第03讲 导数与函数的极值、最值（讲+练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
高频考点二：求已知函数的极值（点）
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
高频考点四：求函数的最值（不含参）
高频考点五：求函数的最值（含参）
高频考点六：根据函数的最值求参数
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第03讲 导数与函数的极值、最值（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高二课前预习）函数在区间上连续，则在区间上一定有最值，但不一定有极值. ( )
【答案】正确
2．（2021·全国·高二课前预习）函数的最大值不一定是函数的极大值.( )
【答案】正确
3．（2021·全国·高二课前预习）函数的极大值一定大于极小值. ( )
【答案】错误
4．（2021·全国·高二课前预习）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( )
【答案】错误
二、单选题
1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.
故选：C
2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）函数y＝的最大值为（ ）
A．e－1B．eC．e2D．10
【答案】A
令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以
故选：A.
3．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右的导数值异号，
由图象可知，导函数与轴有5个交点，因为在0附近的左侧，右侧，所以0不是极值点．
其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，
故极值点的个数是4.
故选：A.
4．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）若函数在处取得极值，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
解：因为函数在处取得极值，，
所以，解得，
检验当时，函数在处取得极大值，
所以.
故选：A.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数取得极小值
B．函数在区间上是单调递增的
C．当时，函数取得极大值
D．函数在区间上是单调递增的
【答案】A
由图像可知，
时，，所以单调递减，故B错误；
时，，所以单调递增，
所以当时，函数取得极小值，故A正确；
当时，函数取得极大值，不是的极值，故C错误；
导函数在区间上存在使得，
所以函数在区间上是先减后增，故D错误；
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数的导函数为，函数的图像如图所示，则（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】D
当时，，∴，单调递减；
同理可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.
∴的极大值是，的极小值是.
故选：D.
3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数在上是增函数
B．
C．
D．是函数的极小值点
【答案】B
解：根据函数的导函数的图象，
可得或时，，当或时，，
所以函数在和上递减，在和上递增，
故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
是函数的极大值点，故D错误.
故选：B.
4．（2022·全国·高二）如图是函数的大致图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由图示可知：经过（0,0）、（1,0）、（2,0），
所以有：，即，解得：，
所以，.
由图示可知是的极值点，所以是的两根.
所以.
故选：C.
高频考点二：求已知函数的极值（点）
1．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）函数，有（ ）
A．极大值25，极小值B．极大值25，极小值
C．极大值25，无极小值D．极小值，无极大值
【答案】D
由，得，
令，则，解得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得极小值，无极大值，
极小值为，
故选：D
2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数在处取得极值，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；
故选：B
3．（2022·全国·高二）已知函数，则在定义域上（ ）
A．有极小值B．有极大值C．有最大值D．无最小值
【答案】A
解：因为定义域为，所以，令，即，解得，即在上单调递增，令，即，解得，即在上单调递减，所以时函数取得极小值即最小值，所以，故有极小值，最小值，无极大值与最大值；
故选：A
4．（2022·全国·高二）函数的极大值与极小值之和为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
根据题意，今，∴或1，当或时，，当时，，
所以极小值，极大值，所以极大值与极小值之和为.
故选：D．
5．（2022·全国·高二课时练习）若是函数的极值点，则函数（ ）
A．有极小值1B．有极大值1C．有极小值-1D．有极大值-1
【答案】A
因为x =1是函数的极值点，所以，，解得，
所以，，
所以时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，所以函数有极小值，
故选：A．
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
1．（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知在处取得极值，则的最小值为___________.
【答案】3
，因为在处取得极值，所以，即，所以.
所以，当且仅当时取等号.把，代入检验得，是的极值点，故的最小值为3.
故答案为：3.
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数不存在极值点，则的取值范围是______．
【答案】
∵，∴，
若，则恒成立，在上为增函数，满足条件；
若，则时，即时，恒成立，在上为增函数，满足条件；
综上可得，即．
故答案为：.
4．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知函数在处有极值2，则______.
【答案】6
解：，
因为函数在处有极值2，
所以，即，解得，
则，
故当时，，当时，，
所以函数在处有极大值，
所以，
所以.
故答案为：6.
5．（2022·全国·高二课时练习）函数在x＝1处有极值为10，则b的值为 __.
【答案】
，，
依题意可知，即，
解得或.
当时，，
在区间递减；在区间递增，
所以是的极小值，符合题意.
当时，，在上递增，没有极值.
所以.
故答案为：
6．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
由题意，函数，可得，
因为函数在区间上有两个极值点，
即在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
即函数和的图象有两个交点，
又由，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且当时，，当时，，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（文））若函数，函数有极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调增区间为，；单调减区间．
(1)
解：因为，所以，
由题意知，
解得，，
所求的解析式为；
(2)
解：由（1）可得，令，解得、，
令，解得或，函数的单调增区间为，；
令，解得，所以函数的单调减区间．
高频考点四：求函数的最值（不含参）
1．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由题意, 且
则 ,
当 时,单调递减;
当 或 时, 单调递增,
在上, 单调递增; 单调递减,
又因为，
所以，
所以，

在上最大值是,
故选： A.
2．（多选）（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）函数在上的最值情况为（ ）
A．最大值为12B．最大值为5
C．最小值为D．最小值为
【答案】AC
由题意得：，
令，则 或 ，
当时，>0.，当时，,
故 是函数的极大值点，
则函数的极大值也即在上的最大值为 ，故A正确，B错误；
而当 时， ，当 时， ，
故函数在上的最小值为，故C正确，D错误，
故选：AC
3．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)求在上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为-25
(1)
，，
又，
在处的切线方程为，即
(2)
，
令，得，令，得，
故在上单调递增，在上单调递减．
又，
，
故在上的最大值为2，最小值为-25.
4．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）已知关于x的函数，且函数f（x）在处有极值－．
(1)求实数b，c的值；
(2)求函数f（x）在[－1，2]上的最大值和最小值．
【答案】(1)，
(2)最大值为，最小值为
(1)
因为，所以．
因为函数f（x）在处有极值－．
所以，解得，或．
（i）当，时，，所以f（x）在R上单调递减，不存在极值．
（ii）当时，，
当时，，f（x）单调递增；
当时，，f（x）单调递减．
所以f（x）在处存在极大值，符合题意．
综上所述，，
(2)
由（1）知．，则，
令，得，．
当x变化时，，f（x）在[－1，2]的变化情况如下表：
所以f（x）在[－1，2]上的最大值为，最小值为．
5．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数．（为常数）
(1)当时，求函数的最值；
【答案】(1)函数的最小值为1，无最大值.
(1)
当时，，定义域为，，当时，，当时，，故在处取得极小值，也是最小值，，综上：函数的最小值为1，无最大值.
6．（2022·辽宁·朝阳市第二高级中学高二阶段练习）已知．
(1)若在处取得极值，求的最小值；
【答案】(1)
(1)
∵，∴，
∵在处取得极值，，∴，
∴，，
当时，；当时，；当时，.
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
又∵当时，，，
∴的最小值为.
7．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值；
【答案】(1)
(1)
当时，，
，
所以在区间递减；在区间递增.
，
所以在区间上的最大值为.
高频考点五：求函数的最值（含参）
1．（2022·广西·高二期末（文））已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值和最大值.
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减.
(2)答案见解析.
(1)
函数定义域为，，时，或，因为，所以，时，或，时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
(2)
因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，又因为，当时，，此时最小值为，最大值为；当时，，此时最小值为，最大值为.
2．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）设函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若函数有最大值并记为，求的最小值；
【答案】(1)
(2)取得最小值
(1)
，，，
所以函数在处的切线方程是；
(2)
，，
当时，，所以函数在单调递减，函数没有最大值，故舍去；
当时，，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
，得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，.
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)证明函数存在最小值，并求出函数的最大值.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析，
(1)
由题意知，
，，.
所以函数单调递增.
又，所以当时，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由题意知，，.
所以函数单调递增.
令，则.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以，即.
所以，即.
另一方面，，
所以存在，使得，①
即当时，，单调递减，当时，，单调递增.
所以函数存在最小值.
由①式，得.所以（当且仅当，即，时，等号成立）.
所以，即为所求.
4．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(1)
根据题意，函数，其导数．
①当时，，则在上为增函数；
②当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为．
(2)
由（1）可得，当或，．
①当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为；
②当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为；
③当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为．
综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为．
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数．
(1)若仅有一个零点，求a的取值范围；
(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(1)
①时，恒成立，在上单调递增，易知其有1个零点，满足题意
②时，时，时
故在和上单调递增，在上单调递减
，
由题意仅有1个零点，故，解得
综上，的取值范围是
(2)
由（1）可知
①时，在区间上单调递增，
②即时，在区间上单调递减，
③即时，在区间上单调递减，在上单调递增
，，
故
综上，
可得
高频考点六：根据函数的最值求参数
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数无最大值，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
令，则，
令，解得或；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
g(－1)＝2，g(1)＝－2，
据此，作出和y＝－2x的图像，
由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.
故选：D.
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知，函数的最小值为，则（ ）
A．1或2B．2C．1或3D．2或3
【答案】A
由（），得（，），
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，得，
解得或2.
故选：A
3．（2022·河南开封·高二阶段练习（理））已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是______．
【答案】
由题知，，，
因为在区间上单调递增，
若函数在区间有最小值，
则，即，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
4．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若在上的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)有极大值e，无极小值
(2)
(1)
若，，所以，
所以时，；时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以有极大值e，无极小值；
(2)
由于，
①当，即时，在上恒成立，故在上单调递增，在上的最大值为，故，满足；
②当，即时，在上恒成立，故在上单调递减，在上的最大值为，故，不满足，舍去；
③当，即时，由，得，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为，所以，不满足，舍去，
综上所述，．
5．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）已知函数
(1)讨论在定义域内的单调性；
(2)若，且在上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
(1)
由题意知：定义域为，；
当时，在上恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增；
若，则在上单调递增，，不合题意；
若，在上单调递减，在上单调递增，
，解得：；
若，则在上单调递减，，解得：，不合题意；
综上所述：.
6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知函数.
(1)若在上不单调，求a的取值范围；
(2)若的最小值为，求a的值.
【答案】(1)
(2)
(1)
.
若在上单调，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，即.
因为在上不单调，所以a的取值范围是.
(2)
.
①当时，，在上单调递增，此时无最值.
②当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值是，则.
令则，所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以方程只有一个根，所以
故a的值为.
7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
(1)
由题设，且定义域为，
当，即时，在上，即在上递增；
当，即时，在上，在上，所以在上递减，在上递增；
(2)
由（1）知：
若，即时，则在上递增，故，可得；
若，即时，则在上递减，在上递增，故，不合题设；
若，即时，则在上递减，故，得；
综上，a的取值范围.
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
1．（2022·全国·高二）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，
当时，单调递减；当或时，单调递增，
在、处取得极值.
，
，
∴函数在处取得最小值，
∵函数在上存在最小值，
∴，解得.
故选：A.
2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））函数有极小值，且极小值为0，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由，可得，
因为有极小值，记为，则，即，
又由，所以，
即，所以.
设，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，可得，
所以的最小值为.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，且在区间上存在最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D由题意函数在处取得极小值，则有
，则，解得，又因为在区间上存在最小值，，当或时，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故函数的极小值为，令，则或，因为区间上存在最小值，则有，则有，则.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
函数的导函数为，
令，得或，
故在上单调递增，在上单调递减，
则为极小值点，为极大值点.
由在区间上存在最小值，
可得，解得，
此时，
因此实数m的取值范围是，
故选：D.
5．（2022·河南焦作·二模（文））已知函数.
(1)求的极值；
(2)若函数在区间上没有极值，求实数k的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
解：由题意，函数，可得，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得的极小值为，无极大值.
(2)
解：由，可得，
因为在区间上没有极值，所以在上单调递增或单调递减，
当时，或恒成立，即或恒成立，
即或在恒成立，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
要使或恒成立，则或，
即实数的取值范围是.
6．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
(1)
由题：函数的定义域为R；.
1°时，在上单调递减；
2°时，在单调递减；在单调递增；
3°时，在单调递减；在单调递增.
(2)
由（1）可知，当时，的变化情况如下表：
所以，时，的极小值为.
又时，，
所以，当时，恒成立.
所以，为的最小值.
故是函数存在最小值的充分条件.
又当时，的变化情况如下表：
因为当时，，又，
所以，当时，函数也存在最小值所以，
故不是函数存在最小值的必要条件.
综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，
(1)讨论函数的极值情况；
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(1)
（1）
当时，，函数在上单调递增, 无极值；
当时，令，解得或, 令,解得
函数在上单调递增, 在上单调递减,
函数在处取得极大值 ，在处取得极小值
(2)
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增,
故
当时，函数在上单调递减，在上单调递增,
又 ,
当时，；
当时，；
当时，函数在上单调递减，.
综上，当时，函数在上的最大值为；当时，函数在上的最大值为.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
2．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
3．（2021·全国·高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
4．（2020·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
（1）
[方法一]【最优解】：
等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，所以c的取值范围是．
[方法二]：切线放缩
若，即，即当时恒成立，
而在点处的切线为，从而有，
当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数的定义域为：
，
设，则有 ，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范围为．
（2）且
因此，设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】
(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
第五部分：第03讲 导数与函数的极值、最值（精练）
一、单选题
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（理））已知函数在处有极小值，则实数m的值为（ ）
A．3B．－1或－3C．－1D．－3
【答案】D
由，可得
令，得，
由题知，或
当时，，当时，，时，，
∴在处有极大值，不满足题意；
当时，，当时，，时，
∴在处有极小值，所以.
故选：D.
2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
由图知：在内有3个异号零点，其中有1个零点的左侧到右侧是由负变正，
所以在开区间内有1个极小值点.
故选：A
3．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）函数的极值点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由已知，得的定义域为，且，
令，得（舍去）．
当时，；当时，，
∴当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点，
故选：A．
4．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，因为函数在上不存在极值点，
所以在上没有变号零点，
所以，
所以，
所以实数t的取值范围是．
故选：D．
5．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）函数在区间(0，e](其中e为自然对数的底数)上的最大值为（ ）
A．B．－1C．－eD．0
【答案】B
，，
当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值是.
故选：B
6．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：因为，所以，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，因为在上有最大值，
所以极大值点，
又，当时，即，解得或，
所以，
故选：D．
7．（2022·陕西商洛·一模（理））若对任意的，恒有，则a的取值范围为（ ）
A．（—∞，e]B．
C．（—∞，]D．[，+∞）
【答案】B
令，所以，
所以函数是偶函数，设，所以，
所以在（0，+∞）上单调递增，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立.
设，则，
所以函数在单调递增，在单调递减，
可知当时，有最大值，
所以.
所以或.
故选：B
8．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
因为直线分别与函数，交于，两点，
令，则，令，则，所以
，因为所以，所以，则.
则，令，
，
令，得或(舍去)，
所以在上单调递减，在上单调递增，
.
故选：A.
二、填空题
9．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）若函数在上的最大值为3，则___________.
【答案】
，
则，
由得；由得
则，在单调递增，在单调递减
则函数，
在时求得最大值
故，解之得
故答案为：
10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
【答案】20
∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
∴f(x)min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f（3）＝18－a，
∴f(0)＜f（3）．
∴f(x)max＝f（3）＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
故答案为：20.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为_______________________．
【答案】
设切点为，
因为，
所以，即，
又因为，
所以，所以.
令
所以当时，，则在区间上单调递增，
当时，，则在区间上单调递减﹐
所以
所以的最大值为1，此时.
故答案为：1
12．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）已知函数在x＝2处取得极小值，则______．
【答案】1或3##3或1
依题意，，因在x＝2处取得极小值，
则，解得m=1或m=3，经检验，当m＝1或m＝3时，在x＝2处均取得极小值，
所以m的值为1或3.
故答案为：1或3
三、解答题
13．（2022·北京工业大学附属中学高二阶段练习）设函数.
(1)若，求的极值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)有极小值，无极大值；
(2)讨论过程见解析.
(1)
当时，，
所以，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，该函数有极小值，无极大值.
(2)
由，
，
当时，当时，单调递增，当时，单调递减；
当时，，或，
当时，，函数在时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上所述：当时， 在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增
14．（2022·陕西·西安市庆安高级中学高二阶段练习（理））已知函数.
(1)若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；
(2)若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
(1)
，
，
所以在区间递增；
在区间递减.
所以的极大值为，极小值为.
(2)
依题意在上恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
15．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若在区间上的最大值为M，最小值为m，求证：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
(1)
因为，则，
当时，令，解得或，此时单调递增；
令，解得，此时单调递减；
当时，，故此时在上单调递增；
当时，令，解得或，此时单调递增；
令，解得，此时单调递减；
综上所述：当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，
在单调递增.
(2)
由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，
故；
又，，
则，即，
故；
则
令，
则，
令，可得，此时单调递增，
令，可得，此时单调递减，
又，
故当时，，即当时，，即证.
16．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
(1)
令，解得或，且
当时，，当时，，
当时，
即的单调增区间为，单调减区间为
(2)
由（1）知，当时，恒成立
所以在上为增函数，
即.
的最大值为
恒成立
即，
又
故的取值范围
x
－1
（－1，1）
1
（1，2）
2
＋
0
－
f（x）
单调递增
单调递减
x
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
2
5
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
增
极大值
减
极小值
增
a
0
减
极小值
增