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高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.2直线的方程(一)：直线方程的几种形式【八大题型】(原卷版+解析)
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这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.2直线的方程(一)：直线方程的几种形式【八大题型】(原卷版+解析)，共21页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11080" 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 PAGEREF _Tc11080 \h 2
\l "_Tc29366" 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 PAGEREF _Tc29366 \h 2
\l "_Tc8396" 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 PAGEREF _Tc8396 \h 3
\l "_Tc21844" 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 PAGEREF _Tc21844 \h 4
\l "_Tc22416" 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 PAGEREF _Tc22416 \h 5
\l "_Tc7378" 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 PAGEREF _Tc7378 \h 6
\l "_Tc9952" 【题型7 求直线的方向向量】 PAGEREF _Tc9952 \h 7
\l "_Tc549" 【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 PAGEREF _Tc549 \h 7
【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点0,3,2,1的直线方程为( )
A．x−y−3=0B．x+y−3=0
C．x+y+3=0D．x−y+3=0
【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(−5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．x−y+12=0B．x+y−2=0
C．x+y−12=0D．x−y+2=0
【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y+1=0D．x+2y−3=0
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=kx−2表示（ ）
A．通过点2,0的所有直线B．通过点2,0且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点2,0且不垂直于x轴的所有直线D．通过点2,0且除去x轴的所有直线
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．y=x+2B．y=x−2
C．y=−x+2D．y=−x+4
【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1
【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．y=−12x+4
B．y=−12x+4或y=−12x−4
C．y=12x+4
D．y=12x+4或y=12x−4
【知识点2 直线的两点式、截距式方程】
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A3,−5，B−5,5的直线在y轴上的截距为（ ）
A．−54B．54C．−25D．25
【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，−3)，H(2，1)， 则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．4x−y−7=0
C．2x−3y−11=0D．4x−y+7=0
【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A5,2，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,−6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x+y=0B．x+y+3=0
C．x−y+3=0D．x+y+3=0或2x+y=0
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为（ ）
A．3x−2y+6=0B．2x−3y+6=0C．3x−2y−6=0D．3x+2y−6=0
【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A−2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）．
A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0
C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0
【知识点3 直线的一般式方程】
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
【题型5 直线的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,−1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y+1=0C．x−3y+1=0D．x−3y−1=0
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x−2y+3=0经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(−3,1)，且与直线x−2y+3=0垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A．2x+y+3=0B．2x+y+5=0C．2x+y−1=0D．2x+y−2=0
【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论A,B取任何值，直线都存在斜率B．当A=0，且B≠0时，直线只与x轴相交
C．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交D．当A≠0，且B=0，且C=0时，直线是y轴所在直线
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点(0,−1)且斜率为−23的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3=0B．2x+3y−3=0C．2x+3y+2=0D．3x−2y−2=0
【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0 ，那么直线Ax+By+C=0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线x+ay−1=0的倾斜角为3π4，则实数a的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（ ）
A．x+2y−10=0B．x+2y+10=0
C．2x−y=0或x+2y−4=0D．2x−y=0或x+2y−10=0
【知识点4 方向向量与直线的参数方程】
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型7 求直线的方向向量】
【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x−2y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．2,1B．1,2C．2,−1D．1,−2
【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+my−3=0的一个方向向量是（ ）
A．1,2B．2,−1C．2,1D．1,−2
【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量为1,k，那么k=（ ）
A．−2B．−1C．−12D．2
【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量1−m,1是直线l的一个方向向量，则实数m的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−1或2
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】
【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为2,−1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（ ）
A．x−y−1=0B．x+y−1=0
C．x−2y−1=0D．x+2y−1=0
【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为2,3，直线m过点1,1且与l垂直，则直线m的方程为（ ）
A．2x+3y−5=0B．2x−3y+1=0
C．3x+2y−5=0D．3x−2y−1=0
【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a=3,2，则直线l′的方程为（ ）
A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0
C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0
【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0
专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11080" 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 PAGEREF _Tc11080 \h 2
\l "_Tc29366" 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 PAGEREF _Tc29366 \h 2
\l "_Tc8396" 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 PAGEREF _Tc8396 \h 5
\l "_Tc21844" 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 PAGEREF _Tc21844 \h 6
\l "_Tc22416" 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 PAGEREF _Tc22416 \h 8
\l "_Tc7378" 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 PAGEREF _Tc7378 \h 9
\l "_Tc9952" 【题型7 求直线的方向向量】 PAGEREF _Tc9952 \h 11
\l "_Tc549" 【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 PAGEREF _Tc549 \h 12
【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点0,3,2,1的直线方程为( )
A．x−y−3=0B．x+y−3=0
C．x+y+3=0D．x−y+3=0
【解题思路】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【解答过程】由两点0,3,2,1，可得过两点的直线的斜率为k=1−32−0=−1，
又由直线的点斜式方程，可得y−3=−1×(x−0)，即x+y−3=0.
故选：B.
【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(−5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．x−y+12=0B．x+y−2=0
C．x+y−12=0D．x−y+2=0
【解题思路】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答.
【解答过程】依题意，直线的斜率k=tan135°=−1，
所以直线方程为：y−7=−1⋅(x+5)，即x+y−2=0.
故选：B.
【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y+1=0D．x+2y−3=0
【解题思路】根据点斜式方程求解即可.
【解答过程】解：经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是y−2=2x−1，整理得2x−y=0.
故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=kx−2表示（ ）
A．通过点2,0的所有直线B．通过点2,0且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点2,0且不垂直于x轴的所有直线D．通过点2,0且除去x轴的所有直线
【解题思路】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.
【解答过程】y=k(x−2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点2,0．
故选：C.
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【解题思路】化方程为斜截式即可.
【解答过程】直线2x+y−3=0用斜截式表示为y=−2x+3，
故选：B．
【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．y=x+2B．y=x−2
C．y=−x+2D．y=−x+4
【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数b，确定答案.
【解答过程】因为所求的直线与直线y=−x+2垂直，所以k×−1=−1，得k=1.
设所求直线为y=x+b,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点2,0，
求得b=−2,所以所求直线的斜截式方程为y=x−2，
故选：B.
【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1
【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.
【解答过程】斜率k=tanπ4=1，
点斜式方程为y−3=x−2，
斜截式方程为y=x+1.
故选：A.
【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．y=−12x+4
B．y=−12x+4或y=−12x−4
C．y=12x+4
D．y=12x+4或y=12x−4
【解题思路】将直线2x−y−1=0化为斜截式方程，可得出斜率k=2，从而得与直线2x−y−1=0垂直的直线斜率，再根据所求直线在y轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程.
【解答过程】解：由于直线2x−y−1=0，即y=2x−1，可知斜率k=2，
则与直线2x−y−1=0垂直的直线斜率为k=−12，
由于所求直线在y轴上的截距为4，
则所求直线的斜截式方程是y=−12x+4.
故选：A.
【知识点2 直线的两点式、截距式方程】
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【解答过程】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为y+31+3=x−1−2−1，即4x+3y+5=0．
故选：C．
【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A3,−5，B−5,5的直线在y轴上的截距为（ ）
A．−54B．54C．−25D．25
【解题思路】由两点式得出直线方程，令x=0，即可解出直线在y轴上的截距.
【解答过程】过两点A3,−5，B−5,5的直线的为y+55+5=x−3−5−3，
令x=0，解得：y=−54，
故选：A.
【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，−3)，H(2，1)， 则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．4x−y−7=0
C．2x−3y−11=0D．4x−y+7=0
【解题思路】直接利用两点式直线方程得x−12−1=y+31+3，化简即可.
【解答过程】直线l的两点式方程为：x−12−1=y+31+3，化简得4x−y−7=0，
故选：B.
【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.
【解答过程】由题意知l不与x,y轴平行，故由直线l的两点式方程可得m+21348+2=m−41348−2，解得：m=2023，
故选：C.
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A5,2，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程.
【解答过程】若直线经过原点，则y=25x，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，
若截距均不为0，则设直线方程为xa+ya=1a≠0，将A5,2代入得5a+2a=1⇒a=7，此时直线方程为x7+y7=1，
故选：C.
【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,−6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x+y=0B．x+y+3=0
C．x−y+3=0D．x+y+3=0或2x+y=0
【解题思路】由题意，分截距为0或不为0两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.
【解答过程】显然，所求直线的斜率存在．
当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，将点(3,−6)代入得k=−2，此时直线方程为2x+y=0；
当两截距均不为0时，设直线方程为xa+ya=1,a≠0，将点(3,−6)代入得a=−3，此时直线方程为x+y+3=0．
故选：D．
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为（ ）
A．3x−2y+6=0B．2x−3y+6=0C．3x−2y−6=0D．3x+2y−6=0
【解题思路】已知直线l的过点点A(−2,0),B(0,3)，可通过直线方程的截距式得出其方程为3x−2y+6=0.
【解答过程】由直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为x−2+y3=1即3x−2y+6=0.
故选：A .
【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A−2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）．
A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0
C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0
【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.
【解答过程】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y=kx
把点−2,1代入求出k=−12，即直线方程为x+2y=0
（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为xa+y−a=1，
把点−2,1代入求出a=−3，即直线方程为x−y+3=0
综上，直线方程为x+2y=0或x−y+3=0
故选：A.
【知识点3 直线的一般式方程】
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
【题型5 直线的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,−1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y+1=0C．x−3y+1=0D．x−3y−1=0
【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】由直线的倾斜角为60°知，直线的斜率k=3，
因此，其直线方程为y−(−1)=3(x−0)，即3x−y−1=0.
故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x−2y+3=0经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【解题思路】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【解答过程】由x−2y+3=0，令x=0可得，y=32；令y=0可得x=−3；
即直线x−2y+3=0过点0,32，−3,0，
所以直线x−2y+3=0经过一、二、三象限.
故选：A.
【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(−3,1)，且与直线x−2y+3=0垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A．2x+y+3=0B．2x+y+5=0C．2x+y−1=0D．2x+y−2=0
【解题思路】由题意设直线l方程为2x+y+m=0，然后将点(−3,1)坐标代入求出m，从而可求出直线方程
【解答过程】因为直线l与直线x−2y+3=0垂直，所以设直线l方程为2x+y+m=0，
因为直线l过点(−3,1)，所以−6+1+m=0，得m=5，
所以直线l方程为2x+y+5=0，
故选：B.
【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论A,B取任何值，直线都存在斜率B．当A=0，且B≠0时，直线只与x轴相交
C．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交D．当A≠0，且B=0，且C=0时，直线是y轴所在直线
【解题思路】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案.
【解答过程】解：对于A选项，当A≠0，且B=0时，直线斜率不存在，故错误；
对于B选项，当A=0，且B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交；当A=0，且B≠0，C=0时，直线与x轴重合，故错误；
对于C选项，当A≠0，且B≠0时，直线与两条坐标轴都相交，故错误；
对于D选项，当A≠0，且B=0，且C=0时，直线方程为x=0，即y轴所在直线，故正确.
故选：D.
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点(0,−1)且斜率为−23的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3=0B．2x+3y−3=0C．2x+3y+2=0D．3x−2y−2=0
【解题思路】写出点斜式，再化为一般式即可.
【解答过程】由点斜式得y+1=−23x，即2x+3y+3=0.
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0 ，那么直线Ax+By+C=0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】直线变换为y=−ABx−CB，确定−AB>0，−CB>0，得到直线不经过的象限.
【解答过程】由Ax+By+C=0可得y=−ABx−CB，B≠0，
因为AB<0，BC<0，故−AB>0，−CB>0.
故直线不经过第四象限.
故选：D.
【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线x+ay−1=0的倾斜角为3π4，则实数a的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【解题思路】将直线方程化为点斜式方程，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【解答过程】解：由题知a≠0，故将直线方程化为点斜式方程得y=−1ax+1a，
因为直线x+ay−1=0的倾斜角为3π4，
所以直线x+ay−1=0的斜率为−1，即−1a=−1，解得a=1.
故选：A.
【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（ ）
A．x+2y−10=0B．x+2y+10=0
C．2x−y=0或x+2y−4=0D．2x−y=0或x+2y−10=0
【解题思路】当截距为0时，设出直线的点斜式；当截距不为0时，设出直线的截距式，进而将点代入方程解出参数，最后得到答案.
【解答过程】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，
把点(2,4)代入方程，得2=k，即k=2，所以直线的方程为2x−y=0；
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为x2b+yb=1，
把点(2,4)代入方程，得22b+4b=1，即b=5，所以直线的方程为x+2y−10=0．
故选：D．
【知识点4 方向向量与直线的参数方程】
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型7 求直线的方向向量】
【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x−2y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．2,1B．1,2C．2,−1D．1,−2
【解题思路】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.
【解答过程】在直线x−2y+1=0上取点A−1,0、B1,1，
故直线x−2y+1=0的一个方向向量为AB=2,1.
故选：A.
【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+my−3=0的一个方向向量是（ ）
A．1,2B．2,−1C．2,1D．1,−2
【解题思路】直接根据方向向量的定义解答即可.
【解答过程】明显m≠0，
直线2mx+my−3=0即为y=−2x+3m，
所以直线2mx+my−3=0的一个方向向量是1,−2.
故选：D.
【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量为1,k，那么k=（ ）
A．−2B．−1C．−12D．2
【解题思路】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.
【解答过程】由题意k1=2−00−1=−2，解得：k=−2.
故选：A.
【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量1−m,1是直线l的一个方向向量，则实数m的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−1或2
【解题思路】根据题意得到直线l的一个方向向量为−2,m，再结合已知条件，利用向量共线求解即可.
【解答过程】因为直线l:mx+2y+6=0，直线l的一个方向向量为−2,m，
又因为向量1−m,1是直线l的一个方向向量，
所以−2−m1−m=0，解得m=−1或m=2.
故选：D.
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】
【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为2,−1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（ ）
A．x−y−1=0B．x+y−1=0
C．x−2y−1=0D．x+2y−1=0
【解题思路】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【解答过程】因为直线l的一个方向向量为2,−1，所以直线l的斜率k=−12=−12，
又直线l经过点A1,0，所以直线l的方程为y=−12x−1，即x+2y−1=0.
故选：D.
【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为2,3，直线m过点1,1且与l垂直，则直线m的方程为（ ）
A．2x+3y−5=0B．2x−3y+1=0
C．3x+2y−5=0D．3x−2y−1=0
【解题思路】先由直线l的方向向量求得kl，再利用直线垂直的性质求得km，从而利用点斜式即可求得直线m的方程.
【解答过程】因为直线l的方向向量为2,3，所以kl=32，
又因为直线m与l垂直，所以klkm=−1，故km=−23，
所以由直线m过点1,1可得，直线m的方程为y−1=−23x−1，即2x+3y−5=0.
故选：A.
【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a=3,2，则直线l′的方程为（ ）
A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0
C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0
【解题思路】直线l方程变为x+y+m2x+y+1=0，可得定点P −1,1.根据l'的方向向量a=3,2，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.
【解答过程】2m+1x+m+1y+m=0可变形为x+y+m2x+y+1=0，
解x+y=02x+y+1=0得x=−1y=1，即P点坐标为−1,1.
因为a=3,2=31,23，所以直线l′的斜率为23，又l′过点P −1,1，
代入点斜式方程可得y−1=23x+1，整理可得2x−3y+5=0.
故选：A.
【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0
【解题思路】根据l1⊥l2，求得l2的斜率即可.
【解答过程】k1＝3，k2＝－k，又l1⊥l2，
∴3×(－k)＝－1.
∴k＝13，
∴l2的斜率为－13，
∴l2：x＋3y－15＝0.
故选：B.方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x轴垂直的直线
①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式
不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知两个截距
截距式
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x轴垂直的直线
①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式
不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知两个截距
截距式
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11080" 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 PAGEREF _Tc11080 \h 2
\l "_Tc29366" 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 PAGEREF _Tc29366 \h 2
\l "_Tc8396" 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 PAGEREF _Tc8396 \h 3
\l "_Tc21844" 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 PAGEREF _Tc21844 \h 4
\l "_Tc22416" 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 PAGEREF _Tc22416 \h 5
\l "_Tc7378" 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 PAGEREF _Tc7378 \h 6
\l "_Tc9952" 【题型7 求直线的方向向量】 PAGEREF _Tc9952 \h 7
\l "_Tc549" 【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 PAGEREF _Tc549 \h 7
【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点0,3,2,1的直线方程为( )
A．x−y−3=0B．x+y−3=0
C．x+y+3=0D．x−y+3=0
【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(−5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．x−y+12=0B．x+y−2=0
C．x+y−12=0D．x−y+2=0
【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y+1=0D．x+2y−3=0
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=kx−2表示（ ）
A．通过点2,0的所有直线B．通过点2,0且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点2,0且不垂直于x轴的所有直线D．通过点2,0且除去x轴的所有直线
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．y=x+2B．y=x−2
C．y=−x+2D．y=−x+4
【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1
【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．y=−12x+4
B．y=−12x+4或y=−12x−4
C．y=12x+4
D．y=12x+4或y=12x−4
【知识点2 直线的两点式、截距式方程】
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A3,−5，B−5,5的直线在y轴上的截距为（ ）
A．−54B．54C．−25D．25
【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，−3)，H(2，1)， 则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．4x−y−7=0
C．2x−3y−11=0D．4x−y+7=0
【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A5,2，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,−6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x+y=0B．x+y+3=0
C．x−y+3=0D．x+y+3=0或2x+y=0
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为（ ）
A．3x−2y+6=0B．2x−3y+6=0C．3x−2y−6=0D．3x+2y−6=0
【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A−2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）．
A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0
C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0
【知识点3 直线的一般式方程】
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
【题型5 直线的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,−1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y+1=0C．x−3y+1=0D．x−3y−1=0
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x−2y+3=0经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(−3,1)，且与直线x−2y+3=0垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A．2x+y+3=0B．2x+y+5=0C．2x+y−1=0D．2x+y−2=0
【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论A,B取任何值，直线都存在斜率B．当A=0，且B≠0时，直线只与x轴相交
C．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交D．当A≠0，且B=0，且C=0时，直线是y轴所在直线
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点(0,−1)且斜率为−23的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3=0B．2x+3y−3=0C．2x+3y+2=0D．3x−2y−2=0
【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0 ，那么直线Ax+By+C=0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线x+ay−1=0的倾斜角为3π4，则实数a的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（ ）
A．x+2y−10=0B．x+2y+10=0
C．2x−y=0或x+2y−4=0D．2x−y=0或x+2y−10=0
【知识点4 方向向量与直线的参数方程】
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型7 求直线的方向向量】
【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x−2y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．2,1B．1,2C．2,−1D．1,−2
【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+my−3=0的一个方向向量是（ ）
A．1,2B．2,−1C．2,1D．1,−2
【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量为1,k，那么k=（ ）
A．−2B．−1C．−12D．2
【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量1−m,1是直线l的一个方向向量，则实数m的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−1或2
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】
【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为2,−1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（ ）
A．x−y−1=0B．x+y−1=0
C．x−2y−1=0D．x+2y−1=0
【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为2,3，直线m过点1,1且与l垂直，则直线m的方程为（ ）
A．2x+3y−5=0B．2x−3y+1=0
C．3x+2y−5=0D．3x−2y−1=0
【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a=3,2，则直线l′的方程为（ ）
A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0
C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0
【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0
专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11080" 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 PAGEREF _Tc11080 \h 2
\l "_Tc29366" 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 PAGEREF _Tc29366 \h 2
\l "_Tc8396" 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 PAGEREF _Tc8396 \h 5
\l "_Tc21844" 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 PAGEREF _Tc21844 \h 6
\l "_Tc22416" 【题型5 直线的一般式方程及辨析】 PAGEREF _Tc22416 \h 8
\l "_Tc7378" 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 PAGEREF _Tc7378 \h 9
\l "_Tc9952" 【题型7 求直线的方向向量】 PAGEREF _Tc9952 \h 11
\l "_Tc549" 【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】 PAGEREF _Tc549 \h 12
【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点0,3,2,1的直线方程为( )
A．x−y−3=0B．x+y−3=0
C．x+y+3=0D．x−y+3=0
【解题思路】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【解答过程】由两点0,3,2,1，可得过两点的直线的斜率为k=1−32−0=−1，
又由直线的点斜式方程，可得y−3=−1×(x−0)，即x+y−3=0.
故选：B.
【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(−5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．x−y+12=0B．x+y−2=0
C．x+y−12=0D．x−y+2=0
【解题思路】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答.
【解答过程】依题意，直线的斜率k=tan135°=−1，
所以直线方程为：y−7=−1⋅(x+5)，即x+y−2=0.
故选：B.
【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（ ）
A．2x−y=0B．2x+y=0C．x−2y+1=0D．x+2y−3=0
【解题思路】根据点斜式方程求解即可.
【解答过程】解：经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是y−2=2x−1，整理得2x−y=0.
故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=kx−2表示（ ）
A．通过点2,0的所有直线B．通过点2,0且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点2,0且不垂直于x轴的所有直线D．通过点2,0且除去x轴的所有直线
【解题思路】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.
【解答过程】y=k(x−2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点2,0．
故选：C.
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A．x32+y3=1B．y=−2x+3
C．y−3=−2(x−0)D．x=−12y+32
【解题思路】化方程为斜截式即可.
【解答过程】直线2x+y−3=0用斜截式表示为y=−2x+3，
故选：B．
【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．y=x+2B．y=x−2
C．y=−x+2D．y=−x+4
【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数b，确定答案.
【解答过程】因为所求的直线与直线y=−x+2垂直，所以k×−1=−1，得k=1.
设所求直线为y=x+b,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点2,0，
求得b=−2,所以所求直线的斜截式方程为y=x−2，
故选：B.
【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1
【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.
【解答过程】斜率k=tanπ4=1，
点斜式方程为y−3=x−2，
斜截式方程为y=x+1.
故选：A.
【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．y=−12x+4
B．y=−12x+4或y=−12x−4
C．y=12x+4
D．y=12x+4或y=12x−4
【解题思路】将直线2x−y−1=0化为斜截式方程，可得出斜率k=2，从而得与直线2x−y−1=0垂直的直线斜率，再根据所求直线在y轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程.
【解答过程】解：由于直线2x−y−1=0，即y=2x−1，可知斜率k=2，
则与直线2x−y−1=0垂直的直线斜率为k=−12，
由于所求直线在y轴上的截距为4，
则所求直线的斜截式方程是y=−12x+4.
故选：A.
【知识点2 直线的两点式、截距式方程】
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．2x−3y−11=0C．4x+3y+5=0D．4x+3y−13=0
【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【解答过程】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为y+31+3=x−1−2−1，即4x+3y+5=0．
故选：C．
【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A3,−5，B−5,5的直线在y轴上的截距为（ ）
A．−54B．54C．−25D．25
【解题思路】由两点式得出直线方程，令x=0，即可解出直线在y轴上的截距.
【解答过程】过两点A3,−5，B−5,5的直线的为y+55+5=x−3−5−3，
令x=0，解得：y=−54，
故选：A.
【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，−3)，H(2，1)， 则直线l的方程为（ ）
A．4x+y+7=0B．4x−y−7=0
C．2x−3y−11=0D．4x−y+7=0
【解题思路】直接利用两点式直线方程得x−12−1=y+31+3，化简即可.
【解答过程】直线l的两点式方程为：x−12−1=y+31+3，化简得4x−y−7=0，
故选：B.
【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.
【解答过程】由题意知l不与x,y轴平行，故由直线l的两点式方程可得m+21348+2=m−41348−2，解得：m=2023，
故选：C.
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A5,2，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程.
【解答过程】若直线经过原点，则y=25x，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，
若截距均不为0，则设直线方程为xa+ya=1a≠0，将A5,2代入得5a+2a=1⇒a=7，此时直线方程为x7+y7=1，
故选：C.
【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,−6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x+y=0B．x+y+3=0
C．x−y+3=0D．x+y+3=0或2x+y=0
【解题思路】由题意，分截距为0或不为0两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.
【解答过程】显然，所求直线的斜率存在．
当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，将点(3,−6)代入得k=−2，此时直线方程为2x+y=0；
当两截距均不为0时，设直线方程为xa+ya=1,a≠0，将点(3,−6)代入得a=−3，此时直线方程为x+y+3=0．
故选：D．
【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为（ ）
A．3x−2y+6=0B．2x−3y+6=0C．3x−2y−6=0D．3x+2y−6=0
【解题思路】已知直线l的过点点A(−2,0),B(0,3)，可通过直线方程的截距式得出其方程为3x−2y+6=0.
【解答过程】由直线l过点A(−2,0),B(0,3)，则直线l的方程为x−2+y3=1即3x−2y+6=0.
故选：A .
【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A−2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）．
A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0
C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0
【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.
【解答过程】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y=kx
把点−2,1代入求出k=−12，即直线方程为x+2y=0
（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为xa+y−a=1，
把点−2,1代入求出a=−3，即直线方程为x−y+3=0
综上，直线方程为x+2y=0或x−y+3=0
故选：A.
【知识点3 直线的一般式方程】
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
【题型5 直线的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,−1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y+1=0C．x−3y+1=0D．x−3y−1=0
【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【解答过程】由直线的倾斜角为60°知，直线的斜率k=3，
因此，其直线方程为y−(−1)=3(x−0)，即3x−y−1=0.
故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x−2y+3=0经过（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．一、三、四象限D．二、三、四象限
【解题思路】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【解答过程】由x−2y+3=0，令x=0可得，y=32；令y=0可得x=−3；
即直线x−2y+3=0过点0,32，−3,0，
所以直线x−2y+3=0经过一、二、三象限.
故选：A.
【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(−3,1)，且与直线x−2y+3=0垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A．2x+y+3=0B．2x+y+5=0C．2x+y−1=0D．2x+y−2=0
【解题思路】由题意设直线l方程为2x+y+m=0，然后将点(−3,1)坐标代入求出m，从而可求出直线方程
【解答过程】因为直线l与直线x−2y+3=0垂直，所以设直线l方程为2x+y+m=0，
因为直线l过点(−3,1)，所以−6+1+m=0，得m=5，
所以直线l方程为2x+y+5=0，
故选：B.
【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论A,B取任何值，直线都存在斜率B．当A=0，且B≠0时，直线只与x轴相交
C．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交D．当A≠0，且B=0，且C=0时，直线是y轴所在直线
【解题思路】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案.
【解答过程】解：对于A选项，当A≠0，且B=0时，直线斜率不存在，故错误；
对于B选项，当A=0，且B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交；当A=0，且B≠0，C=0时，直线与x轴重合，故错误；
对于C选项，当A≠0，且B≠0时，直线与两条坐标轴都相交，故错误；
对于D选项，当A≠0，且B=0，且C=0时，直线方程为x=0，即y轴所在直线，故正确.
故选：D.
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点(0,−1)且斜率为−23的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3=0B．2x+3y−3=0C．2x+3y+2=0D．3x−2y−2=0
【解题思路】写出点斜式，再化为一般式即可.
【解答过程】由点斜式得y+1=−23x，即2x+3y+3=0.
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0 ，那么直线Ax+By+C=0不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】直线变换为y=−ABx−CB，确定−AB>0，−CB>0，得到直线不经过的象限.
【解答过程】由Ax+By+C=0可得y=−ABx−CB，B≠0，
因为AB<0，BC<0，故−AB>0，−CB>0.
故直线不经过第四象限.
故选：D.
【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线x+ay−1=0的倾斜角为3π4，则实数a的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【解题思路】将直线方程化为点斜式方程，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【解答过程】解：由题知a≠0，故将直线方程化为点斜式方程得y=−1ax+1a，
因为直线x+ay−1=0的倾斜角为3π4，
所以直线x+ay−1=0的斜率为−1，即−1a=−1，解得a=1.
故选：A.
【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（ ）
A．x+2y−10=0B．x+2y+10=0
C．2x−y=0或x+2y−4=0D．2x−y=0或x+2y−10=0
【解题思路】当截距为0时，设出直线的点斜式；当截距不为0时，设出直线的截距式，进而将点代入方程解出参数，最后得到答案.
【解答过程】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，
把点(2,4)代入方程，得2=k，即k=2，所以直线的方程为2x−y=0；
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为x2b+yb=1，
把点(2,4)代入方程，得22b+4b=1，即b=5，所以直线的方程为x+2y−10=0．
故选：D．
【知识点4 方向向量与直线的参数方程】
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
【题型7 求直线的方向向量】
【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x−2y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．2,1B．1,2C．2,−1D．1,−2
【解题思路】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量.
【解答过程】在直线x−2y+1=0上取点A−1,0、B1,1，
故直线x−2y+1=0的一个方向向量为AB=2,1.
故选：A.
【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+my−3=0的一个方向向量是（ ）
A．1,2B．2,−1C．2,1D．1,−2
【解题思路】直接根据方向向量的定义解答即可.
【解答过程】明显m≠0，
直线2mx+my−3=0即为y=−2x+3m，
所以直线2mx+my−3=0的一个方向向量是1,−2.
故选：D.
【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量为1,k，那么k=（ ）
A．−2B．−1C．−12D．2
【解题思路】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.
【解答过程】由题意k1=2−00−1=−2，解得：k=−2.
故选：A.
【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量1−m,1是直线l的一个方向向量，则实数m的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−1或2
【解题思路】根据题意得到直线l的一个方向向量为−2,m，再结合已知条件，利用向量共线求解即可.
【解答过程】因为直线l:mx+2y+6=0，直线l的一个方向向量为−2,m，
又因为向量1−m,1是直线l的一个方向向量，
所以−2−m1−m=0，解得m=−1或m=2.
故选：D.
【题型8 根据直线的方向向量求直线方程】
【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为2,−1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（ ）
A．x−y−1=0B．x+y−1=0
C．x−2y−1=0D．x+2y−1=0
【解题思路】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【解答过程】因为直线l的一个方向向量为2,−1，所以直线l的斜率k=−12=−12，
又直线l经过点A1,0，所以直线l的方程为y=−12x−1，即x+2y−1=0.
故选：D.
【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为2,3，直线m过点1,1且与l垂直，则直线m的方程为（ ）
A．2x+3y−5=0B．2x−3y+1=0
C．3x+2y−5=0D．3x−2y−1=0
【解题思路】先由直线l的方向向量求得kl，再利用直线垂直的性质求得km，从而利用点斜式即可求得直线m的方程.
【解答过程】因为直线l的方向向量为2,3，所以kl=32，
又因为直线m与l垂直，所以klkm=−1，故km=−23，
所以由直线m过点1,1可得，直线m的方程为y−1=−23x−1，即2x+3y−5=0.
故选：A.
【变式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直线l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a=3,2，则直线l′的方程为（ ）
A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0
C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0
【解题思路】直线l方程变为x+y+m2x+y+1=0，可得定点P −1,1.根据l'的方向向量a=3,2，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.
【解答过程】2m+1x+m+1y+m=0可变形为x+y+m2x+y+1=0，
解x+y=02x+y+1=0得x=−1y=1，即P点坐标为−1,1.
因为a=3,2=31,23，所以直线l′的斜率为23，又l′过点P −1,1，
代入点斜式方程可得y−1=23x+1，整理可得2x−3y+5=0.
故选：A.
【变式8-3】（2023秋·重庆渝中·高二校考期中）已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0
【解题思路】根据l1⊥l2，求得l2的斜率即可.
【解答过程】k1＝3，k2＝－k，又l1⊥l2，
∴3×(－k)＝－1.
∴k＝13，
∴l2的斜率为－13，
∴l2：x＋3y－15＝0.
故选：B.方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x轴垂直的直线
①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式
不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知两个截距
截距式
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x轴垂直的直线
①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式
不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知两个截距
截距式
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程
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