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山东省潍坊市五区县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）
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2．答卷前务必讲密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题只有一个是正确的）
1. 以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：A.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
C.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；
D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，掌握（，），，（，）是解题的关键．
【详解】解：A.，结果正确，符合题意；
B.，结果错误，不符合题意；
C.不能进行运算，结果错误，不符合题意；
D. 结果错误，不符合题意；
故选：A．
3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，得到，利用角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴；
故选A．
4. 如图，一次函数的图象与x轴交于点P，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式，由不等式的基本性质将化为，利用图象即可求解；理解“在轴上方的一次函数图象对应的函数值大于，在轴下方的一次函数图象对应的函数值小于，图象对应自变量取值范围是对应不等式的解集．”是解题的关键．
【详解】解：，
，
由图象得，
当时，，
不等式的解集是；
故选：D．
5. 要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求；
乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A. 甲、乙两人的作法都正确B. 甲、乙两人的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误D. 甲的作法错误，乙的作法正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，作线段垂直平分线，相似三角形的判定；
由甲作图可知，结合可得；由乙作图可得，结合可得．
【详解】解：由甲作图可知，
∵，
∴；
由乙作图可知垂直平分，垂直平分，
∴，
又∵，
∴；
∴甲、乙两人的作法都正确，
故选：A．
6. 如图，点E在边长为6的正方形的边上，将绕点A逆时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G．若点G恰好是的中点，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；连接，由旋转的性质得 ，，，可得，可得、、三点共线，由等腰三角形的判定及性质得垂直平分，设，由勾股定理得 ，即可求解；掌握相关的性质，能将所求的线段转换到直角三角形中，利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，
由旋转得，，，
，
、、三点共线，
，
垂直平分，
，
设，则，，
是的中点，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
故选：C．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
7. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别是a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可求解；理解不等式的基本性质：“两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．”是解题的关键．
【详解】解：由数轴得
，
A.若，则，结论错误，故不符题意；
B.，，结论错误，故不符题意；
C.，，结论正确，故符合题意；
D.，，结论正确，故符合题意；
故选：C D．
8. 已知一次函数经过点，则下列结论错误的是（ ）
A. 函数值y随x增大而增大B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象与x轴交于点D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数与坐标轴的交点；将代入解析式得，
A.，由一次函数的增减性即可判断；
B.，由一次函数所经过的象限，即可判断；
C.当时，求出图象与x轴交点坐标，即可判断；
D.将代入解析式，即可判断；
掌握一次函数的性质及与坐标轴交点的求法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
，
A.，函数值y随x增大而减小，结论错误，故不符合题意；
B.，图象经过第一、二、四象限故结论错误，故不符合题意；
C.当时，，解得：，图象与x轴交于点，结论正确，故符合题意；
D.当时，， 结论错误，故不符合题意；
故选：C．
9. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将的面积缩小为原来的，得到，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】本题考查了位似变换的性质，由位似变换的性质得，分类讨论①当同向位似变换时，②当反向位似变换时，即可求解；理解位似变换的性质，掌握位似变换中坐标变换规律是解题的关键．
【详解】解：将的面积缩小为原来的，得到，
，
，
①当同向位似变换时，
，
，
；
②当反向位似变换时，
，
，
；
故选：A C．
10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，掌握“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键．
【详解】解：A由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意；
B由图象得，由图象得，故符合题意；
C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意；
D由图象得，由图象得，故符合题意；
故选：B D．
三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11. 若代数式，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，由二次根式有意义的条件及分式有意义的条件得，即可求解；二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
12. 在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别是，．以点A为圆心，以长为半径画弧，交x轴于点C，则C点的横坐标为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理；由勾股定理得，由线段的和差得，即可求解；能熟练利用勾股定理，求出的长是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
，
，
，
故答案：．
13. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，，，，则与之间的距离是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形相似的判定及性质；由勾股定理的逆定理得为直角三角形，由三角形的面积可求，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；掌握勾股定理的逆定理及三角形相似的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：设到的距离为，到的距离为，
，
，
为直角三角形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：；
故答案：．
14. 在直角坐标系中，已知点，，，在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数在几何中的应用；①当构成平行四边形时，由待定系数法可求直线的解析式为； 直线的解析式为，直线的解析式为，联立，即可求解；②当构成平行四边形时，同理可求；能根据不同的平行四边形进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，
①当构成平行四边形时，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
四边形是平行四边形，
，
可设直线解析式为，
则有，
直线的解析式为，
同理可求：直线的解析式为，
联立，
解得：，
；
②当构成平行四边形时，
同理可求：；
综上所述：的坐标为或．
四、解答题（共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）已知，，求．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了求整式的值，二次根式的混合运算；
（1）先进行二次根式的除法运算，同时利用平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解；
（2）将、的值代入整式，利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再再进行加减运算，即可求解；
掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）当，时，
原式
．
16. 解不等式组，并在数轴上表示其解集．
【答案】，数轴上表示见详解
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；
掌握不等式组的解法，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆点是解题的关键．
【详解】解：由①得，，
由②得，，
原不等式组的解集为；
解集在数轴上表示为：
17. 如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，连接，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再由，得出四边形是菱形．
（2）由菱形的性质得，再由勾股定理求出，推出，进而由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵D是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
由（1）得：四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵D是的中点，，
∴．
18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图1中，________；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在线段AB上找一点P，使；
②如图3，在线段上找一点P，使．
【答案】（1）
（2）①见详解；②见详解
【解析】
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；
（1）（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解；
（2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为，即可求解；②作点关于的对称点，连接交于，即可求解；
能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图得，
，，
，
，
故答案：；
【小问2详解】
解：①如图，
点为所求；
②如图，
点为所求．
19. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元．
（1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元
（2）买A型无人机34台时花费最少，最少花费56160元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数得性质和方程的知识解答；
（1）根据2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元，可列出相应的二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买A型无入机m台，花费W元，根据题意，先求出m的取值范围，再列出W关于m的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设A型无人机的单价是x元、B型无人机的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：设A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元；
【小问2详解】
设购买购买A型无人机m台，则购买B型无人机台，花费了W元
购买B型无人机不超过A型无人机的2倍，
，
解得：，
商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，
，
，
随m的增大而增大，
当m取最小整数34时，W有最小值，
元，
答：买A型无人机34台时花费最少，最少花费是56160元．
20. 【问题背景】
尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程．
【收集信息】
张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
【建立模型】
张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系．
【解决问题】
（1）请求出线段表示的函数表达式；
（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间．
【答案】（1）
（2）1小时
【解析】
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，函数图象，从函数图象获取有用信息是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的时间，即可求得线段表示的时间，即可求解．
【小问1详解】
解：设线段CD表示的函数表达式为，
把，分别代入，得
，解得：，
∴线段CD表示的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由图可得，当时，，解得，
∴(小时），
∴观光车在景点甲停留了1小时．
21. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若点C在直线上，且点C的纵坐标为，求；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数在几何中的应用；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将C的纵坐标为代入解析式可求得横坐标，由即可求解；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则此时最小，，由待定系数法求得直线的解析式为，当时，即可求解；
掌握待定系数法，能利用对称法找出线段和取得最小值的条件是解题的关键．
【小问1详解】
解：设直线的函数表达式为，则有
，
解得：，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：点C的纵坐标为，
，
解得：，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：存在；
如图，
作关于轴的对称点，连接交轴于，则
此时最小，
，
由对称得，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
．
22. 在中，．
（1）特例证明：如图①，点D，E分别在线段上，，求证：；
（2）探索发现：将图①中的绕点C逆时针旋转（）到图②位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图③，点D在内部，当时，若，，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）（1）中结论还成立，证明见解析
（3）3
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质及添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的判定可得，即可求证；
（2）证明，即可解答；
（3）绕点C逆时针旋转得到，连接，则， ，证明，可得，，从而得到，再由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：（1）中的结论还成立，证明如下：
由（1）得，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，绕点C逆时针旋转得到，连接，则， ，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
2．答卷前务必讲密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题只有一个是正确的）
1. 以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：A.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
C.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；
D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，掌握（，），，（，）是解题的关键．
【详解】解：A.，结果正确，符合题意；
B.，结果错误，不符合题意；
C.不能进行运算，结果错误，不符合题意；
D. 结果错误，不符合题意；
故选：A．
3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，得到，利用角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴；
故选A．
4. 如图，一次函数的图象与x轴交于点P，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式，由不等式的基本性质将化为，利用图象即可求解；理解“在轴上方的一次函数图象对应的函数值大于，在轴下方的一次函数图象对应的函数值小于，图象对应自变量取值范围是对应不等式的解集．”是解题的关键．
【详解】解：，
，
由图象得，
当时，，
不等式的解集是；
故选：D．
5. 要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求；
乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A. 甲、乙两人的作法都正确B. 甲、乙两人的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误D. 甲的作法错误，乙的作法正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，作线段垂直平分线，相似三角形的判定；
由甲作图可知，结合可得；由乙作图可得，结合可得．
【详解】解：由甲作图可知，
∵，
∴；
由乙作图可知垂直平分，垂直平分，
∴，
又∵，
∴；
∴甲、乙两人的作法都正确，
故选：A．
6. 如图，点E在边长为6的正方形的边上，将绕点A逆时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G．若点G恰好是的中点，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；连接，由旋转的性质得 ，，，可得，可得、、三点共线，由等腰三角形的判定及性质得垂直平分，设，由勾股定理得 ，即可求解；掌握相关的性质，能将所求的线段转换到直角三角形中，利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，
由旋转得，，，
，
、、三点共线，
，
垂直平分，
，
设，则，，
是的中点，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
故选：C．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
7. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别是a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可求解；理解不等式的基本性质：“两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．”是解题的关键．
【详解】解：由数轴得
，
A.若，则，结论错误，故不符题意；
B.，，结论错误，故不符题意；
C.，，结论正确，故符合题意；
D.，，结论正确，故符合题意；
故选：C D．
8. 已知一次函数经过点，则下列结论错误的是（ ）
A. 函数值y随x增大而增大B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象与x轴交于点D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数与坐标轴的交点；将代入解析式得，
A.，由一次函数的增减性即可判断；
B.，由一次函数所经过的象限，即可判断；
C.当时，求出图象与x轴交点坐标，即可判断；
D.将代入解析式，即可判断；
掌握一次函数的性质及与坐标轴交点的求法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
，
A.，函数值y随x增大而减小，结论错误，故不符合题意；
B.，图象经过第一、二、四象限故结论错误，故不符合题意；
C.当时，，解得：，图象与x轴交于点，结论正确，故符合题意；
D.当时，， 结论错误，故不符合题意；
故选：C．
9. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将的面积缩小为原来的，得到，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】本题考查了位似变换的性质，由位似变换的性质得，分类讨论①当同向位似变换时，②当反向位似变换时，即可求解；理解位似变换的性质，掌握位似变换中坐标变换规律是解题的关键．
【详解】解：将的面积缩小为原来的，得到，
，
，
①当同向位似变换时，
，
，
；
②当反向位似变换时，
，
，
；
故选：A C．
10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，掌握“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键．
【详解】解：A由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意；
B由图象得，由图象得，故符合题意；
C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意；
D由图象得，由图象得，故符合题意；
故选：B D．
三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11. 若代数式，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，由二次根式有意义的条件及分式有意义的条件得，即可求解；二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
12. 在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别是，．以点A为圆心，以长为半径画弧，交x轴于点C，则C点的横坐标为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理；由勾股定理得，由线段的和差得，即可求解；能熟练利用勾股定理，求出的长是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
，
，
，
故答案：．
13. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，，，，则与之间的距离是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形相似的判定及性质；由勾股定理的逆定理得为直角三角形，由三角形的面积可求，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；掌握勾股定理的逆定理及三角形相似的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：设到的距离为，到的距离为，
，
，
为直角三角形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：；
故答案：．
14. 在直角坐标系中，已知点，，，在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数在几何中的应用；①当构成平行四边形时，由待定系数法可求直线的解析式为； 直线的解析式为，直线的解析式为，联立，即可求解；②当构成平行四边形时，同理可求；能根据不同的平行四边形进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，
①当构成平行四边形时，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
四边形是平行四边形，
，
可设直线解析式为，
则有，
直线的解析式为，
同理可求：直线的解析式为，
联立，
解得：，
；
②当构成平行四边形时，
同理可求：；
综上所述：的坐标为或．
四、解答题（共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）已知，，求．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了求整式的值，二次根式的混合运算；
（1）先进行二次根式的除法运算，同时利用平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解；
（2）将、的值代入整式，利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再再进行加减运算，即可求解；
掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）当，时，
原式
．
16. 解不等式组，并在数轴上表示其解集．
【答案】，数轴上表示见详解
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；
掌握不等式组的解法，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆点是解题的关键．
【详解】解：由①得，，
由②得，，
原不等式组的解集为；
解集在数轴上表示为：
17. 如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，连接，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再由，得出四边形是菱形．
（2）由菱形的性质得，再由勾股定理求出，推出，进而由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵D是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
由（1）得：四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵D是的中点，，
∴．
18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图1中，________；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在线段AB上找一点P，使；
②如图3，在线段上找一点P，使．
【答案】（1）
（2）①见详解；②见详解
【解析】
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；
（1）（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解；
（2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为，即可求解；②作点关于的对称点，连接交于，即可求解；
能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图得，
，，
，
，
故答案：；
【小问2详解】
解：①如图，
点为所求；
②如图，
点为所求．
19. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元．
（1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元
（2）买A型无人机34台时花费最少，最少花费56160元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数得性质和方程的知识解答；
（1）根据2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元，可列出相应的二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买A型无入机m台，花费W元，根据题意，先求出m的取值范围，再列出W关于m的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设A型无人机的单价是x元、B型无人机的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：设A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元；
【小问2详解】
设购买购买A型无人机m台，则购买B型无人机台，花费了W元
购买B型无人机不超过A型无人机的2倍，
，
解得：，
商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，
，
，
随m的增大而增大，
当m取最小整数34时，W有最小值，
元，
答：买A型无人机34台时花费最少，最少花费是56160元．
20. 【问题背景】
尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程．
【收集信息】
张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
【建立模型】
张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系．
【解决问题】
（1）请求出线段表示的函数表达式；
（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间．
【答案】（1）
（2）1小时
【解析】
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，函数图象，从函数图象获取有用信息是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的时间，即可求得线段表示的时间，即可求解．
【小问1详解】
解：设线段CD表示的函数表达式为，
把，分别代入，得
，解得：，
∴线段CD表示的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由图可得，当时，，解得，
∴(小时），
∴观光车在景点甲停留了1小时．
21. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若点C在直线上，且点C的纵坐标为，求；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数在几何中的应用；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将C的纵坐标为代入解析式可求得横坐标，由即可求解；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则此时最小，，由待定系数法求得直线的解析式为，当时，即可求解；
掌握待定系数法，能利用对称法找出线段和取得最小值的条件是解题的关键．
【小问1详解】
解：设直线的函数表达式为，则有
，
解得：，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：点C的纵坐标为，
，
解得：，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：存在；
如图，
作关于轴的对称点，连接交轴于，则
此时最小，
，
由对称得，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
．
22. 在中，．
（1）特例证明：如图①，点D，E分别在线段上，，求证：；
（2）探索发现：将图①中的绕点C逆时针旋转（）到图②位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图③，点D在内部，当时，若，，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）（1）中结论还成立，证明见解析
（3）3
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质及添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的判定可得，即可求证；
（2）证明，即可解答；
（3）绕点C逆时针旋转得到，连接，则， ，证明，可得，，从而得到，再由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：（1）中的结论还成立，证明如下：
由（1）得，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，绕点C逆时针旋转得到，连接，则， ，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
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