高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.11直线和圆的方程全章综合测试卷(基础篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.11直线和圆的方程全章综合测试卷(基础篇)(原卷版+解析)，共17页。

考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线l经过A−1,4，B1,2两点，则直线l的斜率为（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
2．（5分）（2023秋·高二课时练习）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（ ）
A．m<1B．m>1
C．m<14D．143．（5分）（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知命题p：直线ax+3y−4=0与x+a+2y+2=0平行，命题q:a=−3，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）过点(1,2)且垂直于直线3x−2y+5=0的直线方程为（ ）
A．2x+3y−8=0B．2x−3y+4=0
C．3x−2y+1=0D．2x+3y+8=0
5．（2023春·江西·高二校考期末）若直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（ ）
A．−52,12B．−25,12C．−52,−12D．−25,12
6．（5分）（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，下列说法正确的是（ ）
A．∃a∈R，使得l1∥l2B．∃a∈R，使得l1⊥l2
C．∀a∈R，l1与l2都相交D．∃a∈R，使得原点到l1的距离为3
7．（5分）（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知直线x+y+m=0(m>0)与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，当△AOB面积最大时，实数m的值为（ ）
A．2B．1C．12D．14
8．（5分）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知圆C1:x2+y−10522=814，圆心为C2−2,0,C34,0的圆分别与圆C1相切.圆C2,C3的公切线（倾斜角为钝角）交圆C1于A,B两点，则线段AB的长度为（ ）
A．34B．32C．3D．6
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·高一单元测试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90∘时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
10．（5分）（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）已知圆M的一般方程为x2+y2+6x+8y=0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的半径为5
B．圆M关于直线x−y−1=0对称
C．点−6,1在圆M内
D．实数x，y满足圆M的方程，则x−32+y−42的最小值是5
11．（5分）（2023秋·高一单元测试）已知直线l:2x−y+5=0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l1:4x−2y+5=0与直线l相互平行B．直线l2:x−2y+5=0与直线l相互垂直
C．直线l3:x−y=0与直线l相交D．点(3,−4)到直线l的距离为35
12．（5分）（2023·吉林长春·校考模拟预测）已知圆E的圆心在直线x=2上，且与l:x−3y+2=0相切于点P1,3，过点Q1,0作圆E的两条互相垂直的弦AB,CD，记线段AB,CD的中点分别为M,N，则下列结论正确的是（ ）
A．圆E的方程为(x−2)2+y2=4B．四边形ACBD面积的最大值为43
C．弦AB的长度的取值范围为23,4D．直线MN恒过定点32,0
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·上海浦东新·校考模拟预测）过点3,−2且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 .
14．（5分）（2023秋·高一单元测试）若两条平行直线l1:x−2y+m=0m>0与l2:2x+ny−6=0之间的距离是25，则m+n= ．
15．（5分）（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点P在圆O:x2+y2=9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是 ．
16．（5分）（2023春·安徽阜阳·高二校考阶段练习）若直线l:mx+y=2mm∈R与圆C:x2+y2−6x−4y−7=0交于A,B两点，则△ABC面积的最大值为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．
(1)l1:3x−2y−7=0，l2:2x+3y−1=0；
(2)l1:y−2=0，l2:y+1=0．
18．（12分）（2023·江苏·高二假期作业）已知直线l1:2x−3y+4=0,l2:ax−32y−1=0，且l1∥l2．
(1)求a的值；
(2)求两平行线l1与l2之间的距离．
19．（12分）（2023秋·高一单元测试）已知△ABC的顶点分别为A(2,4),B(0,−2),C(−2,3)，求：
(1)直线AB的方程;
(2)AB边上的高所在直线的方程;
20．（12分）（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知直线l过点3,2且与直线y=−72x+1垂直，圆C的圆心在直线l上，且过A6,0，B1,5两点．
(1)求直线l的方程；
(2)求圆C的标准方程．
21．（12分）（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆C经过点A4,2、B6,0，圆心C在直线x+y−4=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y=kx+2与圆C相交于P、Q两点，PQ=23，求实数k的值.
22．（12分）（2023秋·四川雅安·高二统考期末）已知圆C的圆心在直线x+y−2=0上，且经过点A4,0，B2,2．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l:x−y−10=0，点P为直线l上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，当四边形PMCN面积最小时，求直线MN的方程．
第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线l经过A−1,4，B1,2两点，则直线l的斜率为（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
【解题思路】直接代入直线斜率公式即可.
【解答过程】因为直线l经过A−1,4，B1,2两点，
所以直线l的斜率为kAB=2−41−−1=−1，
故选：D．
2．（5分）（2023秋·高二课时练习）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（ ）
A．m<1B．m>1
C．m<14D．14【解题思路】根据二元二次曲线表示圆，化标准形式即可求解.
【解答过程】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式(x+2)2+(y−1)2=5−5m，
表示圆的条件是5−5m>0，解得m<1．
故选：A.
3．（5分）（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知命题p：直线ax+3y−4=0与x+a+2y+2=0平行，命题q:a=−3，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据两直线平行满足的关系可得命题p等价于a=−3或a=1，结合充分不必要条件的判断即可求解.
【解答过程】直线ax+3y−4=0与x+a+2y+2=0平行，则aa+2=32a≠−4 ，解得a=−3或a=1，所以命题p等价于a=−3或a=1，命题q:a=−3．
则由命题p不能得到命题q，但由命题q可得到命题p，则q是p的充分不必要条件．
故选：A．
4．（5分）（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）过点(1,2)且垂直于直线3x−2y+5=0的直线方程为（ ）
A．2x+3y−8=0B．2x−3y+4=0
C．3x−2y+1=0D．2x+3y+8=0
【解题思路】设垂直于直线3x−2y+5=0的直线为2x+3y+C=0，代入点(1,2)得C的值，即得解.
【解答过程】设垂直于直线3x−2y+5=0的直线为2x+3y+C=0，
代入点(1,2)得C=−8，
则所求直线为2x+3y−8=0.
故选：A.
5．（2023春·江西·高二校考期末）若直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（ ）
A．−52,12B．−25,12C．−52,−12D．−25,12
【解题思路】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.
【解答过程】联立方程组y=x+2k+1y=−12x+2，解得x=2(1−2k)3y=2k+53，
因为直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限，
所以2(1−2k)3>02k+53>0，解得k<12k>−52，所以−52故选：A.
6．（5分）（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈R，直线l2:y=−12x，下列说法正确的是（ ）
A．∃a∈R，使得l1∥l2B．∃a∈R，使得l1⊥l2
C．∀a∈R，l1与l2都相交D．∃a∈R，使得原点到l1的距离为3
【解题思路】对A，要使l1∥l2，则k1∥k2，所以−11+a=−12，解之再验证即可判断；
对B，要使l1⊥l2，k1⋅k2=−1，−11+a=−12，解之再验证即可判断；
对C，当a=1时，l1与l2重合，即可判断；
对D，根据点到直线距离列方程即可判断.
【解答过程】对A，要使l1∥l2，则k1∥k2，所以−11+a=−12，解之得a=1，此时l1与l2重合，选项A错误；
对B，要使l1⊥l2，k1⋅k2=−1，−11+a⋅−12=−1，解之得a=−32，所以B正确；
对C，l1:x+1+ay=1−a过定点2,−1，该定点在l2上，但是当a=1时，l1与l2重合，所以C错误；
对D，d=Ax0+By0+CA2+B2=1−a12+1+a2=3，化简得8a2−20a+17=0，此方程Δ<0，a无实数解，所以D错误.
故选：B.
7．（5分）（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知直线x+y+m=0(m>0)与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，当△AOB面积最大时，实数m的值为（ ）
A．2B．1C．12D．14
【解题思路】根据题意作出图形，利用三角形的面积公式及点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】依题意，如图所示

则|OA|=|OB|=1，
∵S△AOB=12|OA|⋅|OB|sin∠AOB=12sin∠AOB，
∴sin∠AOB=1,即∠AOB=90°时，△AOB面积最大，
此时圆心O到直线的距离为d=OAsin45°=1×sin45°=22,
∴|m|1+1=22,解得m=±1，
又∵m>0，∴m=1.
故选：B.
8．（5分）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知圆C1:x2+y−10522=814，圆心为C2−2,0,C34,0的圆分别与圆C1相切.圆C2,C3的公切线（倾斜角为钝角）交圆C1于A,B两点，则线段AB的长度为（ ）
A．34B．32C．3D．6
【解题思路】判断圆C2,C3与C1需外切，求出C2,C3的方程，进而求得圆C2,C3的公切线方程，再根据弦长的几何求法，即可求得答案.
【解答过程】如图，由已知C1:x2+y−10522=814的圆心为C1(0,1052)，半径为r1=92，
设C2,C3的半径为r2,r3，
由题意知圆C2,C3与C1需外切，否则圆C2,C3无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆C1无交点；
由题意知|C1C2|=(−2)2+(1052)2=112，即r1+r2=92+r2=112,∴r2=1；
|C1C3|=42+(1052)2=132，即r1+r3=92+r3=132,∴r3=2，
故圆C2:(x+2)2+y2=1，圆C3:(x−4)2+y2=4，
设圆C2,C3的公切线方程为y=kx+b,(k<0)，
则|−2k+b|1+k2=1|4k+b|1+k2=2，解得k=−33,b=0，即y=−33x，
故C1(0,1052)到y=−33x的距离为d=10521+13=3354，
故|AB|=2r12−d2=2814−(3354)2=32，
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023秋·高一单元测试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90∘时，斜率为tanα
C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
【解题思路】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.
【解答过程】当0∘<α<90∘时，其斜率k=tanα>0，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90∘时，直线的斜率为tanα，所以 B正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α+k×180∘，k∈Z，且0∘≤β<180∘. ，故C不正确；
直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；
故选：AB.
10．（5分）（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）已知圆M的一般方程为x2+y2+6x+8y=0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的半径为5
B．圆M关于直线x−y−1=0对称
C．点−6,1在圆M内
D．实数x，y满足圆M的方程，则x−32+y−42的最小值是5
【解题思路】根据圆M的方程可确定圆心与半径即可判断A；根据圆的对称性可判断B；根据点与圆的位置关系可判断C；结合圆外一点与圆上一点求最值即可判断D.
【解答过程】解：圆M的一般方程为x2+y2+6x+8y=0，化为标准方程为x+32+y+42=25
则圆心M−3,−4，半径为5，故A正确；
圆心M−3,−4满足直线x−y−1=0方程，则直线过圆心，所以圆M关于直线x−y−1=0对称，故B正确；
点−6,1到圆心M−3,−4的距离为32+52=34>5，故该点在圆M外，故C不正确；
实数x，y满足圆M的方程，则x−32+y−42为圆上一点Px,y与点A3,4的距离，又AM=62+82=10>5，则A3,4在圆M外，所以AP=x−32+y−42的最小值即AM−5=5，故D正确.
故选：ABD.
11．（5分）（2023秋·高一单元测试）已知直线l:2x−y+5=0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l1:4x−2y+5=0与直线l相互平行B．直线l2:x−2y+5=0与直线l相互垂直
C．直线l3:x−y=0与直线l相交D．点(3,−4)到直线l的距离为35
【解题思路】对于选项ABC，根据直线与直线位置关系的判断方法，逐一对各个选项分析判断即可判断出选项ABC的正误；对于选项D，直接利用点到线的距离公式即可得到结果.
【解答过程】因为直线l:2x−y+5=0，斜率k=2，纵截距为b=5，
选项A，因为直线l1:2x−y+52=0，斜率为k1=2，纵截距为52，所以k=k1，5≠52，故直线l,l1相互平行，故A正确；
选项B，因为直线l2:x−2y+5=0，斜率为k2=12，所以k⋅k2=2×12=1≠−1，故直线l,l2相交但不垂直，故B错误；
选项C，由2x−y+5=0x−y=0，解得x=y=−5，所以直线l,l3的交点为(−5,−5)，故C正确；
选项D，根据点到直线的距离的公式知，(3,−4)到直线l的距离d=2×3−(−4）+512+22=35，故D正确；
故选：ACD.
12．（5分）（2023·吉林长春·校考模拟预测）已知圆E的圆心在直线x=2上，且与l:x−3y+2=0相切于点P1,3，过点Q1,0作圆E的两条互相垂直的弦AB,CD，记线段AB,CD的中点分别为M,N，则下列结论正确的是（ ）
A．圆E的方程为(x−2)2+y2=4B．四边形ACBD面积的最大值为43
C．弦AB的长度的取值范围为23,4D．直线MN恒过定点32,0
【解题思路】利用待定系数法求出圆E的方程，判断A；根据圆的几何性质表示出四边形ACBD面积，结合二次函数知识求得其最大值，判断B；利用圆的几何性质可求得弦AB的长度的取值范围，判断C；结合四边形ENQM为矩形，可判断D.
【解答过程】由题意可设圆心为E(2,b)，半径为r=(2−1)2+(b−3)2，
故|2−3b+2|12+−32=2−12+b−32，解得b=0，则r=2，
故圆的方程为(x−2)2+y2=4，A正确；

连接EM,EN,则EM⊥AB,EN⊥CD,
设|EM|=d,则|NQ|=d,则|NE|=|QE|2−|NQ|2=1−d2，
故|AB|=24−d2,|CD|=24−|NE|2=24−1+d2=23+d2，
所以SACBD=12⋅|AB|⋅|CD|=24−d23+d2=2−d22+d2+12，
当d2=12时，四边形ACBD面积取到最大值2−122+12+12=7，B错误；
当弦AB过圆心时最长，最大值为4；
当弦AB⊥QE时最短，最小值为222−12=23，
即弦AB的长度的取值范围为23,4，C正确；
由题意知AB⊥CD，EM⊥AB,EN⊥CD，
故四边形ENQM为矩形，则MN,QE为矩形的对角线，二者互相平分，
而Q(1,0),E(2,0)，故MN过QE的中点32,0，D正确，
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·上海浦东新·校考模拟预测）过点3,−2且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 2x+3y=0或x+y=1 .
【解题思路】分截距为0和不为0两种情况讨论即可得解.
【解答过程】由题知，若在x轴、y轴上截距均为0，
即直线过原点，又过3,−2，则直线方程为y=−23x；
若截距不为0，设在x轴、y轴上的截距为a，
则直线方程为xa+ya=1，
又直线过点3,−2，
则3a+−2a=1，解得a=1，
所以此时直线方程为x+y=1.
故答案为：2x+3y=0或x+y=1.
14．（5分）（2023秋·高一单元测试）若两条平行直线l1:x−2y+m=0m>0与l2:2x+ny−6=0之间的距离是25，则m+n= 3 ．
【解题思路】由两直线平行列方程求出n，再由两平行线间的距离公式列方程可求出m的值，从而可求出结果.
【解答过程】因为直线l1:x−2y+m=0m>0与l2:2x+ny−6=0平行，
所以21=n−2≠−6m，解得n=−4且m≠−3，
所以直线l2为2x−4y−6=0，
直线l1:x−2y+m=0m>0化为2x−4y+2m=0m>0，
因为两平行线间的距离为25，
所以2m−(−6)22+(−4)2=25，得2m+6=20，
因为m>0
所以2m+6=20，得m=7，
所以m+n=7−4=3，
故答案为：3.
15．（5分）（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点P在圆O:x2+y2=9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是 x−22+y2=94 ．
【解题思路】由几何性质计算即可.
【解答过程】
如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为△APO的一条中位线，D2,0，
即有DQ∥OP，且12PO=DQ=32，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，
所以Q的轨迹方程为x−22+y2=94.
故答案为：x−22+y2=94.
16．（5分）（2023春·安徽阜阳·高二校考阶段练习）若直线l:mx+y=2mm∈R与圆C:x2+y2−6x−4y−7=0交于A,B两点，则△ABC面积的最大值为 53 .
【解题思路】先求得△ABC面积的表达式，再利用二次函数的性质即可求得△ABC面积的最大值.
【解答过程】圆C:x2+y2−6x−4y−7=0的圆心C(3,2)，半径r=25，
直线l:mx+y=2mm∈R恒过定点Q(2,0)，则QC=5，
设AB中点为M，则点M在以QC为直径的圆上，
设圆心C(3,2)到直线l:mx+y=2mm∈R距离为d，
则0≤d≤QC=5，AB=2252−d2=220−d2，
则△ABC的面积为
12AB⋅d=d20−d2=20d2−d4=−d2−102+100
当d=5即d2=5时−d2−102+100取得最大值53.
则△ABC面积的最大值为53.
故答案为：53.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．
(1)l1:3x−2y−7=0，l2:2x+3y−1=0；
(2)l1:y−2=0，l2:y+1=0．
【解题思路】分别写出直线l1, l2的斜率，即可判断出其位置关系.
【解答过程】（1）设直线l1, l2的斜率分别为k1，k2．
因为k1=32，k2=−23，
所以k1⋅k2=−1
从而l1与l2垂直;
（2）因为k1=k2=0，−2≠1，
从而l1与l2平行．
18．（12分）（2023·江苏·高二假期作业）已知直线l1:2x−3y+4=0,l2:ax−32y−1=0，且l1∥l2．
(1)求a的值；
(2)求两平行线l1与l2之间的距离．
【解题思路】（1）由两直线平行，可得23=a32，从而可求出a的值；
（2）先将直线l2变形后，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.
【解答过程】（1）因为直线l1:2x−3y+4=0,l2:ax−32y−1=0，且l1∥l2，
所以23=a32，解得a=1
（2）由（1）知l2的方程为x−32y−1=0，即2x−3y−2=0，
所以l1与l2之间的距离为d=4−(−2)22+(−3)2=613=61313 ．
19．（12分）（2023秋·高一单元测试）已知△ABC的顶点分别为A(2,4),B(0,−2),C(−2,3)，求：
(1)直线AB的方程;
(2)AB边上的高所在直线的方程;
【解题思路】（1）由AB的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可；
（2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点C，同（1）可得.
【解答过程】（1）∵A(2,4),B(0,−2)，∴kAB=4−(−2)2−0=3，
由点斜式方程可得y−(−2)=3(x−0)，
化为一般式可得3x−y−2=0
（2）由（1）可知kAB=3，
故AB边上的高线所在直线的斜率为−13，
又AB边上的高线所在直线过点C(−2,3)，
所以方程为y−3=−13(x+2)，
化为一般式可得x+3y−7=0.

20．（12分）（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知直线l过点3,2且与直线y=−72x+1垂直，圆C的圆心在直线l上，且过A6,0，B1,5两点．
(1)求直线l的方程；
(2)求圆C的标准方程．
【解题思路】（1）由题设l:2x−7y+m=0，代入(3,2)得出直线l的方程；
（2）设圆心Ct,2t+87，根据AC=BC=r得出圆C的标准方程.
【解答过程】（1）由题设l:2x−7y+m=0，
代入(3,2)得m=8，于是l的方程为2x−7y+8=0.
（2）设圆心Ct,2t+87，则AC=BC=r，
即t−62+2t+8249=t−12+2t+87−52，
解得：t=3，
∴r=13，又圆心C3,2，
∴圆C的标准方程为x−32+y−22=13.
21．（12分）（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆C经过点A4,2、B6,0，圆心C在直线x+y−4=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y=kx+2与圆C相交于P、Q两点，PQ=23，求实数k的值.
【解题思路】（1）求出直线AB的中垂线方程联立直线x+y−4=0方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆C的方程；
（2）由PQ=23可得点C4,0到直线y=kx+2的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【解答过程】（1）AB的中点为M5,1，斜率k=−1，
则直线AB的中垂线为y=x−4
联立y=x−4y=4−x，解得x=4y=0，
即C4,0，BC=2
圆C的方程为x−42+y2=4.
（2）由于PQ=23，点C4,0到直线y=kx+2的距离d=6kk2+1=1，
即35k2=1，解得k=±3535.
22．（12分）（2023秋·四川雅安·高二统考期末）已知圆C的圆心在直线x+y−2=0上，且经过点A4,0，B2,2．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l:x−y−10=0，点P为直线l上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，当四边形PMCN面积最小时，求直线MN的方程．
【解题思路】（1）求出直线AB的垂直平分线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即可得到圆心坐标，从而求出圆的半径，即可得到圆的方程.
（2）由S四边形PMCN=2S△PMC=2PM可知当PM最小时四边形面积最小，当PC⊥l时，PM最小，求出直线PC的方程，从而求出P点坐标，即可求出以PC为直径的圆，再两圆方程作差可得.
【解答过程】（1）解：由题意可得：kAB=2−02−4=−1，AB中点坐标为M3,1，
则直线AB的垂直平分线方程为y−1=x−3，由x+y−2=0y−1=x−3，解得x=2y=0，
所以两直线的交点坐标为2,0，即所求圆的圆心坐标为2,0，圆的半径r=4−2=2，
所以圆的方程为x−22+y2=4．
（2）解：∵S四边形PMCN=2S△PMC=2PM，
∴当PM最小时四边形面积最小，
又PM=PC2−r2得当PC⊥l时，PM最小，
此时kPC=−1，直线PC的方程是y=−x+2，
由y=−x+2x−y−10=0，解得x=6y=−4，
所以直线l与直线PC的交点为P6,−4，
PC的中点为4,−2，PC=16+16=42，
故以PC为直径的圆为x−42+y+22=8，
又易知M，N在以PC为直径的圆上，则直线MN是以PC为直径的圆与圆C的公共弦，
联立两圆方程x−42+y+22=8x−22+y2=4，两式相减得到x−y−3=0，
所以直线MN：x−y−3=0.