(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第4章 第3讲　导数与函数的极值、最值 (2份打包，原卷版+教师版)

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第3讲　导数与函数的极值、最值


一、知识梳理
1.函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
[提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
[提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.
常用结论
记住两个结论
(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点.
(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.
二、教材衍化
1.函数f(x)＝ln x﹣x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A.1﹣e B.﹣1 C.﹣e D.0
答案：B
2.函数f(x)＝x3﹣4x＋4的极大值点为________，极大值为________.
答案：﹣2　

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.(　　)
(2)导数为零的点不一定是极值点.(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)
(4)函数的极大值一定是函数的最大值.(　　)
(5)开区间上的单调连续函数无最值.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
常见误区
(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；
(2)混淆极值与极值点的概念；
(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值.
1.若函数f(x)＝x(x﹣c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________.
解析：函数f(x)＝x(x﹣c)2的导数为f′(x)＝3x2﹣4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12﹣8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x﹣c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x﹣6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.
答案：2
2.函数g(x)＝﹣x2的极值点是________，函数f(x)＝(x﹣1)3的极值点________(填“存在”或“不存在”).
解析：结合函数图象可知g(x)＝﹣x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x﹣1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x﹣1)3不存在极值点.
答案：0　不存在
3.函数g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是________，在(1，2)上的最小值和最大值均________(填“存在”或“不存在”).
解析：根据函数的单调性及最值的定义可得.
答案：1，4　不存在

考点一　函数的极值问题(基础型)
复习指导了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值.
核心素养：逻辑推理、数学运算
角度一　由图象判断函数的极值
已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)

A.函数f(x)在(﹣∞，﹣4)上单调递减
B.函数f(x)在x＝2处取得极大值
C.函数f(x)在x＝﹣4处取得极值
D.函数f(x)有两个极值点
【解析】　由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误.当x＝2时函数取得极大值，故B正确.当x＝﹣4时函数无极值，故C错误.只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误.故选B.
【答案】　B

由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点.
角度二　求已知函数的极值
已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值.
【解】　f′(x)＝﹣＝(x>0)，
当a﹣1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值.
当a﹣1>0，即a>1时，由f′(x)<0，得0 由f′(x)>0，得x>a﹣1，函数f(x)在(a﹣1，＋∞)上单调递增.f(x)极小值＝f(a﹣1)＝1＋ln(a﹣1).
综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；
当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a﹣1).







利用导数研究函数极值问题的一般流程

角度三　已知函数的极值求参数值(范围)
设函数f(x)＝[ax2﹣(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求实数a的值；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围.
【解】　(1)因为f(x)＝[ax2﹣(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝[ax2﹣(a＋1)x＋1]ex. f′(2)＝(2a﹣1)e2.
由题设知f′(2)＝0，即(2a﹣1)e2＝0，解得a＝.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2﹣(a＋1)x＋1]ex＝(ax﹣1)(x﹣1)ex.
若a>1，则当x∈(,1)时，f′(x)<0;
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值.
若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax﹣1≤x﹣1<0，
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞).

已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[提醒]　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.




1.已知函数f(x)＝(x2﹣m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是(　　)
A.4e﹣2 B.4e2 C.e﹣2 D.e2
解析：选A.f′(x)＝(x2＋2x﹣m)ex.由题意知，f′(1)＝(3﹣m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x>0或x<﹣2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当﹣2 2.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝﹣1处有极值0，则a﹣b＝________.
解析：由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝﹣1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a﹣b＝﹣7.
答案：﹣7
3.已知函数f(x)＝ex(﹣x＋ln x＋a)(e为自然对数的底数，a为常数，且a≤1).判断函数f(x)在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由.
解：f′(x)＝ex(ln x﹣x＋＋a﹣1)，
令g(x)＝ln x﹣x＋＋a﹣1，x∈(1，e)，则f′(x)＝exg(x)，g′(x)＝﹣<0恒成立，所以g(x)在(1，e)上单调递减，
所以g(x) 所以函数f(x)在区间(1，e)内无极值点.
考点二　函数的最值问题(基础型)
复习指导会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
核心素养：数学运算
已知函数f(x)＝﹣ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).
【解】　(1)f(x)＝﹣ln x＝1﹣﹣ln x，f(x)的定义域为(0，＋∞).
因为f′(x)＝﹣＝，所以f′(x)＞0⇒0 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
(2)由(1)得f(x)在[,1]上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在[,e]上的极大值为f(1)＝1﹣﹣ln 1＝0.
又f()＝1﹣e﹣ln ＝2﹣e，f(e)＝1﹣﹣ln e＝﹣，且f() 所以f(x)在[,e]上的最大值为0，最小值为2﹣e.

求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值.
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

1.函数f(x)＝在[﹣,1]上的最小值与最大值的和为(　　)
A. B. C.1 D.0
解析：选A.f′(x)＝＝，x∈[﹣,1]，
当f′(x)＝0时，x＝0；当﹣≤x≤0时，f′(x)<0；当00，
所以f(x)在[﹣,0]上是减函数，在(0，1]上是增函数.所以f(x)min＝f(0)＝0.
又f(﹣)＝，f(1)＝. 所以f(x)的最大值与最小值的和为.
2.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝﹣1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为﹣3，求a的值.
解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝﹣1时，f(x)＝﹣x＋ln x，f′(x)＝﹣1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.
所以f(x)max＝f(1)＝﹣1.
所以当a＝﹣1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为﹣1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈[,+∞).
①若a≥﹣，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，
所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；
②若a<﹣，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0 令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得﹣ 从而f(x)在(0,﹣)上为增函数，在(﹣,e]上为减函数，所以f(x)max＝f(﹣)＝﹣1＋ln(﹣).
令﹣1＋ln(﹣)＝﹣3，得ln(﹣)＝﹣2，即a＝﹣e2.因为﹣e2<﹣，所以a＝﹣e2为所求.
故实数a的值为﹣e2.
考点三　生活中的优化问题(应用型)
复习指导通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.
核心素养：数学建模
某生产厂家每天生产一种精密仪器，已知该工厂每天生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x(x∈N*)间的关系为p(x)＝，每生产一件正品盈利2 000元，每出现一件次品亏损1 000元，已知若生产10件，则生产的正品只有7件.(注：正品率＝产品的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.
【解】　(1)由题意，知当x＝10时，p(10)＝，
即p(10)＝＝，解得m＝2 200. 所以p(x)＝.
故日利润y＝2 000x×p(x)﹣1 000x×[1﹣p(x)]＝3 000x×p(x)﹣1 000x
＝3 000x×﹣1 000x＝﹣x3＋1 200x，
故所求的函数关系式是y＝﹣x3＋1 200x(x∈N*，1≤x≤30).
(2)y′＝﹣3x2＋1 200，令y′＝0，解得x＝20.
当x∈[1，20)时，y′＞0，函数单调递增；
当x∈(20，30]时，y′＜0，函数单调递减.
所以当x＝20时，y取最大值，最大值为﹣203＋1 200×20＝16 000(元).
所以该厂的日产量为20件时，日利润最大，最大值为16 000元.

解决优化问题的基本思路

利用导数解决生活中的优化问题的步骤：
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，确定实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，求出最值；
(4)回归实际问题作答.
　某产品包装公司要生产一种容积为V的圆柱形饮料罐(上下都有底)，一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍，若不考虑饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料罐的底面半径是________.
解析：由V＝πr2h，得h＝，设f(r)＝3×2×πr2＋2πrh＝6πr2＋，所以f′(r)＝12πr﹣＝，所以f(r)在(0,)上单调递减，(,+∞)上单调递增，所以当r＝时造价最低.
答案：.

[基础题组练]
1.函数f(x)＝2x3＋9x2﹣2在[﹣4，2]上的最大值和最小值分别是(　　)
A.25，﹣2 B.50，14 C.50，﹣2 D.50，﹣14
解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2﹣2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[﹣4，﹣3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(﹣3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(﹣4)＝14，f(﹣3)＝25，f(0)＝﹣2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2﹣2在[﹣4，2]上的最大值和最小值分别是50，﹣2.
2.(多选)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)

A.函数y＝f(x)在区间(-3,-)内单调递增
B.当x＝﹣2时，函数y＝f(x)取得极小值
C.函数y＝f(x)在区间(﹣2，2)内单调递增
D.当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值
解析：选BC.对于A，函数y＝f(x)在区间(-3,-)内有增有减，故A不正确；对于B，当x＝﹣2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(﹣2，2)时，恒有f′(x)＞0，则函数y＝f(x)在区间(﹣2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确.
3.已知函数f(x)＝2f′(1)ln x﹣x，则f(x)的极大值为(　　)
A.2 B.2ln 2﹣2 C.e D.2﹣e
解析：选B.函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝﹣1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2ln x﹣x，令f′(x)＝﹣1＝0，解得x＝2.当00，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2﹣2.
4.(应用型)用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)
A.120 000 cm3 B.128 000 cm3 C.150 000 cm3 D.158 000 cm3
解析：选B.设水箱底长为x cm，则高为cm.
由得0＜x＜120.
设容器的容积为y cm3，则有y＝﹣x3＋60x2.
求导数，有y′＝﹣x2＋120x. 令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去).
当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.
因此，x＝80是函数y＝﹣x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，
此时y＝128 000.故选B.
5.函数f(x)＝3x2＋ln x﹣2x的极值点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.无数
解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝6x＋﹣2＝，
由于x>0，g(x)＝6x2﹣2x＋1的Δ＝﹣20<0，所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.
6.函数f(x)＝x3﹣3x2＋4在x＝________处取得极小值.
解析：由f′(x)＝3x2﹣6x＝0，得x＝0或x＝2.列表
x
(﹣∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
﹣
0
＋
f(x)

极大值

极小值

所以在x＝2处取得极小值.
答案：2
7.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝________；若函数在(﹣1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝﹣1；若函数在(﹣1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(﹣1，3)内有2个不相等的实数根，则解得﹣ 答案：﹣1　(﹣，﹣3).
8.若x＝﹣2是函数f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex的极值点，则f′(﹣2)＝________，f(x)的极小值为________.
解析：由函数f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax﹣1)ex，因为x＝﹣2是函数f(x)的极值点，所以f′(﹣2)＝(﹣4＋a)e﹣2＋(4﹣2a﹣1)e﹣2＝0，即﹣4＋a＋3﹣2a＝0，解得a＝﹣1.所以f′(x)＝(x2＋x﹣2)ex.令f′(x)＝0可得x＝﹣2或x＝1.当x<﹣2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当﹣2 答案：0　﹣e
9.已知函数f(x)＝﹣ln x，m∈R.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x﹣y＝0平行，求实数n的值；
(2)试讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值.
解：(1)由题意得f′(x)＝，所以f′(2)＝.由于函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x﹣y＝0平行，所以＝1，解得n＝6.
(2)f′(x)＝，令f′(x)<0，得x>n；令f′(x)>0，得x ①当n≤1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝m﹣n；
②当n>1时，函数f(x)在[1，n)上单调递增，在(n，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(n)＝m﹣1﹣ln n.
10.设函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)·(x﹣c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数.
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f(x)的极小值.
解：(1)因为a＝b＝c，所以f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)＝(x﹣a)3.
因为f(4)＝8，所以(4﹣a)3＝8，解得a＝2.
(2)因为b＝c，所以f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)2＝x3﹣(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x﹣ab2，
从而f′(x)＝3(x﹣b)(x﹣).令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
因为a，b，都在集合{﹣3，1，3}中，且a≠b，所以＝1，a＝3，b＝﹣3.
此时，f(x)＝(x﹣3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x﹣1).
令f′(x)＝0，得x＝﹣3或x＝1.列表如下：
x
(﹣∞，﹣3)
﹣3
(﹣3，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
﹣
0
＋
f(x)

极大值

极小值

所以f(x)的极小值为f(1)＝(1﹣3)(1＋3)2＝﹣32.
[综合题组练]
1.(综合型)若函数f(x)＝(1﹣x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(﹣2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2﹣x1＝(　　)
A.﹣ B.2 C.﹣2 D.
解析：选C.由题意可得f(﹣2)＝3(4﹣2a＋b)＝0，
因为函数图象关于点(﹣2，0)对称，且f(1)＝0，所以f(﹣5)＝0，
即f(﹣5)＝6(25﹣5a＋b)＝0，联立解得
故f(x)＝(1﹣x)(x2＋7x＋10)＝﹣x3﹣6x2﹣3x＋10，
则f′(x)＝﹣3x2﹣12x﹣3＝﹣3(x2＋4x＋1)，
结合题意可知x1，x2是方程x2＋4x＋1＝0的两个实数根，且x1>x2，
故x2﹣x1＝﹣|x1﹣x2|＝﹣＝﹣＝﹣2.

2.若函数y＝f(x)存在n﹣1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数.已知函数f(x)＝(x＋1)ex﹣x(x＋2)2，则f(x)为(　　)
A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数 D.5折函数
解析：选C.f′(x)＝(x＋2)ex﹣(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex﹣3x﹣2)，
令f′(x)＝0，得x＝﹣2或ex＝3x＋2. 易知x＝﹣2是f(x)的一个极值点，
又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点.
又e﹣2≠3×(﹣2)＋2＝﹣4. 所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.
3.若函数f(x)＝2x2﹣ln x在其定义域的一个子区间(k﹣1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________.
解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)＝4x﹣，所以由f′(x)＝0解得x＝，由题意得解得1≤k<.
答案：[1,).
4.若x＝﹣2是函数f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1的极值点，则a＝________，f(x)的极小值为________.
解析：因为f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex﹣1＋(x2＋ax﹣1)ex﹣1＝[x2＋(a＋2)x＋a﹣1]ex﹣1.因为x＝﹣2是函数f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1的极值点，所以﹣2是x2＋(a＋2)x＋a﹣1＝0的根，所以a＝﹣1，f′(x)＝(x2＋x﹣2)ex﹣1＝(x＋2)(x﹣1)ex﹣1.令f′(x)>0，解得x<﹣2或x>1，令f′(x)<0，解得﹣2 答案：﹣1　﹣1
5.(应用型)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
解：(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，由题意可知C(0)＝＝8，解得k＝40，因此C(x)＝.又隔热层的建造费用为C1(x)＝6x，
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)＝6﹣，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5或x＝﹣(舍去)，
当0≤x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x≤10时，f′(x)＞0.
故当x＝5时，f(x)的值最小，最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小为70万元.
6.已知函数f(x)＝aln x＋(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解析：由题意，知函数的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝﹣(a>0).
(1)由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间是(，+∞)；
由f′(x)<0，解得x<，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，).
所以当x＝时，函数f(x)有极小值f()＝aln ＋a＝a﹣aln a.
(2)不存在.理由如下：
由(1)可知，当x∈(0，)时，函数f(x)单调递减；当x∈(,+∞)时，函数f(x)单调递增.
①若0<≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1，e]上为增函数，
故函数f(x)的最小值为f(1)＝aln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件.
②若1<≤e，即≤a<1时，函数f(x)在[1，)上为减函数，在(,e]上为增函数，
故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值f()＝aln ＋a＝a﹣aln a＝a(1﹣ln a)＝0，即ln a＝1，解得a＝e，而≤a<1，故不满足条件.
③若>e，即0 故函数f(x)的最小值为f(e)＝aln e＋＝a＋＝0，即a＝﹣，而0 综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0.