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新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)第2讲函数与导数(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)第2讲函数与导数(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了曲线在点处的切线方程为，已知是偶函数，则，若为偶函数，则，，则等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
2．（2023•乙卷）已知是偶函数，则
A．B．C．1D．2
3．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
4．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
6．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
8．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
9．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A．B．C．D．
10．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间，的大致图像，则该函数是
A．B．
C．D．
11．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
二．多选题
12．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则
A．B．C．D．
13．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
14．（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
15．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
三．填空题
16．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
17．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
18．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
19．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
20．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
21．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
22．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ．
23．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
24．（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ．
25．（2022•浙江）已知函数则 ．
26．（2022•乙卷）若是奇函数，则 ．
27．（2022•北京）设函数若存在最小值，则的一个取值为 0 ．
四．解答题
28．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
29．（2023•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
30．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
31．（2022•天津）已知，，函数，．
（1）求函数在，处的切线方程；
（2）若和有公共点．
（ⅰ）当时，求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
32．（2022•上海）．
（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．
（2）若且，求解不等式．
33．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
34．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求；
（2）求的取值范围．
35．（2022•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
36．（2022•甲卷）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
37．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求的取值范围．
38．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
39．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
40．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
第2讲 函数与导数
一．选择题
1．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为，
，
故函数在点处的切线斜率，
切线方程为，即．
故选：．
2．（2023•乙卷）已知是偶函数，则
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
3．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】由给定区间可知，．
区间，与区间，相邻，且区间长度相同．
取，则，，区间，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能．
结合选项可得，不可能的是，．
故选：．
4．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由图象可知，图象关于轴对称，为偶函数，故错误，
当时，恒大于0，与图象符合，故错误．
故选：．
5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
6．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】：若，则，
令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；
：若，则，
令，，则，，
故是一条对称轴，符合题意；
，则，不符合题意；
，则，不符合题意．
故选：．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
8．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
【答案】
【解析】由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
9．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】的图像关于直线对称，则，
，，，故为偶函数，
（2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称，
（1），由，，得，
，故，周期为4，
由（2），得（2），又（3）（1），
所以（1）（2）（3）（4），
故选：．
10．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间，的大致图像，则该函数是
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在存在零点，
而对于选项：令，即，解得，或或，故排除选项；
选项：当时，，，因为，，
故，且当时，，故，
而观察图像可知当时，，故选项错误．
选项，中，当时，，故排除选项．
故选：．
11．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】令，则，即，
，，
，则，
的周期为6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故选：．
二．多选题
12．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由题意得，，，
，，
，，
可得，正确；
，错误；
，正确；
，，正确．
故选：．
13．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
14．（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
15．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
【答案】
【解析】为偶函数，可得，关于对称，
令，可得，即（4），故正确；
为偶函数，，关于对称，故不正确；
关于对称，是函数的一个极值点，
函数在，处的导数为0，即，
又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，
是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，
由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，
进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，
，关于的对称点为，，，故正确；
图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．
解法二：构造函数法，
令，则，则，
，
满足题设条件，可得只有选项正确，
故选：．
三．填空题
16．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
若为偶函数，则，
变形可得在上恒成立，必有．
故答案为：2．
17．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
其定义域为，
若为偶函数，则，
变形可得，必有．
故答案为：2．
18．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】，．
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
19．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】，，，．
【解析】①当时，，不满足题意；
②当方程满足且△时，
有即，，，
此时，
，当时，不满足，
当时，△，满足；
③△时，，，，
记的两根为，，不妨设，
则，
当时，，且，，，
但此时，舍去，
，，且，
但此时，舍去，
故仅有1与两个解，
于是，，，，．
故答案为：，，，．
20．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】的取值范围是，．
【解析】函数在上单调递增，
在上恒成立，
即，化简可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化简可得，
即，，
解答，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
21．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【答案】，，．
【解析】，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
22．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ．
【答案】，．
【解析】当时，，设切点坐标为，，
，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
，
切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，
切线方程也关于轴对称，
切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．
23．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：，
当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，
则在单调递减，，单调递增，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；
当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，
则在单调递增，，单调递减，且，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，
故仅需满足，
即：，
解得：，又因为，故
综上所述：的取值范围是．
24．（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】，．
【解析】设，，由可得．
要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，
则△，
解得或．
①当时，，作出函数、的图象如图所示：
此时函数只有两个零点，不满足题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如图所示：
由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
可得，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
25．（2022•浙江）已知函数则 ．
【答案】；．
【解析】函数，，
；
作出函数的图象如图：
由图可知，若当，时，，则的最大值是．
故答案为：；．
26．（2022•乙卷）若是奇函数，则 ．
【答案】；．
【解析】，
若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得，且，
且，
函数为奇函数，定义域必须关于原点对称，
，解得，
，定义域为且，
由得，，
，
故答案为：；．
27．（2022•北京）设函数若存在最小值，则的一个取值为 0 ．
【答案】0，1．
【解析】当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，满足题意；
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；
当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；
综上所述：的取值范围是，，
故答案为：0，1．
四．解答题
28．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
【分析】
（1）分别构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可证明；
（2）分类讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而得原函数的单调性，从而可得极值点，即可得解．
【详解】
（1）证明：设，，
则，，
在上单调递减，
，
在上单调递减，
，
即，，
，，
设，，
则，
在上单调递增，
，，
即，，
，，
综合可得：当时，；
（2），，
且，，
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若，即或时，
存在，使得，时，，
在，上单调递减，又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；
③若，即时，为偶函数，
只考虑的情况，
此时，时，
，
在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：的取值范围为，，．
29．（2023•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
【解析】（1）时，（1），
，（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为．
（2），定义域为，，，
要使函数的图像关于对称，则由，且，可知，
即的图像关于对称，
则（1），，
得，解得．
综上，，；
（3），
要使在存在极值点，则方程有正根，
记，，，
①当时，，故在上单调递增，，不符合题意；
②当时，，故在上单调递减，，不符合题意；
③当时，令，，令，，
故在上单调递增，，不符合题意；
易知时，，
故只需，
记，，，
故在上单调递增，
（2），
故取，，有，即，符合题意；
综上所述，时，在存在极值点．
30．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【分析】
（1）先求出导函数，再对分和两种情况讨论，判断的符号，进而得到的单调性；
（2）由（1）可知，当时，，要证，只需证，只需证，设（a），，求导可得，从而证得．
【详解】
（1），
则，
①当时，恒成立，在上单调递减，
②当时，令得，，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设（a），，
则（a），
令（a）得，，
当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，
所以，
即，
所以得证，
即得证．
31．（2022•天津）已知，，函数，．
（1）求函数在，处的切线方程；
（2）若和有公共点．
（ⅰ）当时，求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【解析】（1），，
，，
函数在处的切线方程为；
（2）（ⅰ），，又和有公共点，
方程有解，
即有解，显然，
在上有解，
设，，
，
当时，；当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，且当时，；当时，，
，，
的范围为，；
（ⅱ）证明：令交点的横坐标为，则，
由柯西不等式可得
，
又易证时，，，，
，
故．
32．（2022•上海）．
（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．
（2）若且，求解不等式．
【解析】（1）因为函数，
将函数图像向下移后，得的图像，
由函数图像经过点和，
所以，
解得，．
（2）且时，不等式可化为，
等价于，
解得，
当时，，，解不等式得，
当时，，，解不等式得；
综上知，时，不等式的解集是，，
时，不等式的解集是，．
33．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ）函数，
，，
由，得，在，上单调递增；
由，得，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：过有三条不同的切线，
设切点分别为，，，，，，
，，2，，方程有3个不同的根，
该方程整理为，
设，
则，
当或时，；当时，，
在，上为减函数，在上为增函数，
有3个不同的零点，（e）且（a），
，且，
整理得到且，
此时，，且，
此时，，
整理得，且，
此时，（a），
设（a）为上的减函数，（a），
．
当时，同讨论，得：
在，上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
有3个不同的零点，（a），且（e），
，且，
整理得，
，，
，
设，则方程即为：
，即为，
记，
则，，为有三个不同的根，
设，，
要证：，
即证，
即证：，
而，且，
，
，
即证，
即证，
即证，
记，则，
在为增函数，，
，
设，，
则，
在上是增函数，（1），
，
即，
若，，则．
34．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，，则，解得，则（1），解得；
（2），则在点，处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，，的变化情况如下表：
则的值域为，，故的取值范围为，．
35．（2022•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，
将代入原函数可得，将代入导函数可得：，
故在处切线斜率为1，故，化简得：；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，
，
令，令，
设，恒成立，
故在，单调递增，又因为，
故在，恒成立，故，
故在，单调递增；
解法二：由（Ⅰ）有：，
，
设，，则，
由指数函数的性质得上上是增函数，且，
，当时，，单调递增，
且当时，，
在，单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，
故在，恒成立，故在，单调递增，
设，，
由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，
故单调递增，又因为，故，
即：，又因为函数，
故，得证．
36．（2022•甲卷）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
【解析】（1）的定义域为，，
令，解得，故函数在单调递减，单调递增，
故（1），要使得恒成立，仅需，
故，故的取值范围是，；
（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，
不妨设，要证明，即证明，
，，
即证明：，又因为在单调递增，
即证明：，
构造函数，，
，
构造函数，
，因为，所以，
故在恒成立，故在单调递增，
故（1）
又因为，故在恒成立，故在单调递增，
又因为（1），故（1），
故，即．得证．
37．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，同时也是最大值，
函数的最大值为（1）；
（2），
①当时，由（1）可知，函数无零点；
②当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又（1），故此时函数无零点；
③当时，易知函数在上单调递增，在单调递减，
且（1），，
又由（1）可得，，即，则，，则，
当时，，
故存在，使得，
此时在上存在唯一零点；
④当时，，函数在上单调递增，
又（1），故此时函数有唯一零点；
⑤当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，
且（1），
又由（1）可得，当时，，则，则，
此时，
故存在，使得，
故函数在上存在唯一零点；
综上，实数的取值范围为．
38．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）定义域为，
，
，
若，
则，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，
，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在，上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又（1），
（a）（1），仅有此一解，
．
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为（1），
所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，，即，
因为，所以，即，
令得，解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
39．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】（1）当时，，
，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（2）令，
，，
在上恒成立，
又，
令，则，
，
①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．
因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；
②当，即，
，
若，则，
所以在，上单调递减，，符合题意．
若，则，
所以在上单调递减，，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
另的导数为，
①当时，，
所以在递增，所以，与题意矛盾；
②当时，，
所以在递减，所以，满足题意；．
③当时，．
设，，则在递减，所以，
，所以在递减，所以，满足题意；
④当时，，
令，则，，
可得递减，，
所以存在，使得．当时，，
在递增，此时，
所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．
综上可得，的取值范围是，．
（3）由（2）可知，当时，，
令得，，
整理得，，
，
，，
即．
另运用数学归纳法证明．
当时，左边成立．
假设当时，不等式成立，即．
当时，要证，
只要证，
即证．
可令，则，，则需证明，
再令，则需证明．
构造函数，，
，
可得在，上递减，
则（1），所以原不等式成立，
即时，成立．
综上可得，成立．
40．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
，
又，
所求切线方程为；
（2），
若，当时，，单调递增，则，不合题意；
设，，
当时，在上，，，单调递增，无零点，不合题意；
当时，当时，，则在上单调递增，，（1），
所以存在唯一的，使得，且在上单调递减，在，上单调递增，，
先证当时，，
设，则，
易知当时，，单减，当时，，单增，
所以，则当时，，
所以，
再证，
设，则，
易知当时，，单减，当时，，单增，
所以（1），即，
则由，可得，
则当时，，
此时在上恰有一个零点，
当时，在上单调递增，，
故存在唯一的，使得，且在上单调递减，在，上单调递增，
，
故存在唯一的，使得，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
时，，，此时在上恰有一个零点，
综上，实数的取值范围为．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
0
1
0
0
0
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
1．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
2．（2023•乙卷）已知是偶函数，则
A．B．C．1D．2
3．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
4．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
6．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
8．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
9．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A．B．C．D．
10．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间，的大致图像，则该函数是
A．B．
C．D．
11．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
二．多选题
12．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则
A．B．C．D．
13．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
14．（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
15．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
三．填空题
16．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
17．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
18．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
19．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
20．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
21．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
22．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ．
23．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
24．（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ．
25．（2022•浙江）已知函数则 ．
26．（2022•乙卷）若是奇函数，则 ．
27．（2022•北京）设函数若存在最小值，则的一个取值为 0 ．
四．解答题
28．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
29．（2023•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
30．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
31．（2022•天津）已知，，函数，．
（1）求函数在，处的切线方程；
（2）若和有公共点．
（ⅰ）当时，求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
32．（2022•上海）．
（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．
（2）若且，求解不等式．
33．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
34．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求；
（2）求的取值范围．
35．（2022•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
36．（2022•甲卷）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
37．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求的取值范围．
38．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
39．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
40．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
第2讲 函数与导数
一．选择题
1．（2023•甲卷）曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为，
，
故函数在点处的切线斜率，
切线方程为，即．
故选：．
2．（2023•乙卷）已知是偶函数，则
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
3．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】由给定区间可知，．
区间，与区间，相邻，且区间长度相同．
取，则，，区间，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能．
结合选项可得，不可能的是，．
故选：．
4．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由图象可知，图象关于轴对称，为偶函数，故错误，
当时，恒大于0，与图象符合，故错误．
故选：．
5．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
6．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】：若，则，
令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；
：若，则，
令，，则，，
故是一条对称轴，符合题意；
，则，不符合题意；
，则，不符合题意．
故选：．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
8．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
【答案】
【解析】由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
9．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】的图像关于直线对称，则，
，，，故为偶函数，
（2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称，
（1），由，，得，
，故，周期为4，
由（2），得（2），又（3）（1），
所以（1）（2）（3）（4），
故选：．
10．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间，的大致图像，则该函数是
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在存在零点，
而对于选项：令，即，解得，或或，故排除选项；
选项：当时，，，因为，，
故，且当时，，故，
而观察图像可知当时，，故选项错误．
选项，中，当时，，故排除选项．
故选：．
11．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】令，则，即，
，，
，则，
的周期为6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故选：．
二．多选题
12．（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由题意得，，，
，，
，，
可得，正确；
，错误；
，正确；
，，正确．
故选：．
13．（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
14．（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
15．（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
【答案】
【解析】为偶函数，可得，关于对称，
令，可得，即（4），故正确；
为偶函数，，关于对称，故不正确；
关于对称，是函数的一个极值点，
函数在，处的导数为0，即，
又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，
是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，
由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，
进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，
，关于的对称点为，，，故正确；
图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．
解法二：构造函数法，
令，则，则，
，
满足题设条件，可得只有选项正确，
故选：．
三．填空题
16．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
若为偶函数，则，
变形可得在上恒成立，必有．
故答案为：2．
17．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
其定义域为，
若为偶函数，则，
变形可得，必有．
故答案为：2．
18．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】，．
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
19．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】，，，．
【解析】①当时，，不满足题意；
②当方程满足且△时，
有即，，，
此时，
，当时，不满足，
当时，△，满足；
③△时，，，，
记的两根为，，不妨设，
则，
当时，，且，，，
但此时，舍去，
，，且，
但此时，舍去，
故仅有1与两个解，
于是，，，，．
故答案为：，，，．
20．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】的取值范围是，．
【解析】函数在上单调递增，
在上恒成立，
即，化简可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化简可得，
即，，
解答，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
21．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【答案】，，．
【解析】，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
22．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ．
【答案】，．
【解析】当时，，设切点坐标为，，
，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
，
切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，
切线方程也关于轴对称，
切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．
23．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：，
当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，
则在单调递减，，单调递增，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；
当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，
则在单调递增，，单调递减，且，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，
故仅需满足，
即：，
解得：，又因为，故
综上所述：的取值范围是．
24．（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】，．
【解析】设，，由可得．
要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，
则△，
解得或．
①当时，，作出函数、的图象如图所示：
此时函数只有两个零点，不满足题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如图所示：
由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
可得，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
25．（2022•浙江）已知函数则 ．
【答案】；．
【解析】函数，，
；
作出函数的图象如图：
由图可知，若当，时，，则的最大值是．
故答案为：；．
26．（2022•乙卷）若是奇函数，则 ．
【答案】；．
【解析】，
若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得，且，
且，
函数为奇函数，定义域必须关于原点对称，
，解得，
，定义域为且，
由得，，
，
故答案为：；．
27．（2022•北京）设函数若存在最小值，则的一个取值为 0 ．
【答案】0，1．
【解析】当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，满足题意；
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；
当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；
综上所述：的取值范围是，，
故答案为：0，1．
四．解答题
28．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
【分析】
（1）分别构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可证明；
（2）分类讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而得原函数的单调性，从而可得极值点，即可得解．
【详解】
（1）证明：设，，
则，，
在上单调递减，
，
在上单调递减，
，
即，，
，，
设，，
则，
在上单调递增，
，，
即，，
，，
综合可得：当时，；
（2），，
且，，
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若，即或时，
存在，使得，时，，
在，上单调递减，又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；
③若，即时，为偶函数，
只考虑的情况，
此时，时，
，
在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：的取值范围为，，．
29．（2023•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
【解析】（1）时，（1），
，（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为．
（2），定义域为，，，
要使函数的图像关于对称，则由，且，可知，
即的图像关于对称，
则（1），，
得，解得．
综上，，；
（3），
要使在存在极值点，则方程有正根，
记，，，
①当时，，故在上单调递增，，不符合题意；
②当时，，故在上单调递减，，不符合题意；
③当时，令，，令，，
故在上单调递增，，不符合题意；
易知时，，
故只需，
记，，，
故在上单调递增，
（2），
故取，，有，即，符合题意；
综上所述，时，在存在极值点．
30．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【分析】
（1）先求出导函数，再对分和两种情况讨论，判断的符号，进而得到的单调性；
（2）由（1）可知，当时，，要证，只需证，只需证，设（a），，求导可得，从而证得．
【详解】
（1），
则，
①当时，恒成立，在上单调递减，
②当时，令得，，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设（a），，
则（a），
令（a）得，，
当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，
所以，
即，
所以得证，
即得证．
31．（2022•天津）已知，，函数，．
（1）求函数在，处的切线方程；
（2）若和有公共点．
（ⅰ）当时，求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【解析】（1），，
，，
函数在处的切线方程为；
（2）（ⅰ），，又和有公共点，
方程有解，
即有解，显然，
在上有解，
设，，
，
当时，；当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，且当时，；当时，，
，，
的范围为，；
（ⅱ）证明：令交点的横坐标为，则，
由柯西不等式可得
，
又易证时，，，，
，
故．
32．（2022•上海）．
（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．
（2）若且，求解不等式．
【解析】（1）因为函数，
将函数图像向下移后，得的图像，
由函数图像经过点和，
所以，
解得，．
（2）且时，不等式可化为，
等价于，
解得，
当时，，，解不等式得，
当时，，，解不等式得；
综上知，时，不等式的解集是，，
时，不等式的解集是，．
33．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ）函数，
，，
由，得，在，上单调递增；
由，得，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：过有三条不同的切线，
设切点分别为，，，，，，
，，2，，方程有3个不同的根，
该方程整理为，
设，
则，
当或时，；当时，，
在，上为减函数，在上为增函数，
有3个不同的零点，（e）且（a），
，且，
整理得到且，
此时，，且，
此时，，
整理得，且，
此时，（a），
设（a）为上的减函数，（a），
．
当时，同讨论，得：
在，上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
有3个不同的零点，（a），且（e），
，且，
整理得，
，，
，
设，则方程即为：
，即为，
记，
则，，为有三个不同的根，
设，，
要证：，
即证，
即证：，
而，且，
，
，
即证，
即证，
即证，
记，则，
在为增函数，，
，
设，，
则，
在上是增函数，（1），
，
即，
若，，则．
34．（2022•甲卷）已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，，则，解得，则（1），解得；
（2），则在点，处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，，的变化情况如下表：
则的值域为，，故的取值范围为，．
35．（2022•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，
将代入原函数可得，将代入导函数可得：，
故在处切线斜率为1，故，化简得：；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，
，
令，令，
设，恒成立，
故在，单调递增，又因为，
故在，恒成立，故，
故在，单调递增；
解法二：由（Ⅰ）有：，
，
设，，则，
由指数函数的性质得上上是增函数，且，
，当时，，单调递增，
且当时，，
在，单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，
故在，恒成立，故在，单调递增，
设，，
由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，
故单调递增，又因为，故，
即：，又因为函数，
故，得证．
36．（2022•甲卷）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
【解析】（1）的定义域为，，
令，解得，故函数在单调递减，单调递增，
故（1），要使得恒成立，仅需，
故，故的取值范围是，；
（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，
不妨设，要证明，即证明，
，，
即证明：，又因为在单调递增，
即证明：，
构造函数，，
，
构造函数，
，因为，所以，
故在恒成立，故在单调递增，
故（1）
又因为，故在恒成立，故在单调递增，
又因为（1），故（1），
故，即．得证．
37．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，同时也是最大值，
函数的最大值为（1）；
（2），
①当时，由（1）可知，函数无零点；
②当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又（1），故此时函数无零点；
③当时，易知函数在上单调递增，在单调递减，
且（1），，
又由（1）可得，，即，则，，则，
当时，，
故存在，使得，
此时在上存在唯一零点；
④当时，，函数在上单调递增，
又（1），故此时函数有唯一零点；
⑤当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，
且（1），
又由（1）可得，当时，，则，则，
此时，
故存在，使得，
故函数在上存在唯一零点；
综上，实数的取值范围为．
38．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）定义域为，
，
，
若，
则，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，
，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在，上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又（1），
（a）（1），仅有此一解，
．
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为（1），
所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，，即，
因为，所以，即，
令得，解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
39．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】（1）当时，，
，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（2）令，
，，
在上恒成立，
又，
令，则，
，
①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．
因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；
②当，即，
，
若，则，
所以在，上单调递减，，符合题意．
若，则，
所以在上单调递减，，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
另的导数为，
①当时，，
所以在递增，所以，与题意矛盾；
②当时，，
所以在递减，所以，满足题意；．
③当时，．
设，，则在递减，所以，
，所以在递减，所以，满足题意；
④当时，，
令，则，，
可得递减，，
所以存在，使得．当时，，
在递增，此时，
所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．
综上可得，的取值范围是，．
（3）由（2）可知，当时，，
令得，，
整理得，，
，
，，
即．
另运用数学归纳法证明．
当时，左边成立．
假设当时，不等式成立，即．
当时，要证，
只要证，
即证．
可令，则，，则需证明，
再令，则需证明．
构造函数，，
，
可得在，上递减，
则（1），所以原不等式成立，
即时，成立．
综上可得，成立．
40．（2022•乙卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
，
又，
所求切线方程为；
（2），
若，当时，，单调递增，则，不合题意；
设，，
当时，在上，，，单调递增，无零点，不合题意；
当时，当时，，则在上单调递增，，（1），
所以存在唯一的，使得，且在上单调递减，在，上单调递增，，
先证当时，，
设，则，
易知当时，，单减，当时，，单增，
所以，则当时，，
所以，
再证，
设，则，
易知当时，，单减，当时，，单增，
所以（1），即，
则由，可得，
则当时，，
此时在上恰有一个零点，
当时，在上单调递增，，
故存在唯一的，使得，且在上单调递减，在，上单调递增，
，
故存在唯一的，使得，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
时，，，此时在上恰有一个零点，
综上，实数的取值范围为．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
0
1
0
0
0
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
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