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2023-2024学年北京市十一学校分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】
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这是一份2023-2024学年北京市十一学校分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日～2023年10月8日在中华人民共和国杭州市举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝2aB．（a2）3＝a6C．（ab）2＝ab2D．a8÷a2＝a4
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
4．（3分）等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，则它的周长是（ ）
A．17cmB．22cm
C．17cm或22cmD．无法确定
5．（3分）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝（ ）
A．2B．15C．8D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
7．（3分）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3αB．∠DEF＝2α
C．∠DEF＝2α﹣xD．∠DEF＝180°﹣3α
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为 ．
10．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 ．
11．（3分）已知x2+y2＝7，（x+y）2＝9，则xy＝ ．
12．（3分）一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 cm．
14．（3分）如图，AB＝4，AC＝3，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD周长为 ．
15．（3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
16．（3分）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共52分，其中17题9分，18题4分，19-22题5分，23-24题6分，25题7分）
17．（9分）计算：
（1）x2（x3+3x﹣2）；
（2）（n﹣2）（n+5）；
（3）（x2y3﹣2x3y2）÷x2y．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．
19．（5分）已知x2+x+1＝0，求代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）的值．
20．（5分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ ．（ ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（ ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C．
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD．
∴∠ABC＞∠C．
21．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数．
22．（5分）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
（1）填空：等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 ．
23．（6分）李老师在计算下列式子时发现了一些规律．
1×2×3×4+1＝（1×4+1）2；
2×3×4×5+1＝（2×5+1）2；
3×4×5×6+1＝（3×6+1）2；
…
对第n个式子进行猜想得n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝ ．
下面开始对猜想进行证明．
n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝n（n+3）[ ]+1＝（n2+3n）（ ）+1（依据：乘法交换律、乘法结合律）
下面请继续完成猜想的证明．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将点M（x，y）到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为d（M）．即：如果|x|≥|y|，那么d（M）＝|x|；如果|x|＜|y|，那么d（M）＝|y|．例如：点M（1，2）的“相对轴距”d（M）＝2．
（1）点P（﹣2，1）的“相对轴距”d（P）＝ ；
（2）请在图1中画出“相对轴距”与点P（﹣2，1）的“相对轴距”相等的点组成的图形；
（3）已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点M，N是△ABC内部（含边界）的任意两点．
①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围；
②将△ABC向左平移k（k＞0）个单位得到△A'B'C'，点M'与点N'为△A'B'C'内部（含边界）的任意两点，并且点M'与点N'的“相对轴距”之比的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围相同，请直接写出k的取值范围．
2023-2024学年北京市十一学校分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，选出答案后在答题纸上用2B铅笔把对应题目的选项字母涂黑。（共24分，每小题3分）
1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日～2023年10月8日在中华人民共和国杭州市举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝2aB．（a2）3＝a6C．（ab）2＝ab2D．a8÷a2＝a4
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a＝a3，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；
D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．（3分）等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，则它的周长是（ ）
A．17cmB．22cm
C．17cm或22cmD．无法确定
【分析】分为两种情况：①当腰是4cm时，②当腰是9cm时，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
【解答】解：当腰是4cm时，∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形三边关系定理，此种情况不行；
当腰是9cm时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，注意要进行分类讨论啊．
5．（3分）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝（ ）
A．2B．15C．8D．
【分析】根据同底数幂除法法则计算即可．
【解答】解：∵ax＝5，ay＝3，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝5÷3＝，
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂除法，将原式化为ax÷ay是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PC的最小值即为线段AB的长度．
【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线MN对称，
∴线段AB与直线MN的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，
∴PA+PC的最小值是3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质找到点P的位置是解题的难点．
7．（3分）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AE，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；故①正确；
如图，作AC的垂直平分线交AC于O，连接OD，OE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵AE＝CD．AC＝CA，
∴△ACD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECA，
∵AO＝OC，
∴△AOD≌△COE（SAS），
∴OD＝OE，
∴点A与点C，点D与点E关于线段AC的垂直平分线对称，
∴△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；故②正确；
把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，得不到到△ABC，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3αB．∠DEF＝2α
C．∠DEF＝2α﹣xD．∠DEF＝180°﹣3α
【分析】由等腰三角形的性质求出∠CEP，由三角形外角的性质可求∠PAB，∠DEP，由平角定义即可求出∠DEF．
【解答】解：∵EC＝EP，
∴∠ECP＝∠EPC＝x，
∴∠CEP＝180°﹣2x，
∵∠APC＝∠B+∠PAB，
∴∠PAB＝∠APC﹣∠B，
∴∠PAB＝x﹣α，
∵ED＝EA，
∴∠EAD＝∠EDA＝x﹣α，
∴∠DEP＝∠EAD+∠EDA＝2x﹣2α，
∵∠DEF＝180°﹣∠CEP﹣∠DEP，
∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣2x）﹣（2x﹣2α）＝2α．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为 （3，1） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，比较简单．
10．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 6 ．
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360÷60＝6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
11．（3分）已知x2+y2＝7，（x+y）2＝9，则xy＝ 1 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9①，x2+y2＝7②，
①﹣②得：2xy＝9﹣7＝2，
∴xy＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
12．（3分）一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 75° ．
【分析】首先根据题意得到∠AFC，∠B，∠E，∠EDB的度数，再根据邻补角定义得到∠DFB的度数，根据三角形内角和定理得到∠FDB的度数，进而可求出∠α的度数．
【解答】解：∵∠AFC＝60°，
∴∠DFB＝120°，
∵∠B＝45°，
∴∠FDB＝15°，
∵∠BDE＝90°，
∴∠α＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，关键是理清角之间的和差关系．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 4 cm．
【分析】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE＝CD，从而得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝11cm，BD＝7cm，
∴CD＝BC﹣BD＝11﹣7＝4cm，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4cm，
即点D到直线AB的距离是4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
14．（3分）如图，AB＝4，AC＝3，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD周长为 7 ．
【分析】先根据点D在BC的垂直平分线上得出BD＝CD，故△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC．
【解答】解：∵D是AB上一点，点D在BC的垂直平分线上，
∴BD＝CD，
∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
15．（3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 a2+b2 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4 块．
【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；
（2）利用完全平方公式可求解．
【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，
故答案为：a2+b2；
（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
16．（3分）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得到形状唯一确定的△PAQ，否则不能得到形状唯一确定的△PAQ．根据此观点进行解答便可．
【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，关键是确定以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM的交点个数．
三、解答题（共52分，其中17题9分，18题4分，19-22题5分，23-24题6分，25题7分）
17．（9分）计算：
（1）x2（x3+3x﹣2）；
（2）（n﹣2）（n+5）；
（3）（x2y3﹣2x3y2）÷x2y．
【分析】（1）根据单项式乘多项式计算即可；
（2）根据多项式乘多项式计算即可；
（3）根据多项式除以单项式计算即可．
【解答】解：（1）x2（x3+3x﹣2）＝x5+3x3﹣2x2；
（2）（n﹣2）（n+5）
＝n2+5n﹣2n﹣10
＝n2+3n﹣10；
（3）（x2y3﹣2x3y2）÷x2y
＝x2y3÷x2y﹣2x3y2÷x2y
＝y2﹣2xy．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．
【分析】连接AC，证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC＝CD，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABC≌Rt△ADC是解此题的关键．
19．（5分）已知x2+x+1＝0，求代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）的值．
【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式＝x2+2x+1+x2﹣1
＝2x2+2x．
∵x2+x+1＝0，
∴x2+x＝﹣1．
∴原式＝2（x2+x）＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．
20．（5分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ∠ABC＞∠C ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ ADB ．（ 等边对等角 ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C．
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD．
∴∠ABC＞∠C．
【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．
【解答】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：∠ABC＞∠C．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴∠ABC＞∠C．
故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得∠ABC＝40°，∠BAD＝50°，根据角平分线的定义得∠ABE＝20°，利用三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝＝40°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝20°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是中线，
∴∠BAD＝50°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝70°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键．
22．（5分）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
（1）填空：等边三角形 不存在 （填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形 存在 （填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 112.5°或135°或140° ．
【分析】（2）根据“分割线”和“黄金分割线”判断即可得出结论；
（3）分三种情况分别画图可得∠B的度数．
【解答】解：（1）等边三角形不存在“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，如图所示，
故答案为：不存在，存在；
（2）如图，AD＝AB，DB＝DC，
则∠ADB＝∠ABD＝75°，
∴∠C＝37.5°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°；
如图，AB＝BD，BD＝CD，
∴∠A＝∠ADB＝30°，∠C＝∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝120°，
∴∠ABC＝120°+15°＝135°；
如图，AB＝BD，AD＝CD，
∴∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠DAC，
∵∠DAC+∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；
综上，写出∠ABC的所有可能的角是：112.5°或135°或140°．
故答案为：112.5°或135°或140°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的“分割线”，三角形的“黄金分割线”的定义等知识，理解新定义，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
23．（6分）李老师在计算下列式子时发现了一些规律．
1×2×3×4+1＝（1×4+1）2；
2×3×4×5+1＝（2×5+1）2；
3×4×5×6+1＝（3×6+1）2；
…
对第n个式子进行猜想得n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝ [n（n+3）+1]2 ．
下面开始对猜想进行证明．
n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝n（n+3）[ （n+1）（n+2） ]+1＝（n2+3n）（ n2+3n+2 ）+1（依据：乘法交换律、乘法结合律）
下面请继续完成猜想的证明．
【分析】仿照题目中的算式猜想、归纳规律，并进行推导证明．
【解答】解：∵第1个式子为：1×2×3×4+1＝（1×4+1）2；
第2个式子为：2×3×4×5+1＝（2×5+1）2；
第3个式子为：3×4×5×6+1＝（3×6+1）2；
…
∴第n个式子为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2；
证明，n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝n（n+3）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2
＝[n（n+3）+1]2，
故答案为：[n（n+3）+1]2；（n+1）（n+2）；n2+3n+2；（证明略）．
【点评】此题考查了整式乘法中规律问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识进行猜想、归纳和证明．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接CM，由等腰三角形的性质得出AD垂直平分线段CD，∠ABD＝∠ACD，证出BM＝CM＝EM，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）在线段AC上取一点G，使得AG＝AM，连接MG，证出△AMG是等边三角形，由等边三角形的性质得出AG＝AM＝MG，∠EGM＝60°，证明△BAM≌△EGM（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝EG，则可得出结论．
【解答】解：（1）∠ABM＝∠AEM，
理由如下：连接CM，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD垂直平分线段CB，∠ABD＝∠ACD，
即∠ABM+∠MBD＝∠ACM+∠MCD，
∴BM＝CM，
∵ME＝MB，
∴BM＝CM＝EM，
∴∠MBD＝∠MCD，∠AEM＝∠ACM，
∵∠ABM+∠MBD＝∠ACM+∠MCD，
∴∠ABM＝∠AEM；
（2）AB＝AM+AE．
证明：在线段AC上取一点G，使得AG＝AM，连接MG，
∵AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝120°，
∴∠BAM＝∠CAD＝60°，
∵AG＝AM，
∴△AMG是等边三角形，
∴AG＝AM＝MG，∠EGM＝60°，
∴∠BAM＝∠EGM，
在△BAM和△EGM中，
，
∴△BAM≌△EGM（AAS），
∴AB＝EG，
∵EG＝AE+AG，AG＝AM，
∴AB＝AM+AE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将点M（x，y）到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为d（M）．即：如果|x|≥|y|，那么d（M）＝|x|；如果|x|＜|y|，那么d（M）＝|y|．例如：点M（1，2）的“相对轴距”d（M）＝2．
（1）点P（﹣2，1）的“相对轴距”d（P）＝ 2 ；
（2）请在图1中画出“相对轴距”与点P（﹣2，1）的“相对轴距”相等的点组成的图形；
（3）已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点M，N是△ABC内部（含边界）的任意两点．
①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围；
②将△ABC向左平移k（k＞0）个单位得到△A'B'C'，点M'与点N'为△A'B'C'内部（含边界）的任意两点，并且点M'与点N'的“相对轴距”之比的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围相同，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据定义即可求解；
（2）这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形；
（3）①分别求出1≤d（M）≤3，1≤d（N）≤3，即可求；
②由题意可知≤≤3，根据①可知d（M'）、d（N'）的最值在A'、B'、C'处取得，则有|1﹣k|≤1，|3﹣k|≤3，|2﹣k|≤3，求出k的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可得，d（P）＝2，
故答案为：2；
（2）∵点P（﹣2，1）的“相对轴距”d（P）＝2，
∴这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形，如图中正方形；
（3）①∵点M，N是△ABC内部（含边界）的任意两点，
∴1≤d（M）≤3，1≤d（N）≤3，
∴；
②∵将△ABC向左平移k（k＞0）个单位得到△A'B'C'，
∴A'（1﹣k，1），B'（2﹣k，3），C'（3﹣k，2），
由题意可知≤≤3，
∴d（M'）、d（N'）的最值在A'、B'、C'处取得，
∴|1﹣k|≤1，|3﹣k|≤3，|2﹣k|≤3，
∵k＞0，
∴0＜k≤2．
【点评】本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，理解定义，掌握坐标平移的性质是解题的关键．
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1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日～2023年10月8日在中华人民共和国杭州市举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝2aB．（a2）3＝a6C．（ab）2＝ab2D．a8÷a2＝a4
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
4．（3分）等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，则它的周长是（ ）
A．17cmB．22cm
C．17cm或22cmD．无法确定
5．（3分）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝（ ）
A．2B．15C．8D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
7．（3分）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3αB．∠DEF＝2α
C．∠DEF＝2α﹣xD．∠DEF＝180°﹣3α
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为 ．
10．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 ．
11．（3分）已知x2+y2＝7，（x+y）2＝9，则xy＝ ．
12．（3分）一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 cm．
14．（3分）如图，AB＝4，AC＝3，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD周长为 ．
15．（3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
16．（3分）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共52分，其中17题9分，18题4分，19-22题5分，23-24题6分，25题7分）
17．（9分）计算：
（1）x2（x3+3x﹣2）；
（2）（n﹣2）（n+5）；
（3）（x2y3﹣2x3y2）÷x2y．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．
19．（5分）已知x2+x+1＝0，求代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）的值．
20．（5分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ ．（ ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（ ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C．
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD．
∴∠ABC＞∠C．
21．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数．
22．（5分）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
（1）填空：等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 ．
23．（6分）李老师在计算下列式子时发现了一些规律．
1×2×3×4+1＝（1×4+1）2；
2×3×4×5+1＝（2×5+1）2；
3×4×5×6+1＝（3×6+1）2；
…
对第n个式子进行猜想得n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝ ．
下面开始对猜想进行证明．
n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝n（n+3）[ ]+1＝（n2+3n）（ ）+1（依据：乘法交换律、乘法结合律）
下面请继续完成猜想的证明．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将点M（x，y）到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为d（M）．即：如果|x|≥|y|，那么d（M）＝|x|；如果|x|＜|y|，那么d（M）＝|y|．例如：点M（1，2）的“相对轴距”d（M）＝2．
（1）点P（﹣2，1）的“相对轴距”d（P）＝ ；
（2）请在图1中画出“相对轴距”与点P（﹣2，1）的“相对轴距”相等的点组成的图形；
（3）已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点M，N是△ABC内部（含边界）的任意两点．
①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围；
②将△ABC向左平移k（k＞0）个单位得到△A'B'C'，点M'与点N'为△A'B'C'内部（含边界）的任意两点，并且点M'与点N'的“相对轴距”之比的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围相同，请直接写出k的取值范围．
2023-2024学年北京市十一学校分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，选出答案后在答题纸上用2B铅笔把对应题目的选项字母涂黑。（共24分，每小题3分）
1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日～2023年10月8日在中华人民共和国杭州市举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝2aB．（a2）3＝a6C．（ab）2＝ab2D．a8÷a2＝a4
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a＝a3，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；
D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．（3分）等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，则它的周长是（ ）
A．17cmB．22cm
C．17cm或22cmD．无法确定
【分析】分为两种情况：①当腰是4cm时，②当腰是9cm时，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．
【解答】解：当腰是4cm时，∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形三边关系定理，此种情况不行；
当腰是9cm时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，注意要进行分类讨论啊．
5．（3分）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝（ ）
A．2B．15C．8D．
【分析】根据同底数幂除法法则计算即可．
【解答】解：∵ax＝5，ay＝3，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝5÷3＝，
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂除法，将原式化为ax÷ay是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PC的最小值即为线段AB的长度．
【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线MN对称，
∴线段AB与直线MN的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，
∴PA+PC的最小值是3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质找到点P的位置是解题的难点．
7．（3分）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AE，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；故①正确；
如图，作AC的垂直平分线交AC于O，连接OD，OE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵AE＝CD．AC＝CA，
∴△ACD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECA，
∵AO＝OC，
∴△AOD≌△COE（SAS），
∴OD＝OE，
∴点A与点C，点D与点E关于线段AC的垂直平分线对称，
∴△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；故②正确；
把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，得不到到△ABC，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3αB．∠DEF＝2α
C．∠DEF＝2α﹣xD．∠DEF＝180°﹣3α
【分析】由等腰三角形的性质求出∠CEP，由三角形外角的性质可求∠PAB，∠DEP，由平角定义即可求出∠DEF．
【解答】解：∵EC＝EP，
∴∠ECP＝∠EPC＝x，
∴∠CEP＝180°﹣2x，
∵∠APC＝∠B+∠PAB，
∴∠PAB＝∠APC﹣∠B，
∴∠PAB＝x﹣α，
∵ED＝EA，
∴∠EAD＝∠EDA＝x﹣α，
∴∠DEP＝∠EAD+∠EDA＝2x﹣2α，
∵∠DEF＝180°﹣∠CEP﹣∠DEP，
∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣2x）﹣（2x﹣2α）＝2α．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为 （3，1） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，比较简单．
10．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 6 ．
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360÷60＝6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
11．（3分）已知x2+y2＝7，（x+y）2＝9，则xy＝ 1 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9①，x2+y2＝7②，
①﹣②得：2xy＝9﹣7＝2，
∴xy＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
12．（3分）一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 75° ．
【分析】首先根据题意得到∠AFC，∠B，∠E，∠EDB的度数，再根据邻补角定义得到∠DFB的度数，根据三角形内角和定理得到∠FDB的度数，进而可求出∠α的度数．
【解答】解：∵∠AFC＝60°，
∴∠DFB＝120°，
∵∠B＝45°，
∴∠FDB＝15°，
∵∠BDE＝90°，
∴∠α＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，关键是理清角之间的和差关系．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 4 cm．
【分析】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE＝CD，从而得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝11cm，BD＝7cm，
∴CD＝BC﹣BD＝11﹣7＝4cm，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4cm，
即点D到直线AB的距离是4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
14．（3分）如图，AB＝4，AC＝3，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD周长为 7 ．
【分析】先根据点D在BC的垂直平分线上得出BD＝CD，故△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC．
【解答】解：∵D是AB上一点，点D在BC的垂直平分线上，
∴BD＝CD，
∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
15．（3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 a2+b2 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4 块．
【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；
（2）利用完全平方公式可求解．
【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，
故答案为：a2+b2；
（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
16．（3分）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得到形状唯一确定的△PAQ，否则不能得到形状唯一确定的△PAQ．根据此观点进行解答便可．
【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，关键是确定以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM的交点个数．
三、解答题（共52分，其中17题9分，18题4分，19-22题5分，23-24题6分，25题7分）
17．（9分）计算：
（1）x2（x3+3x﹣2）；
（2）（n﹣2）（n+5）；
（3）（x2y3﹣2x3y2）÷x2y．
【分析】（1）根据单项式乘多项式计算即可；
（2）根据多项式乘多项式计算即可；
（3）根据多项式除以单项式计算即可．
【解答】解：（1）x2（x3+3x﹣2）＝x5+3x3﹣2x2；
（2）（n﹣2）（n+5）
＝n2+5n﹣2n﹣10
＝n2+3n﹣10；
（3）（x2y3﹣2x3y2）÷x2y
＝x2y3÷x2y﹣2x3y2÷x2y
＝y2﹣2xy．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．
【分析】连接AC，证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC＝CD，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABC≌Rt△ADC是解此题的关键．
19．（5分）已知x2+x+1＝0，求代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）的值．
【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式＝x2+2x+1+x2﹣1
＝2x2+2x．
∵x2+x+1＝0，
∴x2+x＝﹣1．
∴原式＝2（x2+x）＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．
20．（5分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ∠ABC＞∠C ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ ADB ．（ 等边对等角 ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C．
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD．
∴∠ABC＞∠C．
【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．
【解答】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：∠ABC＞∠C．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴∠ABC＞∠C．
故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得∠ABC＝40°，∠BAD＝50°，根据角平分线的定义得∠ABE＝20°，利用三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝＝40°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝20°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是中线，
∴∠BAD＝50°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝70°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键．
22．（5分）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．
（1）填空：等边三角形 不存在 （填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形 存在 （填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可能 112.5°或135°或140° ．
【分析】（2）根据“分割线”和“黄金分割线”判断即可得出结论；
（3）分三种情况分别画图可得∠B的度数．
【解答】解：（1）等边三角形不存在“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，如图所示，
故答案为：不存在，存在；
（2）如图，AD＝AB，DB＝DC，
则∠ADB＝∠ABD＝75°，
∴∠C＝37.5°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°；
如图，AB＝BD，BD＝CD，
∴∠A＝∠ADB＝30°，∠C＝∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝120°，
∴∠ABC＝120°+15°＝135°；
如图，AB＝BD，AD＝CD，
∴∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠DAC，
∵∠DAC+∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；
综上，写出∠ABC的所有可能的角是：112.5°或135°或140°．
故答案为：112.5°或135°或140°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的“分割线”，三角形的“黄金分割线”的定义等知识，理解新定义，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
23．（6分）李老师在计算下列式子时发现了一些规律．
1×2×3×4+1＝（1×4+1）2；
2×3×4×5+1＝（2×5+1）2；
3×4×5×6+1＝（3×6+1）2；
…
对第n个式子进行猜想得n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝ [n（n+3）+1]2 ．
下面开始对猜想进行证明．
n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝n（n+3）[ （n+1）（n+2） ]+1＝（n2+3n）（ n2+3n+2 ）+1（依据：乘法交换律、乘法结合律）
下面请继续完成猜想的证明．
【分析】仿照题目中的算式猜想、归纳规律，并进行推导证明．
【解答】解：∵第1个式子为：1×2×3×4+1＝（1×4+1）2；
第2个式子为：2×3×4×5+1＝（2×5+1）2；
第3个式子为：3×4×5×6+1＝（3×6+1）2；
…
∴第n个式子为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2；
证明，n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝n（n+3）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2
＝[n（n+3）+1]2，
故答案为：[n（n+3）+1]2；（n+1）（n+2）；n2+3n+2；（证明略）．
【点评】此题考查了整式乘法中规律问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识进行猜想、归纳和证明．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接CM，由等腰三角形的性质得出AD垂直平分线段CD，∠ABD＝∠ACD，证出BM＝CM＝EM，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）在线段AC上取一点G，使得AG＝AM，连接MG，证出△AMG是等边三角形，由等边三角形的性质得出AG＝AM＝MG，∠EGM＝60°，证明△BAM≌△EGM（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝EG，则可得出结论．
【解答】解：（1）∠ABM＝∠AEM，
理由如下：连接CM，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD垂直平分线段CB，∠ABD＝∠ACD，
即∠ABM+∠MBD＝∠ACM+∠MCD，
∴BM＝CM，
∵ME＝MB，
∴BM＝CM＝EM，
∴∠MBD＝∠MCD，∠AEM＝∠ACM，
∵∠ABM+∠MBD＝∠ACM+∠MCD，
∴∠ABM＝∠AEM；
（2）AB＝AM+AE．
证明：在线段AC上取一点G，使得AG＝AM，连接MG，
∵AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝120°，
∴∠BAM＝∠CAD＝60°，
∵AG＝AM，
∴△AMG是等边三角形，
∴AG＝AM＝MG，∠EGM＝60°，
∴∠BAM＝∠EGM，
在△BAM和△EGM中，
，
∴△BAM≌△EGM（AAS），
∴AB＝EG，
∵EG＝AE+AG，AG＝AM，
∴AB＝AM+AE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将点M（x，y）到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为d（M）．即：如果|x|≥|y|，那么d（M）＝|x|；如果|x|＜|y|，那么d（M）＝|y|．例如：点M（1，2）的“相对轴距”d（M）＝2．
（1）点P（﹣2，1）的“相对轴距”d（P）＝ 2 ；
（2）请在图1中画出“相对轴距”与点P（﹣2，1）的“相对轴距”相等的点组成的图形；
（3）已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点M，N是△ABC内部（含边界）的任意两点．
①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围；
②将△ABC向左平移k（k＞0）个单位得到△A'B'C'，点M'与点N'为△A'B'C'内部（含边界）的任意两点，并且点M'与点N'的“相对轴距”之比的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围相同，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据定义即可求解；
（2）这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形；
（3）①分别求出1≤d（M）≤3，1≤d（N）≤3，即可求；
②由题意可知≤≤3，根据①可知d（M'）、d（N'）的最值在A'、B'、C'处取得，则有|1﹣k|≤1，|3﹣k|≤3，|2﹣k|≤3，求出k的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可得，d（P）＝2，
故答案为：2；
（2）∵点P（﹣2，1）的“相对轴距”d（P）＝2，
∴这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形，如图中正方形；
（3）①∵点M，N是△ABC内部（含边界）的任意两点，
∴1≤d（M）≤3，1≤d（N）≤3，
∴；
②∵将△ABC向左平移k（k＞0）个单位得到△A'B'C'，
∴A'（1﹣k，1），B'（2﹣k，3），C'（3﹣k，2），
由题意可知≤≤3，
∴d（M'）、d（N'）的最值在A'、B'、C'处取得，
∴|1﹣k|≤1，|3﹣k|≤3，|2﹣k|≤3，
∵k＞0，
∴0＜k≤2．
【点评】本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，理解定义，掌握坐标平移的性质是解题的关键．
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