高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀第1课时随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀第1课时随堂练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,b2)＝1过点(－2，eq \r(3))，则其焦距为 ( D )
A．8B．12
C．2eq \r(3)D．4eq \r(3)
[解析] 把点(－2，eq \r(3))代入eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,b2)＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12，∴c＝2eq \r(3)，
∴2c＝4eq \r(3).
2．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝ ( B )
A．2B．3
C．4D．9
[解析] ∵椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝eq \r(25－m2)，∴m2＝9，∴m＝3，选B．
3．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝ ( A )
A．11B．10
C．9D．16
[解析] 由题意知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．
4．设P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是 ( B )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
[解析] 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
不妨设|PF1|－|PF2|＝2，则|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(16－12)＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
5．对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的 ( B )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 若方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则m>0，n>0，从而mn>0，但当mn>0时，可能有m＝n>0，也可能有m<0，n<0，这时方程mx2＋ny2＝1不表示椭圆，故选B．
6．已知两点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是 ( C )
A．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1D．＋eq \f(y2,4)＝1
[解析] ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|，
∴动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，
∴2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝3，
∴动点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
二、填空题
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为__eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 __.
[解析] 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝4,a－c＝2))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3,c＝1))，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
8．过点(－3,2)且与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆方程是__eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 __.
[解析] 因为焦点坐标为(±eq \r(5)，0)，设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1，
将(－3,2)代入方程可得eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1，解得a2＝15，故方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
三、解答题
9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程.
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知eq \f(9,a2)＋eq \f(0,b2)＝1，
又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，
故椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知eq \f(0,a2)＋eq \f(9,b2)＝1，
又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
故椭圆的标准方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋y2＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m的值是( C )
A．5B．3或8
C．3或5D．20
[解析] 2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故答案为C．
2．设椭圆的标准方程为eq \f(x2,k－3)＋eq \f(y2,5－k)＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是 ( C )
A．k>3B．3C．4[解析] 由题意得k－3>5－k>0，∴43．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足 ( C )
A．a2>b2B．eq \f(1,a)C．0[解析] 将方程变为标准方程为eq \f(x2,\f(1,a))＋eq \f(y2,\f(1,b))＝1，由已知得，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)>0，则04． F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则
△AF1F2的面积为 ( C )
A．7B．eq \f(7,4)
C．eq \f(7,2)D．eq \f(7\r(5),2)
[解析] 由已知得a＝3，c＝eq \r(2).
设|AF1|＝m，则|AF2|＝6－m，
∴(6－m)2＝m2＋(2eq \r(2))2－2m·2eq \r(2) cs 45°，
∴m＝eq \f(7,2)，
∴6－m＝eq \f(5,2).
∴S＝eq \f(1,2)×eq \f(7,2)×2eq \r(2)sin 45°＝eq \f(7,2)，故选C．
5．设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为 ( C )
A．3B．3或eq \f(3,2)
C．eq \f(3,2)D．6或3
[解析] 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2c×eq \f(b2,a)＝eq \f(3,2).
二、填空题
6．若椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为__6___.
[解析] 由题意知，c＝1， m－5＝1，∴m＝6.
7．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2___；
∠F1PF2的大小为__120°___.
[解析] 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2，
cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(16＋4－28,16)＝－eq \f(1,2).
∴∠F1PF2＝120°.
8．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是__8___.
[解析] 如图所示，F为椭圆的左焦点，A为其右焦点，△ABC的周长＝|AB|＋|BC|＋|AC|＝|AB|＋|BF|＋|AC|＋|CF|＝4a＝8.
C级 能力提高
1．根据下列条件，求椭圆的标准方程.
(1)经过两点A(0,2)，B(eq \f(1,2)，eq \r(3))；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
[解析] (1)设所求椭圆的方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵椭圆过A(0,2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(3)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0,m)＋\f(4,n)＝1,\f(1,4m)＋\f(3,n)＝1))， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1,n＝4)).
∴所求椭圆方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±eq \r(5))，
则可设所求椭圆方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m＋5)＝1(m>0)，
又椭圆经过点(2，－3)，则有eq \f(4,m)＋eq \f(9,m＋5)＝1，
解得m＝10或m＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1.
2．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，求△F1PF2的面积.
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝eq \r(100－64)＝6，
∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncs eq \f(π,3)＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝eq \f(256,3)，
∴S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝eq \f(1,2)×eq \f(256,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(64\r(3),3).