新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展02函数的综合应用(原卷版+解析)

这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展02函数的综合应用(原卷版+解析)，共62页。

命题方向一：函数与数列的综合
命题方向二：函数与不等式的综合
命题方向三：函数中的创新题
命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
命题方向五：倍值函数
命题方向六：函数不动点问题
命题方向七：函数的旋转问题
命题方向八：函数的伸缩变换问题
命题方向九：V型函数和平底函数
【典例例题】
命题方向一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，其中，记表示数列的前n项乘积，则（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（ ）
A．数列单调B．
C．数列是等比数列D．
变式2．（2023·北京·高三强基计划）已知实数．数列满足对任意的，有现知，则可能的的个数为（ ）
A．2021个B．个C．个D．以上答案都不对
命题方向二：函数与不等式的综合
例4．（多选题）（2023·山东潍坊·三模）已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
例5．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，实数，满足不等式，则（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
命题方向三：函数中的创新题
例7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（ ）
A．B．
C．D．
例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： ，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数
变式6．（多选题）（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数不是圆O的“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”
变式7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（多选题）（2023·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．在内单调递增
B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为
C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
变式9．（多选题）（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考阶段练习）意大利著名画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为（其中为自然对数的底数，下同），相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．随的增大而减小D．的面积随的增大而减小
命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江·高一期中）已知函数在区间[1，4]上的最大值为，当取到最小值时则______.
例11．（2023·上海·高一专题练习）对于实数a，，函数在区间上的最大值记为，的最小值为______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的最大值为，则的最小值为_________.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当，的最大值为，则的最小值为______
变式11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________．
变式13．（2023·山东·高三校联考竞赛）设函数f(x)=x2+ax+b，对于任意的a，b∈R，总存在t∈[0，4]，使得成立，则实数m的最大值是______ .
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.
命题方向五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．
①； ②；
③； ④．
例14．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学实验学校校考期中）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有_______
① ② ③
例15．（2023·宁夏·统考模拟预测）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.
①；
②；
③；
④
变式15．（2023·山东临沂·高三阶段练习）函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：
(1) 在[a，b]内是单调函数；
(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“和谐区间”．
下列函数中存在“和谐区间”的是___________ (只需填符合题意的函数序号).
①；②；③；④.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为___________.
变式17．（2023·内蒙古赤峰·高一统考期末）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：在内是单调函数；在上的值域为，则称区间为的“等值区间”下列函数中存在“等值区间”的有______．
命题方向六：函数不动点问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在“次不动点”，若函数在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是（ ）
A．[,+∞)B．C．(-∞,0)D．(0, )
例17．（2023·全国·高三专题练习）若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式19．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考二模）设函数，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
命题方向七：函数的旋转问题
例19．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）函数的图象绕着原点旋转弧度，若得到的图象仍是函数图象，则可取值的集合为_________.
例20．（2023·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）函数的图象绕着坐标原点旋转弧度，若仍是函数图象，则可取值的集合为________
例21．（2023·全国·高三校联考阶段练习）将函数的图象绕点逆时针旋转后与轴相切，则_______.
变式20．（2023·高一课时练习）已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角（）后得到的函数 存在反函数，则的取值集合是_________
变式21．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
（1）该函数的最小值为______；
（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是______．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数．
若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则______填是或否可能为1．
若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则可能取值只能是______．

命题方向八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·天津北辰·高一天津市第四十七中学校考期中）定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是________.
例23．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是_________.
①任取，都有；
②函数在区间上单调递增；
③对一切恒成立；
④函数有3个零点；
⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则.
例24．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是___________.
（1）任取，都有；
（2）函数在上严格递减；
（3）（），对一切恒成立；
（4）函数有3个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
变式23．（2023·北京·高三北京二中校考开学考试）对于函数，下列4个结论正确的是______.
①任取，都有；
②，对一切恒成立；
③若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则；
④函数有5个零点
变式24．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列五个结论中正确的是________.
（1）任取，都有；
（2），其中；
（3）对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程（），有且只有两个不同的实根、，则.
变式25．（2023·北京东城·高一统考期末）已知函数．
______．
若方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．
变式26．（2023·北京东城·北京市第五中学校考模拟预测）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.
变式27．（2023·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
变式28．（2023·高一单元测试）已知函数定义域为，对于任意的都有，当时，，则_______；若当时，恒成立，则的取值范围是_______.
命题方向九：V型函数和平底函数
例25．（上海市金山区2023届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题）若，，且，则满足条件的所有整数的和是___________.
例26．（上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________
例27．（上海市上海中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数的最大值为_________；
变式29．（浙江省温州市苍南县树人中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）等差数列满足：，则其公差的取值范围为______.
变式30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版））已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
变式31．（上海市控江中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是_________.
能力拓展02 函数的综合应用
【命题方向目录】
命题方向一：函数与数列的综合
命题方向二：函数与不等式的综合
命题方向三：函数中的创新题
命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
命题方向五：倍值函数
命题方向六：函数不动点问题
命题方向七：函数的旋转问题
命题方向八：函数的伸缩变换问题
命题方向九：V型函数和平底函数
【典例例题】
命题方向一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以，又，所以数列是递减数列，
因此有，故符合题意；
对于B，，可得，
因为，所以，以此类推得，所以，故符合题意；
对于C，，则，时，，
函数在单调递增，所以，
又，，，所以，所以有，故符合题意；
对于D，因为，所以，所以时，，
函数在上的递增函数，又，
，以此类推得，不符合题意，
故选：D
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，
∵，
当时，得；则在单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
且，可得，
∴，即数列为单调递增数列，
又，，
根据数列单调性可得：，∴.
故选：B.
例3．（2023·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，其中，记表示数列的前n项乘积，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，依次有.
而，设，
则，故为上的减函数，
故即，故.
又因为，故，进而,
故，所以，所以.
因此有，
故选：C.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（ ）
A．数列单调B．
C．数列是等比数列D．
【答案】C
【解析】，，不单调，A错；
，B错误；D错误；
易知所有偶数与不互素，所有奇数与互素，，，
所以，即数列是等比数列，C正确．
故选：C．
变式2．（2023·北京·高三强基计划）已知实数．数列满足对任意的，有现知，则可能的的个数为（ ）
A．2021个B．个C．个D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】考虑函数的迭代函数的图象与直线的公共点，则所求的个数即的图象与直线的公共点个数．
递推可得所求的个数为个．
故选：B.
命题方向二：函数与不等式的综合
例4．（多选题）（2023·山东潍坊·三模）已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【解析】因为，
所以，
所以关于对称，
，
当且仅当，即时等号成立，
又因，所以恒成立，则是增函数，
因为，所以，
则.
故选：CD.
例5．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
对于A，若，由，可得：，
若，，则，，，
即A可能成立，A正确；
对于B，若，由，可得：，
若，，则，，
，，即B可能成立，B正确；
对于C，若，则，又在上单调递增，
，即C可能成立，C正确；
对于D，若，则，又在上单调递减，
，即D不可能成立，D错误.
故选：ABC.
例6．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为正数，满足，
所以，构造函数，，
令，恒成立，所以在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，
所以在上单调递增，由，可得，
对于A，，所以，故A错误
对于B，由，可得，所以，故B正确
对于C，由，可得，则，故C错误
对于D，由，可得，，所以，所以，故D正确．
故选：BD．
变式3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为，所以，，
所以，故选项A错误；
对于选项B，设，则，
又因为，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即：，
又因为，所以.故选项B正确；
对于选项C，，
因为，所以，
所以，即：.故选项C正确；
对于选项D，因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以.故选项D正确.
故选：BCD.
变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，实数，满足不等式，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】利用函数的性质可以判断为奇函数，
由可得：；
，
利用导数可知其在上单调递增，从而可得：，
即有：.
显然可得：选项AC成立，选项D错误；
令，，可验证选项B错误；
故选：AC.
变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由于，故为R上单调增函数，
所以，而是上的增函数，故，
所以，A正确；
取满足，但，B错误；
设，则，
由于，故，即是上的增函数，
故，
由于，则，故，C正确；
取，满足，而，故D错误，
故选：
命题方向三：函数中的创新题
例7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
由对数函数的图象可知：方程有解，所以函数存在不动点，故选项满足；
对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
也即，因为判别式，所以方程无解，故假设不成立，
也即函数不存在不动点，故选项不满足；
对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
当时，方程为无解；当时，方程为，令，
则，所以在上单调递减，所以，所以，
则方程为无解，故选项不满足；
对于，假设函数存在不动点，则方程有解，
令，则函数在上单调递增，因为，
，则，由零点存在性定理可知：函数在上存在零点，
也即有解，所以函数存在不动点，故选项满足，
故选：.
例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
【答案】AC
【解析】对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；
对于B，，则，B不正确；
对于C，，
当时，，，有，
当时，，，有，的值域为，C正确；
对于D，当时，，有，D不正确.
故选：AC
例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： ，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数
【答案】ACD
【解析】，
A正确；
，记，则，
为奇函数，即是奇函数，B错误；
，C正确；
因为轴，设，则，
所以若是以为直角顶点的直角三角形，则，
由，解得，正确．
故选：ACD．
变式6．（多选题）（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数不是圆O的“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”
【答案】BD
【解析】对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；
对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；
对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；
对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.
故选：BD
变式7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A中，令，可得，则，所以不满足函数的定义，所以A不正确；
对于B中，令，则，则，满足函数的定义，所以B正确；
对于C中，令，则，所以，满足函数的定义，所以C正确；
对于D中，由于函数中的每一个值，都有唯一的一个与之对应，
所以满足函数的定义，所以D正确.
故选：BCD.
变式8．（多选题）（2023·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．在内单调递增
B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为
C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
【答案】ACD
【解析】A选项，，所以，
对于函数，其判别式，
所以，令解得，
所以在区间内，单调递增，故A正确．
BC选项，画出，的图象如下图所示，
由图可知，是“隔离直线”，且．
设（，）分别是与图象上的一点，且直线AB是与图象的公切线．因为，
过A点的切线方程为，即，
令，令，则，
所以，即，解得．
所以公切线AB方程为．
结合图象可知，k的取值范围是．
所以B错误，C正确．
对于D选项，构造函数，
，
所以在区间上，单调递减；在区间上，单调递增．
所以在定义域上的极小值也即是最小值为，
所以有唯一零点，也即与有唯一公共点．
由上述分析可知，公切线方程为，D选项正确．
故选：ACD．
变式9．（多选题）（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考阶段练习）意大利著名画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为（其中为自然对数的底数，下同），相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．随的增大而减小D．的面积随的增大而减小
【答案】BD
【解析】对于A，，当且仅当时取“=”，A不正确；
对于B，，B正确；
对于C，D，点，对双曲余弦函数求导得，对双曲正弦函数求导得，
切线PA：，切线PB：，
联立两条切线方程，解得点，
，因函数在上随x的增大先减小再增大，于是得随m的增大先减小再增大，C不正确；
面积随m的增大而减小，D正确.
故选：BD
命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江·高一期中）已知函数在区间[1，4]上的最大值为，当取到最小值时则______.
【答案】
【解析】在区间[1，4]上的最大值，即为函数与在区间上的函数值差的绝对值的最大值，
在区间上的两个端点为，过的直线方程为，如图，
又的斜率为的切线方程是，则，，，（舍去），切线方程为，
因此使得取得最小值的直线方程为，即，，
所以．
故答案为：．
例11．（2023·上海·高一专题练习）对于实数a，，函数在区间上的最大值记为，的最小值为______．
【答案】
【解析】
令，则，
其中的图象如图所示，
设与平行且与图象相切的直线对应的一次函数为，
有可得，
由可得或（舍），
由图象可得：的图象在函数的上方或下方对应的大于的图象与函数有交点时对应的，
若的图象与函数有交点时对应的最小，
则的图象与平行且在与之间，
且的图象与的距离等于的图象与的距离，
故的图象对应的解析式为，
此时，对应的或，
故的最小值为.
故答案为：.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的最大值为，则的最小值为_________.
【答案】5
【解析】设，则由得，
，
则，
所以，
所以，当且仅当且时取等号，
取，，
是减函数，，
是减函数，，
是增函数，，
∴，
综上所述，的最小值是5．
故答案为：5．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当，的最大值为，则的最小值为______
【答案】7
【解析】，
设，则恒成立，函数单调递增，
故；
设，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
故，
则，故，当时等号成立；
且，故，当时等号成立.
综上所述：.
故答案为：7.
变式11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
设
在上单调递增，在上单调递减，
设
画出函数图像：
对任意的实数和，总存在，使得
等价于求最大值里的最小值.
根据图像知：当时，最大值的最小值为2
故实数的最大值为2
答案为2
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________．
【答案】
【解析】原问题等价于，
构造函数，且，则，解得：；
所以，
则函数可理解为函数与函数在横坐标相等时，两纵坐标的竖直距离，画出如下图像，
由图显然，当函数位于直线与直线正中间时，函数取得最大值中的最小值，易知，直线的方程为：，
又，令，解得或（舍去），
在递减，在 递增.
则直线的方程为，
所以；
故 ，即实数的最大值是.
故答案为：．
变式13．（2023·山东·高三校联考竞赛）设函数f(x)=x2+ax+b，对于任意的a，b∈R，总存在t∈[0，4]，使得成立，则实数m的最大值是______ .
【答案】2
【解析】设的最大值为M，依题意有m≤M恒成立，
.
（1）当△≤0时，若，则M≥4；若，则M>4.
（2）当△>0时，若，则M>8；若，则M>8
若，则M≥2；若，则M>2
综上所述，m≤2.
故答案为：2．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.
【答案】 2
【解析】，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，
则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，
故.
故答案为：2，.
命题方向五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．
①； ②；
③； ④．
【答案】①③．
【解析】①函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则有，解得，所以函数存在“倍值区间”，故正确；
②函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，
当时，，，此时无解；
当时，设，，
令，解得，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，所以时，，
所以此时无解，
综上所述，无解，故函数不存在“倍值区间”，
③当时，；
当时，，由于对勾函数在上单调递减，
由复合函数可得函数在区间上单调递增，
若函数在区间存在“倍值区间”，则有，解得，
所以函数存在“倍值区间”，故正确；
④若函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
故没有“倍值区间”；
故答案为：①③．
例14．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学实验学校校考期中）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有_______
① ② ③
【答案】①③
【解析】对于①,假设函数存在”倍值区间”,因为函数为单调递增函数,
所以,所以,解得,
所以存在”倍值区间”;
对于②,假设函数存在”倍值区间”,因为为递增函数,
所以,所以,
构造函数,则,
所以由得,递增;
由得,递减,
所以在时取得最小值,最小值为,
所以恒成立,所以无解,
故不存在”倍值区间”;
对于③,,假设函数存在”倍值区间”,因为,
所以.
由得,由得,
所以在上递增,在上递减,
假设,
则函数在上递增,
所以,所以,所以,
所以函数存在”倍值区间”.
综上所述: 函数中存在“倍值区间”的有:①③.
故答案为①③.
例15．（2023·宁夏·统考模拟预测）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.
①；
②；
③；
④
【答案】①③④
【解析】是增函数，则由，即得，因此，①符合；是增函数，，，此方程无解，②不合；，因此它在上递增，在上递减，又，因此可取，③符合；由复合函数的单调性知在其定义域内是增函数，记，，，因此当时，函数递减，当时，函数递增．时，取极值为，当时，在上递增，在上递减，是极大值，且为正，同样当时，在上递增，在上递减，是极小值，且为负正，因此恒有两个零点，取，④符合题意．故①③④符合题意．
考点：新定义，命题真假判断．
变式15．（2023·山东临沂·高三阶段练习）函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：
(1) 在[a，b]内是单调函数；
(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“和谐区间”．
下列函数中存在“和谐区间”的是___________ (只需填符合题意的函数序号).
①；②；③；④.
【答案】①③④
【解析】根据题意，当①，在a=0,b=2,可知满足题意[a，b]=【0,2】
对于③；不成立，
对于④时成立，对于②不存在成立，故答案为①④
变式16．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为___________.
【答案】②③
【解析】对于①，函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“倍值区间”；
对于②，函数 为减函数，若存在“倍值区间”，则有得：，，,例如：，.所以函数存在“倍值区间”；
对于③，若函数存在“倍值区间”，则有，解得.所以函数函数存在“倍值区间”；
对于④，当时，.当时，，从而可得函数在区间上单调递增.若函数存在“倍值区间”，且，则有，无解.所以函数不存在“倍值区间”.
故答案为：②③.
变式17．（2023·内蒙古赤峰·高一统考期末）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：在内是单调函数；在上的值域为，则称区间为的“等值区间”下列函数中存在“等值区间”的有______．
【答案】
【解析】由，可得，解得或，
函数在上为单调增函数，且值域为，
有等值区间；
令，当时，，函数无零点，当时，，
由，可得，存在，满足，
使得当时，，当时，，
．
无零点，即不存在“等值区间”；
由，可得或．
当时，在上为增函数，
而对于，满足，，
有等值区间；
令，则，
为单调减函数，又，
方程仅有一解，故不存在“等值区间”．
存在“等值区间”的有．
故答案为．
命题方向六：函数不动点问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在“次不动点”，若函数在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是（ ）
A．[,+∞)B．C．(-∞,0)D．(0, )
【答案】B
【解析】由题意，函数在区间上存在“次不动点，
即存在，使得，
即存在，使得，
当时，；
当时，方程可化为，
设，则，
令，可得或（舍），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
故的值域为，所以实数a的取值范围是.
故选：B.
例17．（2023·全国·高三专题练习）若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵∴令，
∴，
∴，即为奇函数，
∵，且当时，，
∴对恒成立，
∵为奇函数，且定义域为，
∴在R上单调递减，
∵，
∴，
即，∴，即，
∵为函数的一个不动点，∴，
即在有解.
∵，∴在R上单调递减.
∴可，
∴.
故选：B.
例18．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数在定义城内单增函数，所以有解等价于有解，
故在上有解，令即，令
则，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
∴，
故实数的取值范围为.
故选: C
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，等价于，
∵当时，，即，
∴在上递减，又是奇函数，
∴在上递减，又连续，
∴在上递减，则，可得.
又的定义域为，且，即在定义域上递增，
∴题设条件为：存在使，即使，
∴在上有解，则在上有零点，
由，即递增，又，且时，
∴只需，即即可.
故选：B
变式19．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考二模）设函数，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则当时，，
故函数是区间上的单调递减函数，
又，，
则函数是奇函数，所以函数是区间上的单调递减函数；
由题设中，可得：，
由单调递增，可得，
所以问题转化为在上有解，即在上有解，
令，则，故在上单调递增，
则，所以.
故选：B．
命题方向七：函数的旋转问题
例19．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）函数的图象绕着原点旋转弧度，若得到的图象仍是函数图象，则可取值的集合为_________.
【答案】
【解析】
的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：，
其中，.
在图象绕原点旋转的过程中，当从图（1）的位置旋转到，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故.
在图象绕原点旋转的过程中，当从图（2）的位置旋转到轴下方，而在轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象，
故不符合.
在图象绕原点旋转的过程中， 在轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故符合.
故答案为：.
例20．（2023·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）函数的图象绕着坐标原点旋转弧度，若仍是函数图象，则可取值的集合为________
【答案】
【解析】根据对勾函数的性质可知函数的渐近线方程为和，
若仍是函数图像，则函数的图象与垂直于轴的直线仅有一个交点，结合图象可知





两条渐近线的夹角为，以两条渐近线为参照，结合函数为奇函数，可知时逆时针旋转时，仍为函数.
故答案为：
例21．（2023·全国·高三校联考阶段练习）将函数的图象绕点逆时针旋转后与轴相切，则_______.
【答案】
【解析】设过点的直线与函数的图象相切，
切点坐标为，，所以，
又因为切线过切点，
所以，解得，
所以，故.
故答案为：
变式20．（2023·高一课时练习）已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角（）后得到的函数 存在反函数，则的取值集合是_________
【答案】
【解析】由题意有反函数，因此它为一一映，
而函数，在第一象限，单调递减，逆时针旋转角后，要满足题意只有或．
故答案为：．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
（1）该函数的最小值为______；
（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是______．
【答案】 2 ，
【解析】（1）先画出函数的图象
由图可知，该函数的最小值为 2．
（2）由图可知，
当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，
曲线都不是一个函数的图象
则的取值范围是：，．
故答案为：2；，．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数．
若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则______填是或否可能为1．
若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则可能取值只能是______．

【答案】 否
【解析】（1）由题意得到：问题相当于圆上由4个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．若，则可得,不符合函数的定义，所以不可能为1．
（2）通过代入，当，，0时
此时得到的圆心角为，，0，
然而此时或者时，都有2个y与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，
因此只有当，此时旋转，
此时满足一个x只会对应一个y，
因此答案就选：．
故选是；．
命题方向八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·天津北辰·高一天津市第四十七中学校考期中）定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是________.
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
所以当时，的最小值为.
因为函数满足，
所以当时，的最小值为，
所以当时，的最小值为，
因为时，恒成立，
所以，即，
解得，
故答案为：.
例23．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是_________.
①任取，都有；
②函数在区间上单调递增；
③对一切恒成立；
④函数有3个零点；
⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则.
【答案】①④⑤
【解析】对于①，由，当，时，，此时，所以任取，都有，故①正确；
对于②，当时，，，所以非单调递增，故②错误；
对于③，，，所以，故③错误；
对于④，如图，
由数形结合可知有3个零点，故④正确；
对于⑤，如图，
由图可知，有且只有两个不同实根时，两个根关于对称，所以，故⑤正确.
综上所述，正确的结论是①④⑤.
故答案为：①④⑤
例24．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是___________.
（1）任取，都有；
（2）函数在上严格递减；
（3）（），对一切恒成立；
（4）函数有3个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.
【答案】(1)(3)(5)【解析】的图象如图所示，
，所以对，都有，故（1）正确；
由的图象可知：在上严格递增；故（2）错误；
由于当时，，因此当时，，所以
（），故（3）正确；
在同一直角坐标系中画出与的图象，当时，，，由于,所以，结合两者的图象可知只有一个交点，故（4）错误；
根据图象可知：当时，有且只有两个不同的实根，，此时，关于对称，故，因此（5）正确；
故答案为：（1）（3）（5）
变式23．（2023·北京·高三北京二中校考开学考试）对于函数，下列4个结论正确的是______.
①任取，都有；
②，对一切恒成立；
③若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则；
④函数有5个零点
【答案】①③
【解析】对于①，函数的图象如下图所示：由图可知，，则任取，都有，故①正确；
对于②，当时，则，而由解析式知，②错误；
对于③，函数与函数的图象如下图所示，若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则，由对称性可知，③正确；
对于④，函数与函数的图象如下图所示，由图可知，两函数的交点有3个，即函数有3个零点，④错误.
故答案为：①③.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列五个结论中正确的是________.
（1）任取，都有；
（2），其中；
（3）对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程（），有且只有两个不同的实根、，则.
【答案】（1）（3）（4）（5）
【解析】画出图象，
对于（1）：可知在上的最大值为，最小值为，，所以（1）正确；
对于（2）：令，当时，，故（2）错；
对于（3）：因为，所以，所以.故（3）正确；
对于（4）：令，在同一个坐标系内作出和的图像，经观察有3个交点.
故（4）正确；
对于（5）：在同一个坐标系内作出和的图像.
要使关于的方程（），有且只有两个不同的实根、，则有，且关于对称，所以成立.故（5）正确；
故正确的有（1）（3）（4）（5）.
故答案为：（1）（3）（4）（5）
变式25．（2023·北京东城·高一统考期末）已知函数．
______．
若方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．
【答案】 4
【解析】，
当时，，，
当时，，，
当时，，
，
作出函数的图象如图，
其中，，，，
设直线，
当分别过，，时，
则，，得，
，得，
由图象知要使方程有且只有一个实根，
则在A，B之间的区域，
即，
即实数a的取值范围是，
故答案为4，．
变式26．（2023·北京东城·北京市第五中学校考模拟预测）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.
【答案】（﹣∞，]；
【解析】因为，，
，时，，，
，时，，，，；
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故答案为：，．
变式27．（2023·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】因，则，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，如图，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.
故答案为：
变式28．（2023·高一单元测试）已知函数定义域为，对于任意的都有，当时，，则_______；若当时，恒成立，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】∵对任意的都有，且当时，，
∴；
当时，，∴；
当时，，∴.
所以，
∵时恒成立，∴，
当时，，根据指数函数的性质可得；
当时，.
所以当时，，
故，解得.
故答案为：；.
命题方向九：V型函数和平底函数
例25．（上海市金山区2023届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题）若，，且，则满足条件的所有整数的和是___________.
【答案】6.
【解析】因为，
，
所以
，
所以是偶函数，
若，
则或，
解得，或，
又因为
，
，
所以，
所以当时也成立，
故满足条件的所有整数的和是，
故答案为：6.
例26．（上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________
【答案】62
【解析】 由题意知：等差数列满足
，
故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，
则，且，即，
由，则，即，
即有，
则
，
可得，解得，
即有的最大值为，的最大值为.
故答案为：.
例27．（上海市上海中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数的最大值为_________；
【答案】50
【解析】{an}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+…+|an|，
＝|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|，
＝|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|，
＝|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|，
则：数列{an}中的项一定满足或，
且项数n为偶数，
设n＝2k，等差数列的公差为d，首项为a1，
不妨设，
则：a1＜0，d＞0，
且：ak+3＜0，
由，
可得d＞3，
所以：|a1|+|a2|+..+|an|＝﹣a1﹣a2﹣a3﹣…﹣ak+ak+1+ak+2+…+a2k，
＝﹣2（a1+a2+a3+…+ak）+（a1+a2+a3+…+ak+ak+1+…+a2k）
＝﹣2（）+（），
＝k2d＝2018，
由于：d＞3，
所以：k2d＝2018＞3d2，
解得：k2＜672，
故：k≤25，
故：n≤50．
故答案为50．
变式29．（浙江省温州市苍南县树人中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）等差数列满足：，则其公差的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意知，等差数列中的项一定有正有负，当时，
由，则 ，
由，则，
所以，所以，即；
当时，同理可求出，
综上所述，公差的取值范围为.
故答案为: .
变式30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版））已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
【答案】
【解析】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
变式31．（上海市控江中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是_________.
【答案】
【解析】易得中有正有负,则数列中的项一定满足或,且项数为偶数.
不妨设,设公差为,则此时,且.
又
.故.
故有
.
因为,故.因为
故,
故答案为：