新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第15讲定比点差法解题赏析(教师版)

第15讲  定比点差法解题赏析

结论一：

一般的，设椭圆上两点，若定点满足，

则得到，化简得（*）

由，得

两式相减得

把（*）代入得

化简得

特别地，如果（或），则可以得到方程组，继而求出点坐标，最近几年的浙江高考题中此问题出现比较多．

题1．【2011年.浙江卷.理17】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上，若；则点的坐标是        ．

解析：由知，，

所以，

把，，代入得

         化简得，

两式相减得，

化简得，，联立，

解得，代入椭圆求得．

题2.【2018浙江高考17】已知点，椭圆上两点满足，则当_________时，点横坐标的绝对值最大．

答案：5

解：设，由于，

得到，（*），

由，均在椭圆上可以知道，

，变形得

两式相减得，

把（*）式代入知，

化简得，结合，解得，代入

故

所以，当时，有最大值4，即点B的横坐标的绝对值最大值为2．

题3【2015年北京文20】

已知椭圆：．过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．

（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

解析：由题意不妨设，，．

． ，．

点差法

．

．

．又，解得．

，，且，，三点共线．

不妨设，则有．

由得是的等比分线，故．

即直线与直线是平行关系．

小结1：通过前三个例题，我们发现破解这类题的关键是通过方程组求出相应交点的坐标，因此这类题多数是相应定比分点的横坐标或纵坐标为0，如果不为0或者相应的比值不确定，又该如何求解呢？

结论2：

若,且,则称调和分割，根据定义也调和分割，在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上两点，若存在两点满足,且，则一定有，即两个互相调和的定比分点坐标满足有心曲线的特征方程

题4【2008安徽理】编辑与方法提供：浙江余姚韩水昌

已知椭圆：．过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足．证明：点总在某定直线上．

【解析】设点，，．

由题设，，，，均不为零．

不妨设．

又，，，四点共线，可设，．

由定比分点得到

．

．

将，坐标代入上式，得到．

即点总在定直线上．

巩固练习

1.已知是双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条双曲线分别交于两点，若,则双曲线的离心率为

解：设，由于，

故

得到，（*），

由，均在渐近线上可以知道，

，变形得

两式相减得，

把（*）式代入知，

化简得，结合，解得，故

由,得，所以

2.【2018.8七彩阳光】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点，如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为__________

解：设，

由，得；由，得

所以 （*）

由，变形得

两式相减得

把（*）式代入知故

所以， 所以

3.已知椭圆：．过点的直线与椭圆相交于，两点（，两点可以重合），求的取值范围．

【解析】设点，．

可设，由定比分点得到

．

．

将点坐标代入上式，得到．又，得到．

由．．

4.如图，椭圆：．过点作直线，分别交椭圆于，，，四点，且直线的斜率为，试判断直线与直线的位置关系．

【解析】设点，，，．

设，则由定比分点得到

又，在椭圆：上，

所以．

又，．三式相加得．

同理，设，可得．两式相减得．

又直线的斜率为，则．

，即．．

5.【2019全国卷理19】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点分别为，与轴的交点为．

（1）若，求直线的方程；（2）若，求．

解：（1）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：

，

设，故

由抛物线定义可得：，解得．

故直线方程为：

（2）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：

，设，故

由可得，可得，带入上式可得，

故直线方程为．

解得：，故．