吉林省松原市乾安县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省松原市乾安县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。

2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
3. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
4. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（ ）
A. 9cmB. 8cmC. 7cmD. 6cm
答案：D
5. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF=3，CE=4，EF=5，则CD的长为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
答案：A
6. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF，则下列结论错误的是（ ）

A. 四边形ACDF是平行四边形B. 若，则
C. 若，则四边形ACDF为菱形D. 若，则
答案：D
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
答案：##
8. 计算：_______．
答案：
9. 木工师傅要做一扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗________（填“合格”或“不合格”）
答案：不合格
10. 如图，校园内的一块草坪是长方形，已知，，从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段走，那么同学们少走了______m．
答案：4
11. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
答案：OA=OC（答案不唯一）．
12. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为________cm．
答案：6
13. 如图①是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形，若，则______．

答案：
14. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的个数是__________个．
答案：3##三
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：
答案：
16. 如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
答案：（1）长方形的周长是；
（2）张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
解：长方形的周长
．
答：长方形的周长是；
【小问2详解】
解：蔬菜地的面积
．
（元）．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
17. 如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角形测量树高，已知小明与树的距离为．角所对直角边与地面平行，小明的眼睛到地面的距离为．这棵树的高度是多少m？

答案：2.68米
解：在中，，
设，则,
由，得，
解得，（舍去负值），
所以大树高为：（米）．
答：这棵树的高度是2.68米．
18. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
答案：见解析
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小明想到借助正方形网格解决问愿．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．

（1）操作发现：小明在图1中两出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他借助此图求出了的面积．
在图1中，小明所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______．
（2）解决问题：已知中，，，，请你根据小明的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积．
答案：（1）5，，，
（2）画图见解析，10
【小问1详解】
解：由勾股定理得：
，，，
，
故答案为：5，，，；
【小问2详解】
解：作如图所示：
，
．
20. 已知：，．
（1）求代数式：的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
答案：（1）18 （2）1
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
【小问2详解】
由（1）知，
∴．
21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
答案：（1）证明见解析；（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由见解析．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
22. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，

（1）求和的长．
（2）试判断此车是否超过了的限制速度？（）
答案：（1）米；米
（2）此车超过的限制速度．
【小问1详解】
解：由题意知：米，，
在中，
∵，
∴米，
在中，
∵，
∴，
∴米；
【小问2详解】
解：由题意知：
在中，
∴米
∴(米)，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为，
∴此车超过的限制速度．
五、解答题（每小题88分，共616分）
23. 如图，在中，，点D在边上且，连接，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）当时，四边形是_________．
答案：（1）见解析；
（2）见解析； （3）正方形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形菱形；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形．
24. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
答案：【猜想】CD= BC- CF，理由见解析；【探究】CF= BC+ CD，理由见解析；【应用】
解：【猜想】CD= BC- CF，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
解：【探究】CF= BC+ CD，理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC,
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF,
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，,
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 综合与实践
问题情境：正方形折叠中的数学
数学活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
问题背景：过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于E，延长交于F．如图①．
问题探究：

（1）当点H与点C重合时，与的大小关系是_________；是_________三角形．
（2）如图②，当点H为边上任意一点时（点H与点C不重合）．连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
问题延伸：
（3）若过点A引直线，交直线于点H （点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在直线上的点G处，折痕所在直线交直线BC于E，直线交直线于F．连接，当，时，的长为__________．
答案：（1），等腰直角三角形
（2），见解析
（3）
【小问1详解】
连接，
∵通过翻折，点B落在射线上的点G处，四边形是正方形，
∴，，
，
∴，

∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，等腰直角．
【小问2详解】
连接，
∵通过翻折，点B落在射线上的点G处，四边形是正方形，
∴，，
∵，

∴，
∴．
【小问3详解】
根据（2）的证明，得到，，
设，
∵，，
∴，，，
根据勾股定理，得，
解得，
故，

故答案为：．
26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（2）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）6.5秒
（2）四边形是矩形，理由见解析
（3）线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒
【小问1详解】
解：如图，∵四边形为矩形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵动点的速度为每秒个单位长度，
∴（秒）．
【小问2详解】
解：如图，四边形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问3详解】
解：如图，点M在点N右侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如图，点M在点N左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒．