专题26 数列的概念6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

这是一份专题26 数列的概念6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共13页。试卷主要包含了数列的有关概念等内容，欢迎下载使用。


1．数列的有关概念
2.数列的分类
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
5．在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．
一、单选题
1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024高三·全国·对口高考）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．1
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2024·浙江宁波·一模）设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分也不是必要条件
5．（2024·浙江·二模）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024高一上·北京·期末）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
8．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2024高三上·江苏南通·期末）已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
12．（2024高二上·重庆·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．110B．128C．144D．89
13．（2024·云南保山·二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（ ）

A．11B．12C．13D．14
14．（2024高三下·河南新乡·开学考试）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为.记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
15．（2024·全国·模拟预测）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（ ）
A．28B．36C．45D．55
16．（2024高三·重庆沙坪坝·阶段练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为，则（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
17．（2024高三·全国·专题练习）观察下列各式：
；
；
；
；
；
则（ ）
A．28B．76C．123D．10
18．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（ ）
A．36B．25C．49D．64
19．（2024高二上·上海·期中）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
20．（2024高三下·河南·阶段练习）数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．
21．（2024·北京）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
22．（2024高三上·上海宝山·阶段练习）已知数列的前n项和为，则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
23．（2024高二·河北保定·阶段练习）若为数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．30
24．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则（ ）
A．B．1
C．D．2
25．（2024高三·全国·专题练习）数列…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2024高一下·宁夏吴忠·期中）已知数列的所有项均为正数，其前项和为，且.则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足,，则的值为（ ）
A．B．C．D．
28．（2024高二下·辽宁·期末）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（ ）
A．1，B．0，C．，D．1，
30．（2024高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
31．（2024高三上·湖北·期中）已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
32．（2024·云南保山·一模）已知数列满足，，则等于
A．B．C．D．
33．（2024高三·全国·专题练习）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
34．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
35．（2024高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A．B．C．D．
36．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
37．（2024高三·全国·专题练习）设表示不超过x的最大整数，如，.已知数列满足：，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
38．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．
B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．
C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．
D．若数列的前n项和为，则对任意，都有.
39．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A．B．
C．D．
40．（2024高三·全国·专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
41．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
42．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( )
A．B．是递增数列
C．D．数列为周期数列
三、填空题
43．（2024·河南新乡·二模）已知正项数列满足，，，若是唯一的最大项，则k的取值范围为 ．
44．（2024高三上·北京·阶段练习）数列中，，则此数列最大项的值是 .
45．（2024高三上·江苏连云港·期中）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝ ．
46．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为 ．
47．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，且，则数列的前2009项之和为 .
48．（2024高二下·全国·课后作业）正项数列中，，，猜想通项公式为 ．
49．（2024·广东佛山·模拟预测）数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式 .
50．（2024·全国·模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第 项．
51．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，则S3= ．
52．（2024高一下·江苏无锡·期中）已知数列{}的通项公式为，那么是它的第 项．
53．（2024高一下·吉林长春·期中）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 ．
54．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和，则 .
55．（2024高三上·广东深圳·期末）在数列中，是其前n项和，且，则数列的通项公式 ．
56．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足：，，则数列的通项公式为 ．
57．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前5项为，，，，，则的一个通项公式为 .
58．（2024高二·全国·专题练习）数列－，，－，，…的一个通项公式an＝ .
59．（2024高一·全国·课后作业）数列5，55，555，5555，…的一个通项公式为 .
60．（2024高一下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，则的通项公式为
61．（2024高二·全国·课后作业）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．
62．（2024·江西南昌·一模）已知数列满足，则 ．
63．（2024·上海·一模）已知数列的首项，其前项和为．若，则 ．
64．（2024高三上·湖北·开学考试）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为 .
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
（一）
Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型1：由an与Sn的关系求通项公式
1-1．（2024·浙江）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ，S5＝ ．
1-2．（2024·北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
1-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，，且
，则数列的通项公式为 .
1-4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）数列满足，（，），则 .
（二）
由数列的递推关系求通项公式
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
题型2：累加法
2-1．（2024·安徽安庆·一模）数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是 .
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的最小值为
题型3：累乘法
3-1．（2024高三·全国·专题练习）若，则通项公式 .
3-2．（2024高三·全国·专题练习）在数列{an}中，，则数列{an}的通项公式an＝ .
3-3．（2024高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 .
（三）
数列的性质
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
题型4：数列的单调性
4-1．（2024·北京·二模）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 .
4-2．（2024高一下·上海闵行·期末）已知数列的前项和为，，若为递减数列，则实数的取值范围是 .
4-3．（2024高二下·北京顺义·阶段练习）已知数列的通项公式为（）.写出一个能使数列是递增数列的实数b的值 .（写出一个满足条件的即可）
4-4．（2024高二上·河北衡水·期中）数列满足：.若是递增数列，则实数的取值范围是 .
题型5：数列的周期性
5-1．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，对所有的正整数都有，则（ ）
A． B． C． D．
5-2．（2024·北京通州·三模）数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．4
5-3．（2024高三·全国·对口高考）设函数定义如下，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为（ ）
x
1
2
3
4
5
4
1
3
5
2
A．1B．2C．4D．5
5-4．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
题型6：数列的最值
6-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列中的最大项为 ．
6-2．（2024高二·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则的最小值为 .
6-3．（2024高二·全国·课后作业）已知，若数列中最小项为第3项，则 ．
6-4．（2024·河北·高考模拟）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是 ．
6-5．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前n项和，若，则的最小值为 ．
6-6．（2024·湖南邵阳·模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 .