。
所以所求直线的方程为.
类型4：椭圆中的对称问题
例7.(2015年浙江理T19)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.
（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）.
解析：（1）由题意知，可设直线的方程为，
由，消去，得，
∵直线与椭圆由两个不同的交点，
∴，①，
将中点代入直线方程，解得，②，
由①②得或.
（2）令，则，
且到直线的距离为，设的面积为，
∴，当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为.
类型5：可转化为垂直的问题
例8.(2007年山东理)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解析：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为．
（2）设．
联立得，则
又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即．
．
．
．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
类型6：锐角（或钝角）问题
例9.(2007年四川理) 设、分别是椭圆的左、右焦点.
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
解析:（2）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，
由 得．①
又为锐角，
∴
又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是.
三、巩固练习
1．（08广州一模）已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程.
解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，
其中，，则．
所以动点M的轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
∵，∴．
∵，，∴．
∴ ．………… ①
由方程组得．
则，，
代入①，得．
即，解得 或．
所以，直线的方程是或．
2．(08辽宁)在平面直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4.设点的轨迹为.
（1）写出的方程；
（2）设直线y=kx+1与交于两点.为何值时？此时的值是多少？
解析：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线的方程为．
（2）设，其坐标满足
消去y并整理得，故．
由得，即．而，
于是．
所以时，，故．
当时，，．
，
而，
所以．
3.(2008年安徽文T22)设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：;
（3）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和,求 的最小值.
解析：（1）由题意得：

椭圆的方程为.
（2）方法一：
由（1）知是椭圆的左焦点，离心率
设为椭圆的左准线。则
作，与轴交于点(如图)
点在椭圆上
同理
.
方法二：
当时，记，则
将其代入方程
得
设 ，则是此二次方程的两个根.


(1)
代入（1）式得 (2)
当时， 仍满足（2）式
.
（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得
，

当时，取得最小值.
4.已知直线相交于两点.
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若（其中为坐标原点），当椭圆的离率时，求椭圆的长轴长的最大值.
解析：（1）即，又，得，所以
所以椭圆的标准方程为.
（2）由消去得
由得
设，则
即
即
，代入上式得

适合条件
由此得
所以
所以长轴长的最大值为.
5.已知椭圆的左右焦点分别是，，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为.
求椭圆的标准方程；
设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求面积的最大值.
解析：（1）右顶点为，，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，
与椭圆联立得
．
以为直径的圆经过点，
①
，
代入①式得或（舍去），
故直线过定点．
令，
则
在上单调递减，
时，．
6. 如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围．
解析：（1）由已知得直线，：，
：，
在直线上运动，直线上运动，
,，
由得，
即， ，
动点的轨迹的方程为．
（2）直线方程为，将其代入，
化简得，，，
设、 ，则，
为锐角，，
即，，
．
将代入上式，化简得，．
由且，得.
x
y
A
C
B
O
7.(2016桐乡一模 T19)已知椭圆，过作互相垂直的两直线与椭圆交于两点.
（1）若直线经过点,求线段的长；
（2）求面积的最大值.
解析：（1）不妨设直线: ，
则的方程为。
由得：，
同理用代入得，
直线，
即直线过定点
又因为直线过，直线：， 得由弦长公式可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
从而有
于是
令，有
当且仅当，.
8. (2012年浙江理科T21)如图，椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分。
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程。
（1）设椭圆左焦点为，则由题意得，
得，所以椭圆方程为。
（2）设，，线段的中点为。
当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去，故可设直线的方程为（），
由，消去，整理得， ①
则，，
所以线段的中点，
因为在直线上，所以，得（舍去）或
此时方程①为，则，，
所以，
设点到直线距离为，则，
设的面积为，则
其中，
令，
所以，当且仅当，取到最大值，
故当且仅当，取到最大值.
综上，所求直线的方程为.