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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲极值与最值(练习)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲极值与最值(练习)(原卷版+解析)，共30页。
1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足，且，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点
10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数的导函数为，则（ ）
A．B．是函数的极值点
C．存在两个零点D．在(1，+∞)上单调递增
11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．在上单调递增
C．的极小值为
D．在上的最小值为
12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数在内有极小值，则的一个可能取值为______．
14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为______.
17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．
18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，探究函数的单调性；
(2)若函数有唯一的极值0，求的值.
20．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)证明：
22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，记为函数g(x)的两个极值点，求的取值范围．
1．（2017·全国·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
2．（2012·重庆·高考真题）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
3．（2013·浙江·高考真题）已知e为自然对数的底数,设函数,则．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
4．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
5．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
6．（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________．
7．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
8．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
第03讲 极值与最值
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为定义域为，
所以，令得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值．
故选：D
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】C
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：C.
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函数的单调递增区间是.
故选：C．
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的定义域为，
在上单调递增，且，，
所以，．
的定义域为，由，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
即．所以．
故选：A
5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵
∴原式
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又∵，，
，
∴当时，，
∴当，的取值范围是.
故选：D.
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，函数取得最小值，
所以，所以，得，
又，根据函数在处取得最值，
所以即得，
所以，.
故选：C.
7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足，且，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，解出，或（舍），所以，即，，
令，，，
时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，所以，
故选：B.
8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点
【答案】AC
【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数的导函数为，则（ ）
A．B．是函数的极值点
C．存在两个零点D．在(1，+∞)上单调递增
【答案】AD
【解析】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确；
，得，中，，
所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.
故选：AD
11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．在上单调递增
C．的极小值为
D．在上的最小值为
【答案】BC
【解析】因为，所以，
所以，故A错误；
令，解得，所以的单调递增区间为，
而，所以在上单调递增，故B正确；
当时，所以的单调递减区间为，
所以的极小值为，故C正确；
在上单调递减，所以最小值为，故D错误；
故选：BC
12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由题可知，，因为有两个不同的极值点，所以且，
若，则．当时，，即，即，即，
设，则，所以在上单调递减，则，则，所以．
若，则．当时，，即，
若，则当时，，不满足题意，所以，此时，即．
设，则
易得在上单调递减，在上单调递增，所以解得，所以．
综上，的取值范围是，
故选:BD．
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数在内有极小值，则的一个可能取值为______．
【答案】（答案不唯一，只要符合均可）
【解析】由得，若有极值点，则，
所以，故当 或时，，此时 单调递增，当时，，此时 单调递减，故当 时，取极小值，因此要使在内有极小值，则 ，
故答案为：（答案不唯一，只要符合均可）
14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】/
【解析】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
故答案为：．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】若无极值，
则恒成立，
即，解得；
若无极值，
则对恒成立，
所以，即．
所以与中恰有一个函数无极值，
则或，
解得．
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】当时，，符合题意；
当时，令，则，
可化为，
令，则，
时，单调递减，时，单调递增，
所以的最小值为，
对于任意，都有，
等价于，即，
对于①：由在上单调递增，且，
可知，即且，
在且的条件下，对②：由时，单调递减，
可得，②成立，
综上可知：实数的取值范围为.
故答案为：
17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．
【解析】（1）由题可知, ,令,即,
即有两个根,
令,则,
由得,,解得;由得,,解得,
所以在单调递增, 单调递减,
时,
所以要使有两个根,则,
解得,所以.
（2）由(1)可知 且，所以
要证，只用证，
等价于证明，
而，即，
故等价于证明，
即证.
令，则，
于是等价于证明成立，
设，
，
所以 在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.
18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由得，
令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，
（2）由恒成立可得恒成立，
记，则，令 ，则，
由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，
因此在上单调递增，且，故当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，探究函数的单调性；
(2)若函数有唯一的极值0，求的值.
【解析】（1）依题意，，故，解得，
则，故，则，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，
则函数在上单调递减；
（2），则，
设唯一的极值点为，则
由得，，（*）
令，则，所以，
记，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，且，
所以当时，，从而单调递减，
当时，，从而单调递增，
故，从而在上单调递增，
又因为，所以，代入①可得，
当时，，，
因为是（*）的唯一零点，且，
所以是唯一的极值点，且极值为0，满足题意.
所以.
20．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，函数．
．．
∴曲线在点处的切线方程为．
（2）由题知，不妨设．
．
（i）当时，不妨设．
在上恒成立．
在上单调递增．
又，
∴当时，；当时，．
，
．
∴当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增．
是函数的极小值点．
（ii）当时，不妨设．
，使得，且．
在上单调递减．
∴当时，．
∴当时，．
在上单调递减．
不是函数的极小值点．
综上所述，当是函数的极小值点时，的取值范围为．
21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)证明：
【解析】（1）.
所以，，
所以在点处切线的方程为，
即.
（2）当时，，，
令，则.
当时，，所以在单调递减.
所以.
所以，函数在上单调递减.
函数在上单调递减.
所以，即函数的最小值为.
（3）由（2）可知在上单调递减.
又因为，
所以.
所以，即
22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，记为函数g(x)的两个极值点，求的取值范围．
【解析】（1），
又切点切线方程为，即.
（2）
为两个极值点，有两个不等的正根，
，，得，
令，得，
，，则，则，
在递减，，
即的取值范围为．
1．（2017·全国·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
2．（2012·重庆·高考真题）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
3．（2013·浙江·高考真题）已知e为自然对数的底数,设函数,则．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【答案】C
【解析】
当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)
f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，则f(x)在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)
∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0故选C.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
5．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
6．（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
故答案为：.
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
故答案为：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
故答案为：.
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
故答案为：.
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．
7．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【解析】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
8．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【解析】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.
增
极大值
减
极小值
增
1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足，且，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点
10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数的导函数为，则（ ）
A．B．是函数的极值点
C．存在两个零点D．在(1，+∞)上单调递增
11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．在上单调递增
C．的极小值为
D．在上的最小值为
12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数在内有极小值，则的一个可能取值为______．
14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为______.
17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．
18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，探究函数的单调性；
(2)若函数有唯一的极值0，求的值.
20．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)证明：
22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，记为函数g(x)的两个极值点，求的取值范围．
1．（2017·全国·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
2．（2012·重庆·高考真题）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
3．（2013·浙江·高考真题）已知e为自然对数的底数,设函数,则．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
4．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
5．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
6．（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________．
7．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
8．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
第03讲 极值与最值
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为定义域为，
所以，令得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值．
故选：D
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】C
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：C.
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函数的单调递增区间是.
故选：C．
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的定义域为，
在上单调递增，且，，
所以，．
的定义域为，由，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
即．所以．
故选：A
5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵
∴原式
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又∵，，
，
∴当时，，
∴当，的取值范围是.
故选：D.
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，函数取得最小值，
所以，所以，得，
又，根据函数在处取得最值，
所以即得，
所以，.
故选：C.
7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足，且，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，解出，或（舍），所以，即，，
令，，，
时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，所以，
故选：B.
8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点
【答案】AC
【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数的导函数为，则（ ）
A．B．是函数的极值点
C．存在两个零点D．在(1，+∞)上单调递增
【答案】AD
【解析】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确；
，得，中，，
所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.
故选：AD
11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．在上单调递增
C．的极小值为
D．在上的最小值为
【答案】BC
【解析】因为，所以，
所以，故A错误；
令，解得，所以的单调递增区间为，
而，所以在上单调递增，故B正确；
当时，所以的单调递减区间为，
所以的极小值为，故C正确；
在上单调递减，所以最小值为，故D错误；
故选：BC
12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由题可知，，因为有两个不同的极值点，所以且，
若，则．当时，，即，即，即，
设，则，所以在上单调递减，则，则，所以．
若，则．当时，，即，
若，则当时，，不满足题意，所以，此时，即．
设，则
易得在上单调递减，在上单调递增，所以解得，所以．
综上，的取值范围是，
故选:BD．
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数在内有极小值，则的一个可能取值为______．
【答案】（答案不唯一，只要符合均可）
【解析】由得，若有极值点，则，
所以，故当 或时，，此时 单调递增，当时，，此时 单调递减，故当 时，取极小值，因此要使在内有极小值，则 ，
故答案为：（答案不唯一，只要符合均可）
14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】/
【解析】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
故答案为：．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】若无极值，
则恒成立，
即，解得；
若无极值，
则对恒成立，
所以，即．
所以与中恰有一个函数无极值，
则或，
解得．
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】当时，，符合题意；
当时，令，则，
可化为，
令，则，
时，单调递减，时，单调递增，
所以的最小值为，
对于任意，都有，
等价于，即，
对于①：由在上单调递增，且，
可知，即且，
在且的条件下，对②：由时，单调递减，
可得，②成立，
综上可知：实数的取值范围为.
故答案为：
17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．
【解析】（1）由题可知, ,令,即,
即有两个根,
令,则,
由得,,解得;由得,,解得,
所以在单调递增, 单调递减,
时,
所以要使有两个根,则,
解得,所以.
（2）由(1)可知 且，所以
要证，只用证，
等价于证明，
而，即，
故等价于证明，
即证.
令，则，
于是等价于证明成立，
设，
，
所以 在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.
18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由得，
令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，
（2）由恒成立可得恒成立，
记，则，令 ，则，
由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，
因此在上单调递增，且，故当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，探究函数的单调性；
(2)若函数有唯一的极值0，求的值.
【解析】（1）依题意，，故，解得，
则，故，则，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，
则函数在上单调递减；
（2），则，
设唯一的极值点为，则
由得，，（*）
令，则，所以，
记，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，且，
所以当时，，从而单调递减，
当时，，从而单调递增，
故，从而在上单调递增，
又因为，所以，代入①可得，
当时，，，
因为是（*）的唯一零点，且，
所以是唯一的极值点，且极值为0，满足题意.
所以.
20．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，函数．
．．
∴曲线在点处的切线方程为．
（2）由题知，不妨设．
．
（i）当时，不妨设．
在上恒成立．
在上单调递增．
又，
∴当时，；当时，．
，
．
∴当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增．
是函数的极小值点．
（ii）当时，不妨设．
，使得，且．
在上单调递减．
∴当时，．
∴当时，．
在上单调递减．
不是函数的极小值点．
综上所述，当是函数的极小值点时，的取值范围为．
21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)证明：
【解析】（1）.
所以，，
所以在点处切线的方程为，
即.
（2）当时，，，
令，则.
当时，，所以在单调递减.
所以.
所以，函数在上单调递减.
函数在上单调递减.
所以，即函数的最小值为.
（3）由（2）可知在上单调递减.
又因为，
所以.
所以，即
22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，记为函数g(x)的两个极值点，求的取值范围．
【解析】（1），
又切点切线方程为，即.
（2）
为两个极值点，有两个不等的正根，
，，得，
令，得，
，，则，则，
在递减，，
即的取值范围为．
1．（2017·全国·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
2．（2012·重庆·高考真题）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
3．（2013·浙江·高考真题）已知e为自然对数的底数,设函数,则．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【答案】C
【解析】
当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)
f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，则f(x)在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)
∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0
4．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
5．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
6．（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
故答案为：.
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
故答案为：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
故答案为：.
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
故答案为：.
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．
7．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【解析】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
8．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【解析】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.
增
极大值
减
极小值
增
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