2023-2024学年北京市东城区广渠门中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市东城区广渠门中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了cm2，2，则下列结论有等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）近年来国产手机品牌一直追求自主创新，实现技术突破，下列图片，是轴对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6
C．（﹣a3）2＝﹣a6D．2a3﹣a3＝1
3．（3分）下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．3cm，3cm，6cmB．2cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，12cmD．4cm，7cm，11cm
4．（3分）点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（5，3）C．（﹣3，5）D．（3，5）
5．（3分）已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（ ）
A．4B．8C．16D．﹣16
6．（3分）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A．PD＝PEB．OD＝OEC．∠DPO＝∠EPOD．PD＝OD
7．（3分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（ ）
A．B．1C．D．a+b
8．（3分）如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
9．（3分）如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且阴影部分面积为3cm2，则S△ABC等于（ ）cm2
A．6B．8C．10D．12
10．（3分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：
①a*b＝0，则a＝0且b＝0
②a*b＝b*a
③a*（b+c）＝a*b+a*c
④a*b＝（﹣a）*（﹣b）
正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二.填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
11．（2分）＝ ．
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
13．（2分）正十边形的每个外角的度数为 度，每个内角度数为 度．
14．（2分）若am＝2，an＝3，则a2m+n＝ ．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第一的区县是 ，上一年度排在第7，8，9名的区县依次是 ．（写出一种符合条件的排序）
三.解答题（共12小题，共58分）
17．（4分）计算：
（1）3x2y•（﹣2xy）3．
（2）（5x+2y）（3x﹣2y）．
18．（4分）分解因式：
（1）9m2﹣4；
（2）2ax2+12ax+18a．
19．（5分）下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BE，CE
∵BA＝ ．
∴点B在线段AE的垂直平分线上（ ），（填推理的依据）
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．
∴BC垂直平分AE．（ ），（填推理的依据）
∴AD是△ABC的高．
20．（5分）先化简，再求值：（2a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．
21．（5分）如图，DE⊥AB于E，∠A＝25°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．
22．（5分）已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．
求证：∠B＝∠C．
23．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC位于如图所示位置．
（1）直接写出图中点A坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）直接写出点A1的坐标 ；
（4）△A1B1C1的面积为 ．
24．（5分）在日历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
（1）图①是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），先将位置b，d上的数相乘，再将位置a，e上的数相乘，最后把他们的积相减．
例如：6×20﹣5×21＝ ，3×17﹣2×18＝ ，发现结果都等于 ．
（2）设“Z”字型框架中位置c上的数为x，请用含x的代数式表示b•d＝ ，利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
25．（5分）在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC，DE⊥AB于E，DF垂⊥AC于F．求证：BE＝CF．
26．（5分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的式子变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x2+8x﹣1变形为（x+m）2+n的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：
x2﹣3x﹣40
＝x2﹣3x+32﹣32﹣40
＝（x﹣3）2﹣49
＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）
＝（x+4）（x﹣10）
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，然后再写出完整的、正确的解答过程．
正确的解答过程： ．
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．
27．（5分）已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明△ABE≌ ；再证明了△AEF≌ ，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 ．
（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 ．（不用证明）
28．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将经过点（a，0）垂直于x轴的直线记为直线x＝a，将经过点（0，b）且垂直于y轴的直线记为直线y＝b．对于点P给出如下定义：将点P关于直线x＝a对称得到点P1，则称点P1为点P关于直线x＝a的“一次对应点”，再将点P1关于直线y＝b对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“二次对应点”．
已知△ABC顶点坐标为A（2，0），B（4，0），C（3，﹣3）．
（1）如图1，若点M（1，1）．
①将点A（2，0）关于直线x＝1对称得到点（0，0），再将点（0，0）关于直线y＝1对称得到点（0，2），则点A（2，0）关于点M“二次对应点”为（0，2）．请直接写出点B（4，0）关于直线x＝1的“一次对应点”； ；点C（3，﹣3）关于点M的“二次对应点”： ；
②若点P1（﹣1，n）和点P2（﹣1，n+1）关于x＝1的“一次对应点”分别为点Q1和点Q2，且线段Q1Q2与△ABC的边没有公共点，求n的取值范围；
（2）若点B关于点M的“二次对应点”为点Q3，且以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC全等，请直接写出所有满足条件的点M的坐标： ．
2023-2024学年北京市东城区广渠门中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）近年来国产手机品牌一直追求自主创新，实现技术突破，下列图片，是轴对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项A、B、D的图形均不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6
C．（﹣a3）2＝﹣a6D．2a3﹣a3＝1
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、（﹣a3）2＝a6，故C不符合题意；
D、2a3﹣a3＝a3，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．3cm，3cm，6cmB．2cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，12cmD．4cm，7cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+3＝6，不能组成三角形；
B、2+3＜6，不能组成三角形；
C、5+8＞12，能够组成三角形；
D、4+7＝11，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．（3分）点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（5，3）C．（﹣3，5）D．（3，5）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．
【解答】解：点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．（3分）已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（ ）
A．4B．8C．16D．﹣16
【分析】根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，据此即可求解．
【解答】解：∵x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，
∴则a可为：16．
故选：C．
【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
6．（3分）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A．PD＝PEB．OD＝OEC．∠DPO＝∠EPOD．PD＝OD
【分析】由已知条件认真思考，首先可得△POE≌△POD，进而可得PD＝PE，∠1＝∠2，∠DPO＝∠EPO；而OD，OP是无法证明是相等的，于是答案可得．
【解答】解：A、∵∠POB＝∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，正确，故本选项错误；
B、∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
∵OP＝OP，PE＝PD，
∴由勾股定理得：OE＝OD，正确，故本选项错误；
C、∵∠PEO＝∠PDO＝90°，∠POB＝∠POA，
∴由三角形的内角和定理得：∠DPO＝∠EPO，正确，故本选项错误；
D、根据已知不能推出PD＝OD，错误，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．（3分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（ ）
A．B．1C．D．a+b
【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝．
【解答】解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，
∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，
∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝，
故选：C．
【点评】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算是解题的关键．
8．（3分）如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
9．（3分）如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且阴影部分面积为3cm2，则S△ABC等于（ ）cm2
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据三角形的中线的性质求出S△BEC，计算即可．
【解答】解：∵F是CE边的中点，
∴S△BEC＝2×S△BEF＝6（cm2），
∵E是AD边的中点，
∴S△ABC＝2×S△BEC＝12（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
10．（3分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：
①a*b＝0，则a＝0且b＝0
②a*b＝b*a
③a*（b+c）＝a*b+a*c
④a*b＝（﹣a）*（﹣b）
正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．
【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，
∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，
∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，
a*b＝（a+b）2，b*a＝（b+a）2，
因此②符合题意，
a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2，故③不符合题意，
∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）2，
∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，
∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）
故④符合题意，
因此正确的个数有2个，
故选：B．
【点评】考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．
二.填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
11．（2分）＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂的定义求出答案即可．
【解答】解：（﹣）0＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了零指数幂，能熟记a0＝1（a≠0）是解此题的关键．
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 BD＝CD （写出一个即可）．
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
13．（2分）正十边形的每个外角的度数为 36 度，每个内角度数为 144 度．
【分析】利用多边形的内角和及外角和，根据正多边形的性质列式计算即可．
【解答】解：360°÷10＝36°；
＝144°；
即正十边形的每个外角的度数为36°，每个内角度数为144°，
故答案为：36；144．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．（2分）若am＝2，an＝3，则a2m+n＝ 12 ．
【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an，又由am＝2，an＝3，即可求得答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝22×3＝12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：（ab）n＝anbn（n是正整数）与同底数幂的乘法法则：am•an＝am+n（m，n是正整数），注意公式的逆用．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为 18 ．
【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．
【解答】解：法一、如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝6；
∴2λ2＝36，λ2＝18，
法二、如图，延长CB到点E，使BE＝CD，连接AE，
∴∠ABE+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABE，
∵AD＝AB，BE＝BC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠EAB＝∠DAC，AE＝AC，△ABM与△ADN的面积相等；
∴∠CAB+∠EAB＝∠BAC+∠DAC＝90°，即∠EAC＝90°，
∴△EAC是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝△EAC的面积＝×62＝18；
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形．可用旋转思想进行解答．
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第一的区县是 C ，上一年度排在第7，8，9名的区县依次是 HIG或EIG ．（写出一种符合条件的排序）
【分析】结合图表及选项对年度GDP的上升及下降情况进行分析，选出正确答案．
【解答】解：∵A的名次上升了，且最多上升了两位，同时C的名次下降了，且最多下降2位，
又∵B的名次没有变化，
∴上一年度排在前三位分别是C、B、A；
又∵E的名次下降，且前四名已经确定，
∵上一年度F排在第5名；
同理：上一年度G排在第9名；
E排在第6名，则H排在第7名；I排在第8名；
或E排在第7名，则H排在第6名；I排在第8名；
所以上一年度排在第7，8，9名的区县依次是HIG或EIG．
故答案为：C，HIG或EIG．
【点评】此题考查了推理与论证，难度稍大，能够正确理解图表中的升与降是解答问题的关键．
三.解答题（共12小题，共58分）
17．（4分）计算：
（1）3x2y•（﹣2xy）3．
（2）（5x+2y）（3x﹣2y）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法；
（2）利用多项式乘多项式法则计算．
【解答】解：（1）3x2y•（﹣2xy）3
＝3x2y•（﹣8x3y3）
＝﹣24x2+3y1+3
＝﹣24x5y4；
（2）（5x+2y）（3x﹣2y）
＝5x•3x﹣5x•2y+2y•3x﹣2y•2y
＝15x2﹣10xy+6xy﹣4y2
＝15x2﹣4xy﹣4y2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的乘法法则是解决本题的关键．
18．（4分）分解因式：
（1）9m2﹣4；
（2）2ax2+12ax+18a．
【分析】（1）利用平方差公式进行分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）9m2﹣4＝（3m+2）（3m﹣2）；
（2）2ax2+12ax+18a
＝2a（x2+6x+9）
＝2a（x+3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19．（5分）下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BE，CE
∵BA＝ BE ．
∴点B在线段AE的垂直平分线上（ 与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ），（填推理的依据）
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．
∴BC垂直平分AE．（ 两点确定一条直线 ），（填推理的依据）
∴AD是△ABC的高．
【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BA＝BE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C也在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）连接BE，CE，如图，
∵BA＝BE，
∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．
∴BC垂直平分AE（两点确定一条直线），
∴AD是△ABC的高．
故答案为BE；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
20．（5分）先化简，再求值：（2a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．
【分析】先根据平方差公式和多项式除以单项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）
＝2a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2
＝a2﹣2ab，
当a＝1，b＝﹣1时，
原式＝12﹣2×1×（﹣1）
＝1+2
＝3．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
21．（5分）如图，DE⊥AB于E，∠A＝25°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再利用三角形的内角定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE⊥AB，∠D＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°；
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣25°﹣45°＝110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并准确识图．理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
22．（5分）已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．
求证：∠B＝∠C．
【分析】易证△ABD≌△ACD根据全等三角形对应角相等的性质可得∠B＝∠C．
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△ACD是解题的关键．
23．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC位于如图所示位置．
（1）直接写出图中点A坐标 （1，2） ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）直接写出点A1的坐标 （﹣1，2） ；
（4）△A1B1C1的面积为 ．
【分析】（1）由图形直接写出点的坐标即可；
（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据图形写出点的坐标即可；
（4）根据割补法求解即可．
【解答】解：（1）A（1，2），
故答案为：（1，2）；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）A1（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（4）△A1B1C1的面积＝5×3﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
24．（5分）在日历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
（1）图①是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），先将位置b，d上的数相乘，再将位置a，e上的数相乘，最后把他们的积相减．
例如：6×20﹣5×21＝ 15 ，3×17﹣2×18＝ 15 ，发现结果都等于 15 ．
（2）设“Z”字型框架中位置c上的数为x，请用含x的代数式表示b•d＝ （x﹣7）（x+7） ，利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
【分析】（1）利用有理数的相应的法则进行运算即可；
（2）分别表示出a，b，d，e，再结合题意进行运算即可求证．
【解答】解：（1）6×20﹣5×21
＝120﹣105
＝15，
3×17﹣2×18
＝51﹣36
＝15，
发现结果都等于15；
故答案为：15，15，15；
（2）由题意得：a＝x﹣8，b＝x﹣7，d＝x+7，e＝x+8，
∴示b•d＝（x﹣7）（x+7），
∴bd﹣ae
＝（x﹣7）（x+7）﹣（x﹣8）（x+8）
＝x2﹣49﹣x2+64
＝15．
故答案为：（x﹣7）（x+7）．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
25．（5分）在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC，DE⊥AB于E，DF垂⊥AC于F．求证：BE＝CF．
【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF，由线段垂直平分线的性质可得BD＝DC，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得结论．
【解答】证明：如图，连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DG⊥BC且平分BC于点G，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
26．（5分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的式子变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x2+8x﹣1变形为（x+m）2+n的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：
x2﹣3x﹣40
＝x2﹣3x+32﹣32﹣40
＝（x﹣3）2﹣49
＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）
＝（x+4）（x﹣10）
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，然后再写出完整的、正确的解答过程．
正确的解答过程： x2﹣3x﹣40
＝x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣40
＝（x﹣）2﹣
＝（x﹣+）（x﹣﹣）
＝（x+5）（x﹣8） ．
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．
【分析】（1）利用配方法变形；
（2）根据配方法写出正确的解答过程；
（3）利用配方法、偶次方的非负性解答．
【解答】（1）解：x2+8x﹣1
＝x2+8x+42﹣42﹣1
＝（x+4）2﹣17；
（2）解：正确的解答过程：x2﹣3x﹣40
＝x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣40
＝（x﹣）2﹣
＝（x﹣+）（x﹣﹣）
＝（x+5）（x﹣8），
故答案为：（x+5）（x﹣8）；
（3）证明：x2+y2﹣2x﹣4y+16
＝x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+11
＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+11，
∵（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2+11＞0，
∴x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
27．（5分）已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明△ABE≌ △ADG ；再证明了△AEF≌ △AEG ，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 EF＝BE+FD ．
（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 EF＝BE﹣FD ．（不用证明）
【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．证明△ABE≌△ADG（SAS），得出AE＝AG，∠1＝∠2，证明△AEF≌△AGF（SAS），得出EF＝EG，进而可得结论；
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS）．可得AF＝AM，∠2＝∠3．然后证明△AME≌△AFE（SAS）．可得EF＝ME．进而可以得到结论；
（3）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．可得∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．然后可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
【解答】（1）证明：如图1中，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
∵∠ADG＝∠ABC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝EG，
∵FG＝FD+DG，
∴EF＝DF+BE，
故答案为：△ADG，△AEG，EF＝BE+FD；
（2）解：上述结论依然成立．
证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠MAE，
∴∠MAE＝∠FAE，
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME．
∴EF＝ME＝BE+BM＝BE+DF；
（3）解：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
故答案为：EF＝BE﹣FD．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．
28．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），将经过点（a，0）垂直于x轴的直线记为直线x＝a，将经过点（0，b）且垂直于y轴的直线记为直线y＝b．对于点P给出如下定义：将点P关于直线x＝a对称得到点P1，则称点P1为点P关于直线x＝a的“一次对应点”，再将点P1关于直线y＝b对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“二次对应点”．
已知△ABC顶点坐标为A（2，0），B（4，0），C（3，﹣3）．
（1）如图1，若点M（1，1）．
①将点A（2，0）关于直线x＝1对称得到点（0，0），再将点（0，0）关于直线y＝1对称得到点（0，2），则点A（2，0）关于点M“二次对应点”为（0，2）．请直接写出点B（4，0）关于直线x＝1的“一次对应点”； （﹣2，2） ；点C（3，﹣3）关于点M的“二次对应点”： （﹣1，5） ；
②若点P1（﹣1，n）和点P2（﹣1，n+1）关于x＝1的“一次对应点”分别为点Q1和点Q2，且线段Q1Q2与△ABC的边没有公共点，求n的取值范围；
（2）若点B关于点M的“二次对应点”为点Q3，且以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC全等，请直接写出所有满足条件的点M的坐标： （，）或（，﹣）或（，）或（，﹣） ．
【分析】（1）①根据题目的新定义求解即可；
②根据新定义表达出点Q1和点Q2，再分三种情况讨论即可；
（2）根据全等三角形的性质得出两种情况：AQ3＝AC，BQ3＝OC和BQ3＝AC，AQ3＝OC，运用勾股定理列出两点之间的距离方程来求出两种情况的Q3的坐标，再根据题目的新定义即可求出M的坐标．
【解答】解：（1）①∵点M（1，1）．
∴将点B（ 4，0）关于直线x＝l对称得到点（﹣2，0），再将点（﹣2，0）关于直线y＝1对称得到点（﹣2，2），
将点C（3，﹣3）关于直线x＝l对称得到点（﹣1，﹣3），再将点（﹣1，﹣3）关于直线y＝1对称得到点（﹣1，5），
∴点B（ 4，0）关于M的“对应点“为（﹣2，2），点C（3，﹣3）关于M的“对应点“为（﹣1，5），
故答案为：（﹣2，2），（﹣1，5）；
②∵点M（1，1）．
∴将点P1（﹣1，n）关于直线x＝l对称得到点（3，n），再将点（3，n）关于直线y＝1对称得到点（3，2﹣n），
∴点P1（﹣1，n）关于M的“对应点“为Q1（3，2﹣n），
同理得点P2（﹣1，n+1）关于M的“对应点“Q2为（3，1﹣n）．
线段Q1Q2与△ABC的边没有公共点有三种情况：
第一种情况：如图，线段Q1Q2在AB上方，
∴1﹣n＞0，
解得n＜1；
第二种情况：如图，线段Q1Q2在△ABC内部，
∴，
解得：2＜n＜4；
第三种情况：如图，线段Q1Q2在点C下方，
∴2﹣n＜﹣3，
解得n＞5；
综上所述，n的取值范围是n＜1或2＜n＜4或n＞5；
（2）∵A（2，0），B（4，0），C（3，﹣3）．
∴OC＝＝3，AC＝＝，AB＝OA＝2，
∴∠AOC＝45°，
∴以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC全等，有两种情况：
当AQ3＝AC，BQ3＝OC时，△ABQ3≌△AOC，
∴BQ3＝OC＝3，∠ABQ3＝∠AOC＝45°，
过Q3作Q3D⊥x轴于点D，
∴Q3D＝BD＝3，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∴Q3为（1，3）和（1，﹣3），
则由新定义可得a＝＝，b＝＝或b＝＝﹣，
∴点M的坐标为（，）或（，﹣）；
当BQ3＝AC，AQ3＝OC时，△ABQ3≌△OAC，
同理得Q3为（5，3）和（5，﹣3），
则由新定义可得a＝＝，b＝＝或b＝＝﹣，
∴点M的坐标为（，）或（，﹣）；
综上所述，所有满足条件的点M的坐标（，）或（，﹣）或（，）或（，﹣）．
故答案为：（，）或（，﹣）或（，）或（，﹣）．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了平面直角坐标系的新定义，轴对称的性质，中点坐标公式，全等三角形的性质，掌握“对应点”的定义以及分类思想的运用是解题的关键．
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已知：△ABC
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；
（2）作直线AE交BC边于点D．
所以线段AD就是所求作的高．
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求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；
（2）作直线AE交BC边于点D．
所以线段AD就是所求作的高．