2025高中数学选择性必修第一册人教A版2019同步讲义第10讲拓展四：空间中距离问题（Word版附解析）

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第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）一、知识点归纳知识点01：用向量法求空间距离1、点到直线的距离已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.二、题型精讲题型01利用向量法求点到直线的距离 【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）直线的方向向量为，且l过点，则点到直线的距离为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知，，，则点到直线的距离为（    ）A． B． C． D．【典例3】（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为___________.【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离是（    ）．A． B．1 C． D．【变式2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知空间中三点，则点到直线的距离为__________．题型02点到平面的距离等体积法 【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（    ）A． B． C．2 D．【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点．  (1)若平面，证明：是的中点．(2)线段上存在点，使得，求到平面的距离．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体中，是边长为2的等边三角形，是腰长为2的等腰三角形，，，，．  (1)作出平面与平面的交线，并说明理由；(2)求点到平面的距离．【典例4】（2023春·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别为1,1,2,,．(1)若中点为,证明:平面;(2)求点到平面的距离．【变式1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.  (1)证明：平面：(2)若，求点到平面的距离.【变式2】（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.(1)求直线与所成的角正切值(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.【变式3】（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，．(1)证明：平面平面．(2)若，，求点到平面的距离．【变式4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，，，且E为中点．求到平面的距离．题型03点到平面的距离的向量法【典例1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.  (1)求证：平面平面；(2)求到平面的距离.【典例2】（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，,，平面平面，为棱上一点（不与重合），平面交棱于点.  (1)求证：；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.【典例3】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.  (1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由；(2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离.【变式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且．(1)求直线与平面所成的角的正弦值大小；(2)求点到平面的距离．【变式2】（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，.  (1)证明：；(2)若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离.【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.    (1)证明：平面平面；(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.题型04点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2023春·福建·高二校联考阶段练习）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3.(1)求证：平面平面；(2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点．(1)求证:⊥平面;(2)求与平面所成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，.(1)若，求证：平面；(2)若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.