高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲极值与最值(讲义)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲极值与最值(讲义)(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了函数的极值，函数的最值等内容，欢迎下载使用。


知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3B．4C．5D．6
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；
【解题方法总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8B．C．2D．
【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．
【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.
【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.
【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.
【解题方法总结】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；
【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【解题方法总结】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
题型五：根据最值求参数
【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．
【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【对点训练31】（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【对点训练32】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【解题方法总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
（2）会用导数求函数的极大值、极小值．
（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．
2022年乙卷第16题，5分
2022年I卷第10题，5分
2022年甲卷第6题，5分
2021年I卷第15题，5分
2021年乙卷第10题，5分
高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．
第03讲 极值与最值
目录
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，
若有3个单调区间，
不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，
则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），
故，不合题意，
若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；
若有4个单调区间，
例如的定义域为，则，
令，解得或，
则在上单调递增，在上单调递减，
故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，
综上所述：至少有4个单调区间.
故选：B.
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a因为，，且当时，；当c当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
【解析】（1）当时，，求导得，
设过点作曲线的切线的切点为，则，
于是切线方程为，即，因为切线过点，
即有，解得或，所以切点坐标为，.
（2）当，时，，
求导得，令，得或，
依题意，，都在集合中，且，，
当时，，且，则，，，
当时，，且，则，，不符合题意，
因此，，，，
当或时，，当时，，
于是函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值为.
【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
【解析】（1）证明：当，时，，可得的定义域为，
且，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有唯一的极小值，即有唯一的极值点为，
由，
令，设，可得，
由，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当，即时，有唯一的极大值，即取得最大值，
所以当的最大值时，.
（2）当时，的定义域为，且，
①当时，时恒成立，此时单调递增，
所以极值点的个数为个；
②当时，设，即
（i）当，即时，可得，即对恒成立，即在上无变号零点，所以此时极值点的个数为个；
（ii）当，即时，
设的两零点为，且，，，可得
即在上有个变号零点，所以此时极值点的个数为个；
综上所述，当时，的极值点的个数为；
当时，的极值点的个数为.
【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；
【解析】因为函数，所以，
设，，
所以在上单调递增.
又，所以当时，；当时，.
又因为对恒成立，
所以当时，；当时，.
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故，没有极小值.
【解题方法总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8B．C．2D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
故选：B
【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．
故选：A.
【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，
令，，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
又因为当时，则，
，
所以存在唯一，使得，
所以函数在时，时，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值，
所以的最大值为3，
故选:B.
【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数，
则，
要使函数在处取得极小值，则，
故选：B.
【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】的定义域是，，
令，
所以在区间递减；在区间递增.
要使有两个极值点，则，
此时，
构造函数，
所以在上递增，所以，
所以，
所以实数a的取值范围.
故选：D
【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
【解题方法总结】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【解析】（1）因为，
所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，
则，当时，，在上单调递增.
因为，，
所以，使得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以.
【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【答案】
【解析】由题意， ，，在上，
故函数单调递增，所以，，，
故的值是.
故答案为：
【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．
【答案】
【解析】因为，
所以
.
当时，，
所以在单调递增；
当时，，
所以在单调递减；
所以.
故答案为：.
【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.
【答案】/0.5
【解析】因为，
所以，
记，，
则，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
故当时，函数有最小值为，
故答案为：
【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.
【答案】1
【解析】因为，，所以，所以，且，
所以，
设，，
则，因为，所以，在上为增函数，
因为，所以，则，所以，
所以，
令，则，
令，则，则在上为增函数，
令得，即，
则存在唯一实数，使得，即，
所以当时，，，当时，，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由可得：,
所以，，
设，，
所以在上单调递增，所以，
则，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故的最小值为.
故答案为：.
【解题方法总结】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【解析】（1）因为，，
所以，，
所以，，
因为两条切线平行，所以，解得
（2）由（1）可知，令，即，
即，即，又，解得，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，函数的最小值为.
（3）证明：因为，，，
令，则，即，
所以当时解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
所以在处取得极小值即最小值，
所以，
即的最小值为的解析式为，，
则，令，解得，
所以当时，即在上单调递增，
当时，即在上单调递增，
所以在处取得极大值即最大值，即，
所以，即当时，总有.
【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；
【解析】函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增，无最值；
当时，令，得，所以在上单调递减；
令，得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【解析】（1）由题设，则，且，
所以，
当时，当时，
所以的减区间为，增区间为.
（2）由题意，
所以，即，
又，且，
当或时，或时，
所以、上递减，、上递增，
又极小值，故最小值为.
【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
【解析】（1）当时，，，且．
当时，，，则，
即，故函数在上单调递增．
（2），
令，则，
由且，可得，，则，在内单调递增，
所以，
又当时，，
所以，在内单调递增，
故．
【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【解析】（1）的定义域为，
，
记，易知单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以无最大值，即不符题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即．
（2）由（1）可知，且，所以，
，令，
则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，又，
所以存在，使得，
可知，
因为，所以，所以，
由（1）可知，，即，
因为，所以，
所以．
设，易知单调递增，且，
所以，
所以，
即的最小值为．
【解题方法总结】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
题型五：根据最值求参数
【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【解析】（1）函数的定义域是，求导得，
令，求导得，递减，
递增，，
①当时，，递减，递增，有1个极小值点；
②当时，，
令，则，函数在上递增，，即，
当时，，此时，使得，
令，有，令，，
即有在上递增，，函数在上递增，，则，
当时，，此时，使得，
因此递减，递增，
递减，递增，有3个极值点，
所以当时，恰有一个极值点；当时，恰有三个极值点.
（2）由（1）知，①当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，令，
，函数在上单调递增，，则；
②当时，，使得，，使得，
递减，递增，
递减，递增，
其中，则，
显然符合要求，即有，
综上提，
所以m的所有可能值是上的实数.
【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【解析】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】，
所以在和上，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增；
且
当时，，
即，
所以在区间上有最小值，则：
解得.
故答案为：
【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．
【答案】
【解析】函数定义域为，，显然，
当时，，当时，函数在上单调递减，，因此，
当时，函数在上单调递减，其取值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，
而，于是，不符合题意，
当时，，令，，当时，，
即在上单调递增，，，即有，
当时，，即，当且仅当时取等号，因此，
当时，，显然当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，
综上得，，
所以则a的取值范围为.
故答案为：
【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．
【答案】
【解析】当时，，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以解得，与矛盾；
当时，，
(i)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，与矛盾；
(ii)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，满足题意；
综上，，
故答案为:.
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】因为，
且函数在区间上存在最大值，
故只需满足，
所以，
解得．
故答案为：
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【解析】（1）当时，,,
,,
曲线在点处的切线方程,
切线方程.
（2）当时，，
则
令，得；
令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（3）
令，因为，
所以方程，有两个不相等的实根，
又因为，
所以，
令，列表如下:
所以存在极值点.
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，
记，
所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，的最小值为．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因为在上单调递增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得，当时，，
则，
令，得，，
，在内随x变化而变化的情况如下表所示：
故在内的极大值为9，无极小值；
（2），
①当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，解得，与矛盾，
②当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递减，
所以在上，，符合题意，
③当时，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，即，即，
即，解得或，与矛盾，
综上，实数a的取值范围为．
【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【解析】（1）由得．
令，解得，，即，．
又，所以，．
，随x变化而变化的情况如下表所示：
所以函数在内的极大值点为，极小值点为．
（2）由题知．，
记，
则．
因为，所以，又，
所以，所以函数单调递增，，
所以当时，，即，函数单调递减；
当时，，即，函数单调递增．
，
，
，
显然，所以函数在上的最小值为，最大值为．
【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
【解析】（1）由已知可得，.
因为是函数的极值点，
所以当时，，即，所以.
此时有，.
令，，
则在上恒成立，
所以，即在上单调递减.
又当时，，
所以时，，所以函数在上单调递增；
时，，所以函数在上单调递减.
所以，当时，函数取得极小值，所以，
所以．
则，
所以，．
因为，所以.
设，
要使在内单调递减，则应有在内恒成立，
只需在内恒成立，只需在上的最小值即可．
当时，满足条件；
当时，，
此时，函数在处有最小值，
所以，解得，所以；
当时，，
此时，要使在上恒成立，
所以只需，解得，所以.
综上可知，实数m的取值范围为．
（2）由已知可得，，
则.
因为，所以，.
当时，有.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
故的极大值为.
又，
由零点存在性定理知，可知在内存在一个零点.
又，
故函数有2个零点．
（3）由题可得（且），
则.
设，则，
令，解得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在内单调递增.
所以，故恒成立.
又因为当且时，，
所以恒成立，所以在上单调递减，
故在内的最大值为，最小值为．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【答案】
【解析】当，且时，由，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，得，
等价于，而，
当且仅当时等号成立.
所以，则，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案为：
【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】令 ，则
，
令，，则 ,
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，
令，，，则，
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案为：.
【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【答案】
【解析】存在，要使成立，即，，
令，，即，
又，设，，
则，则在内单调递增，
，则，在内单调递增，
，故m的取值范围为．
故答案为：.
【对点训练31】（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】原题等价于，.
令，，则.
当时，.
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以，函数在处取得唯一极大值，也是最大值.
又，所以.
令，，则.
当时，.
因为，
所以，当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增.
所以，函数在处取得唯一极小值，也是最小值.
所以，当时，有.
要使时，有恒成立，则应有.
故答案为：.
【对点训练32】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）是上的奇函数，
，即，得恒成立，
可得，即，
又当时，取得极值，，
解得，故函数，导函数，
令解得，当或时，，
当时，，
单调增区间为和，单调减区间为，
故当时，取到极大值
（2），对任意，都有成立，只需在时恒成立，
构造函数，，则有，
令可得或，当时，，单调递减
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取到极大值，又，故的最大值为8，
故实数的取值范围为：；
（3）若对任意，，都有成立，
即在区间上的最大值都小于或等于的最小值，
由（1）可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，函数取到极小值，也是该区间的最小值，
而为开口向上的抛物线，对称轴为，故当时取最大值，
由，解得
故实数的取值范围为：
【解题方法总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，
为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
考点要求
考题统计
考情分析
（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
（2）会用导数求函数的极大值、极小值．
（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．
2022年乙卷第16题，5分
2022年I卷第10题，5分
2022年甲卷第6题，5分
2021年I卷第15题，5分
2021年乙卷第10题，5分
高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．

-
0
+
减
极小值
增
x
1
+
0
单调递增
极大值9
单调递减
x
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑