2021-2022学年北京市东城区广渠门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市东城区广渠门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。

A．3，﹣1，﹣2B．3，1，﹣2C．3，﹣1，2D．3，1，2
2．（2分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．中秋节晚上能看到月亮
B．今天考试小明能得满分
C．早上的太阳从东方升起
D．明天气温会升高
4．（2分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1
5．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
6．（2分）若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
7．（2分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
8．（2分）小宇承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小宇移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小宇移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二.填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是 ．
10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 °．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值 ．
12．（2分）某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为 ．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 ．
14．（2分）一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 ．
15．（2分）在Rt△ABD中，∠B＝90°，点C在线段AD上，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F，使得四边形CEBF为正方形，此时AC＝3cm，CD＝4cm，则阴影部分面积为 cm2．
16．（2分）如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）解方程：x2+4x＝6．
18．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
19．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
20．（5分）如图，在⊙O中，＝，求证：∠B＝∠C．
21．（5分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
22．（5分）表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）当x＞0时，y的取值范围是 ；
（3）当抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是 ．
23．（6分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
24．（6分）在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4，现从中随机抽取一个（不放回），再从剩下的3个中随机抽取第二个小球．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）计算取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？
25．（6分）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
26．（6分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b的对称轴；
（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．
①当MN＝2时，求b的值；
②当PM+PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝60°，AC＝BC，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．
（1）①依题意补全图1；
②探究线段AB、BD、BE之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）若AB＝6，AD＝2，求BE的长（直接写出答案）
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是 ．
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
2021-2022学年北京市东城区广渠门中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣1，﹣2B．3，1，﹣2C．3，﹣1，2D．3，1，2
【分析】找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】解：方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣1，﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．（2分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．（2分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．中秋节晚上能看到月亮
B．今天考试小明能得满分
C．早上的太阳从东方升起
D．明天气温会升高
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、B、D都是随机事件，故该选项错误；
C、是一定会发生的事件，是必然事件．
故选：C．
【点评】关键是理解必然事件就是一定发生的事件．
解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
4．（2分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+22＝5+22，
（x+2）2＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
5．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（2分）若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．
【解答】解：根据弧长的公式l＝，得
n＝＝＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l＝是解题的关键．
7．（2分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y＝﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【分析】首先求得抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是直线x＝1，利用二次函数的性质，点M、N在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，得出答案即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．
8．（2分）小宇承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小宇移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小宇移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．
【解答】解：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；
③若小宇移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；
④若小宇移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
二.填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．
10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 105 °．
【分析】由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案为：105．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值 2（答案不唯一） ．
【分析】根据函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，
∴当y＜0的x的取值范围是：1＜x＜3，
∴x的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．
12．（2分）某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为 200（1+x）2＝320 ．
【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为x，根据该商店今年8月份及10月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，
依题意，得：200（1+x）2＝320，
故答案为：200（1+x）2＝320．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 30° ．
【分析】先利用切线的性质得到∠CAP＝90°，则利用互余计算出∠PAB＝75°，再根据切线长定理得到PA＝PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠P的度数．
【解答】解：∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝75°，
∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．（2分）一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 ．
【分析】让白球的个数除以球的总数即为所求的概率．
【解答】解：因为个袋子中装有6个黑球3个白球，共9个球，
所以随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
15．（2分）在Rt△ABD中，∠B＝90°，点C在线段AD上，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F，使得四边形CEBF为正方形，此时AC＝3cm，CD＝4cm，则阴影部分面积为 6 cm2．
【分析】将△CFD绕点C顺时针旋转90°，得到△CEM，由旋转的性质得出CD＝CM，∠FCD＝∠ECM，由正方形的性质得出CE＝CF，∠ECF＝90°，证出∠ACM＝90°，由三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：将△CFD绕点C顺时针旋转90°，得到△CEM，
∴CD＝CM，∠FCD＝∠ECM，
∵四边形CEBF为正方形，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠ACE+∠FCD＝90°，
∴∠ACE+∠ECM＝90°，
∴∠ACM＝90°，
∴阴影部分面积＝S△ACE+S△ECM
＝S△ACM
＝AC•CM
＝×3×4
＝6（cm2）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，证出∠ACM＝90°是解题的关键．
16．（2分）如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于 2+ ．
【分析】根据三角形三边关系OF≤OD+DF，则点F运动至OC上时，OF长度最大，因为此时F是AB的中点，则OF⊥AB，此时A、B关于OC对称，解直角三角形即可求得OF的长度．
【解答】解：∵当点F运动至OC上时，OF长度最大，如图，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB，
设OF为x，则DF＝x﹣4，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，
在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
∵OB＝OC＝6，
∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）
∴OF的长的最大值等于2+，
故答案为2+．
方法二：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图1，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）2＝2AE2+2x2+2y2、
＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．
如图2，连接DF，取OD的中点E，连接EF，
∵DF是△ABD的中线，EF是△OFD的中线，OF是△AOB的中线，
∵2EF2+2OE2＝OF2+FD2，
2FD2+2BF2＝BD2+AD2，
OF2＝OB2﹣BF2，
∴4EF2＝2OB2﹣4OE2＝2OB2﹣OD2，
∴EF2＝OB2﹣OD2＝﹣×42＝14，
∴EF＝
在△OFE中，OE＝2，EF＝，
∵OF≤OE+EF，
∴OF长的最大值为2+．
故答案为：2+．
【点评】本题考查了垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，确定点F与点D运动至共线时，OF长度最大是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）解方程：x2+4x＝6．
【分析】配方法求解即可．
【解答】解：x2+4x+4＝10，
（x+2）2＝10，
x+2＝±，
x＝﹣2±，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法是解题的关键．
18．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA＝BD，从而得到∠A＝∠ADB，根据∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，从而证得结论．
【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA＝BD．
∴∠A＝∠ADB．
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．
19．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20．（5分）如图，在⊙O中，＝，求证：∠B＝∠C．
【分析】由于＝，所以AB＝CD，故∠AOB＝∠COD，进而证明即可．
【解答】证明：∵在⊙O中，＝，
∴AB＝CD，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴在△AOB中，∠B＝90°﹣，
在△COD中，∠C＝90°﹣，
∴∠B＝∠C．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据＝，得出∠AOB＝∠COD．
21．（5分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知Δ＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，Δ＞0，
则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵k为负整数，
∴k＝﹣1，
则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝4k+5＞0；（2）将k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．
22．（5分）表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
（1）二次函数图象的开口向 上 ，顶点坐标是 （1，﹣2） ，m的值为 2 ；
（2）当x＞0时，y的取值范围是 y≥﹣2 ；
（3）当抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是 n＞﹣3 ．
【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令x＝﹣1代入可求得m的值；
（2）由二次函数的解析式可求得其增减性，当x＞0时，可知其有最小值，无最大值，可求得y的取值范围；
（3）在y＝x+n中，令x＝1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．
【解答】解：
（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得
，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），
令x＝﹣1，代入可得m＝2，
故答案为：上；（1，﹣2）；2；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1时，y有最小值﹣2，
∴当x＞0时，y≥﹣2，
故答案为：y≥﹣2；
（3）在y＝x+n中，令x＝1代入可得y＝1+n，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，
∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，
故答案为：n＞﹣3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
23．（6分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
【分析】先求出钢球的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢球的直径是10mm，
∴钢球的半径是5mm，
∵钢球顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．（6分）在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4，现从中随机抽取一个（不放回），再从剩下的3个中随机抽取第二个小球．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）计算取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？
【分析】（1）画树状图，即可得出结论；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树形图如下：
由以上可知共有12种可能结果分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的数字之积为奇数的结果有2种，
∴取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（6分）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°．
∴∠EDC＝30°．
∴∠ODE＝90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴，．
∵∠EDC＝30°，
∴．
∴FE＝FC﹣EC＝1．
【点评】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
26．（6分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b的对称轴；
（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．
①当MN＝2时，求b的值；
②当PM+PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）利用x＝0和x＝4时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴x＝＝2；
（2）①不妨设点M在点N的左侧．由MN＝2，根据对称性可知点M（1，1），点N（3，1）；
②由图象直接可得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
∴对称轴为直线x＝＝2；
（2）①不妨设点M在点N的左侧．
∵对称轴为直线x＝2，MN＝2，
∴点M的坐标为（1，1），点N的坐标为（3，1），
∴x＝﹣＝2，1＝1﹣a+b，
∴a＝4，b＝4；
②∵a＝4，
∴y＝x2﹣4x+b，
过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣4x+b的图象交于不同的两点M、N．
∴1＝x2﹣4x+b有两个不同的根，
∴Δ＝16﹣4b+4＞0，
∴b＜5，
∵x1+x2＝4，
∴1≤b＜5．
【点评】考查知识点：二次函数图象的对称性．对称轴两侧的点到对称轴的距离相等是解题的关键点．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝60°，AC＝BC，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．
（1）①依题意补全图1；
②探究线段AB、BD、BE之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）若AB＝6，AD＝2，求BE的长（直接写出答案）
【分析】（1）①根据旋转变换的性质画出图形即可；
②只要证明△CAD≌△BAE．推出BE＝CD，可得AB＝BC＝CD+BD＝BE+DB；、
（2）如图2中，作EH⊥CB交CB的延长线于H．设BE＝x．在Rt△EBH中，∠EBH＝60°，推出∠BEH＝30°，可得BH＝x，EH＝x，在Rt△DEH中，根据DE2＝DH2+EH2，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）①如图1中，旋转后的图形如图所示．
②结论：AB＝BE+DB．
理由：∵∠C＝60°，AC＝BC，AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ACB，△ADE度数等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，AD＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE．
∴BE＝CD，
∴AB＝BC＝CD+BD＝BE+DB．
（2）如图2中，作EH⊥CB交CB的延长线于H．设BE＝x．
∵AC＝AB＝6，AB＝BD+BE，
∴DB＝6﹣x，
∵△CAD≌△BAE，
∴∠ABE＝∠C＝60°，
在Rt△EBH中，∠EBH＝60°，
∴∠BEH＝30°，
∴BH＝x，EH＝x，
在Rt△DEH中，∵DE2＝DH2+EH2，DE＝AD＝2，DH＝6﹣x，
∴28＝（6﹣x）2+（x）2，
解得x＝2或4，
∴BE的长为2或4．
【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是 P2，P3 ．
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得OP1＝，OP2＝1，OP3＝，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；如图3，当圆过点O，则AC＝1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），于是得到结论．
【解答】解：（1）①∵点，
∴，
∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，
∴⊙O的关联点是P2，P3；
故答案为：P2，P3；
②根据定义分析，可得当直线y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，
∴设P（x，﹣x），当OP＝1时，
由距离公式得，，
∴，
当OP＝3时，，
解得：；
∴点P的横坐标的取值范围为：，或；
（2）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA＝3，
∴C（﹣2，0），
如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，
∴CD＝1，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线AB与x轴的夹角为45°，
∴，
∴，
∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣；
如图3，当圆过点O，则AC＝1，
∴C（2，0），
如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC＝3，
∴，
∴．
∴圆心C的横坐标的取值范围为：；
综上所述：圆心C的横坐标的取值范围为：或．
【点评】本题是圆的综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/21 21:50:00；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052移植棵数（n）
成活数（m）
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