2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第三组）九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第三组）九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2分）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，3cm，6cm
C．2cm，4cm，8cm，8cmD．3cm，4cm，5cm，10cm
3．（2分）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（ ）
A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2
4．（2分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3.5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3B．y3＞y2＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y3
5．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD＝2BD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25
7．（2分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A．B．6C．D．8
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的x与y的部分对应值如下表：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．abc＞0
C．这个函数的最大值为10
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的抛物线的解析式为 ．
10．（2分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 ．
11．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是 ．
12．（2分）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若线段AB的长10cm，则线段AC的长为 ．
13．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的根是 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
15．（2分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE＝AD，CE的延长线交AB于点F，若AF＝1.2，则AB＝ ．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的长．
18．（5分）线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）如果线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．
20．（5分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
21．（5分）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为：1．
22．（5分）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．
（1）求证：△ADB∽△CEA；
（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．
23．（6分）为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
24．（6分）抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m．
（1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
（2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标）
（3）S△ABC＝3，求抛物线的解析式．
25．（6分）材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB＝32m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的表达式；
（2）若距离点P水平距离为8m处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）若a＝1，
①求抛物线顶点坐标；
②若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是 ．
27．（7分）如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．
（1）请直接写出∠CDB的度数；
（2）求∠ADC的度数；
（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．
28．（7分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，求点B的坐标．
（2）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图②所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有4个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【解答】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
2．（2分）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，3cm，6cm
C．2cm，4cm，8cm，8cmD．3cm，4cm，5cm，10cm
【分析】根据比例线段的性质，让最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等即得答案．
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
B、∵1×6＝2×3，∴四条线段成比例；
C、∵2×8≠4×8，∴四条线段不成比例；
D、∵3×10≠4×5，∴四条线段不成比例；
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是关键．
3．（2分）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（ ）
A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2
【分析】根据二次函数的定义得出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【解答】解：由题意，
解得m＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
4．（2分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3.5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3B．y3＞y2＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，根据函数的对称性和增减性，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+2，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵C（3.5，y3）关于直线x＝3的对称点是（1.5，y3），且﹣1＜1.5＜2＜3，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
5．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD＝2BD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝＝＝2，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
6．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25
【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC＝3：2，
∴＝＝，
∴＝（）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（2分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A．B．6C．D．8
【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE＝15cm，CD＝8cm，OF＝10cm，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得：∠A＝∠C，∠B＝∠D从而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴OF＝10cm，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△ABO∽△CDO，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝，
∴蜡烛火焰的高度是cm，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的x与y的部分对应值如下表：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．abc＞0
C．这个函数的最大值为10
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解
【分析】根据表格数据得出对称轴为直线x＝1，而x＝1时，函数有最小值y＝1，即可判断A；利用表格数据对称c＝2，对称轴公式求得b＝﹣2a＜0，即可判断B；利用二次函数的性质即可判断C；利用函数的最小值即可判断D．
【解答】解：A、由图表中数据可得出：对称轴为直线x＝1，而x＝1时，函数有最小值y＝1，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向上，a＞0，故A错误；
B、∵﹣＝1，a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵x＝0时，y＝c＝2，
∴abc＜0，故B错误；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故C错误；
D、∵抛物线开口向上，函数有最小值y＝1，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的抛物线的解析式为 y＝3（x+2）2﹣5 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝3（x+2）2；
再向下平移5个单位为：y＝3（x+2）2﹣5．
故答案为y＝3（x+2）2﹣5．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10．（2分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 2 ．
【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E，
∵a∥b，
∴＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
11．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝3是解题的关键．
12．（2分）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若线段AB的长10cm，则线段AC的长为 （5﹣5）cm ．
【分析】根据黄金分割的定义得AC＝AB，代入AB的长计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝10cm，
∴AC＝AB＝×10cm＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）cm．
【点评】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
13．（2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的根是 x1＝5或x2＝﹣1 ．
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标即可解决问题．
【解答】解：与图象可知，抛物线与x的交点坐标为（﹣1，0）和（5，0），
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的根为x1＝5或x2＝﹣1，
故答案为x1＝5或x2＝﹣1，
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 3或 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【分析】先得到，再分与两种情况讨论即可解答．
【解答】解：当时，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
当时，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
综上，AE＝3或，
故答案为：3或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
15．（2分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE＝AD，CE的延长线交AB于点F，若AF＝1.2，则AB＝ 6 ．
【分析】过D作DM∥CF交AB于M，求出BM＝MF，根据平行线分线段成比例定理求出＝＝，即可得出AB＝5AF，代入求出即可．
【解答】解：
过D作DM∥CF交AB于M，
∵AD是△ABC的中线，
∵BM＝MF，
∵DM∥CF，
∴△AFE∽△AMD，
∴＝，
∵AE＝AD，
∴AF＝AM，
∵BM＝MF，
∴AF＝AB，
∵AF＝1.2，
∴AB＝5×1.2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出AF＝AB．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 ①③⑤ ．（填序号）
【分析】，根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过（﹣1，0）判断④；根据当x＝1时函数取最大值判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴②错误．
∵b＝﹣2a，
∴③正确．
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴④错误．
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≤a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．
∴⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的长．
【分析】（1）由DE⊥AB得到∠DEA＝∠C＝90°，然后得到△DEA∽△BCA；
（2）利用相似三角形的性质求得AE的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝4，AB＝5，AD＝3，
∴＝，
∴AE＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
18．（5分）线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）如果线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．
【分析】（1）设＝＝＝t，则a＝2t，b＝3t，然后把它们代入中进行分式的运算即可；
（2）设＝＝＝t，则a＝2t，b＝3t，c＝4t，则利用a+b+c＝27可求出t，然后利用a+b﹣c＝t求解．
【解答】解：（1）设＝＝＝t，
∴a＝2t，b＝3t，
∴＝＝；
（2）设＝＝＝t，
∴a＝2t，b＝3t，c＝4t，
∵a+b+c＝27，
∴2t+3t+4t＝27，解得t＝3，
∴a+b﹣c＝2t+3t﹣4t＝t＝3．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．
【分析】（1）先将函数解析式化为顶点式，然后即可得到该函数的对称轴和顶点坐标，再求出该函数与x轴的交点和y＝﹣3时对应的x的值，从而可以画出相应的函数图象；
（2）根据函数图象中的数据，可以写出y＜0时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，x＝2时，y＝﹣3，
函数图象如图所示；
（2）由图象可得，
当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（5分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；
（2）由相似三角形的性质可得，可求BC的长，从而可得到CD的值．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴，
∵AB＝6，BD＝3，
∴，
∴BC＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．
21．（5分）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为：1．
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大2倍即可；
（2）根据相似三角形的性质，把△ABC的边长扩大倍即可．
【解答】解：（1）如图1所示，
（2）如图2所示，AB＝1，，，
∴，B2C2＝2，，
∴，
【点评】本题考查作图与相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（5分）如图，A是直线MN上一点，∠BAC＝90°，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E．
（1）求证：△ADB∽△CEA；
（2）若，AD＝AE＝2，求CE的长．
【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，则∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△CEA；
（2）由勾股定理求得BD＝＝1，由△ADB∽△CEA，得＝，其中AD＝AE＝2，即可求得CE＝4．
【解答】（1）证明：∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD，
∴△ADB∽△CEA．
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝，AD＝AE＝2，
∴BD＝＝＝1，
∵△ADB∽△CEA，
∴＝，
∴CE＝＝＝4，
∴CE的长是4．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，根据同角的余角相等证明∠B＝∠EAC＝90°﹣∠BAD是解题的关键．
23．（6分）为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABC∽△EDC，再根据对应边的比相等求得答案．
【解答】解：根据题意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
则△ABC∽△EDC，
所以＝，即＝，
解得：AB＝33，
答：建筑物AB的高度为33m．
【点评】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
24．（6分）抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m．
（1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
（2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标）
（3）S△ABC＝3，求抛物线的解析式．
【分析】（1）先列出三角形的代数式，然后利用配方法证明△≥0即可；
（2）令x＝0可求得点C的坐标，令y＝0求得方程的解，从而可求得点A、B的坐标；
（3）利用三角形的面积求得m的值从而可求得抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵△＝（m﹣1）2﹣4×1×m＝（m+1）2≥0
∴无论m为何值这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
（2）∵令x＝0得：y＝m，
∴点C的坐标为（0，m）．
∵令y＝0得；﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，解得：x＝﹣1或x＝m，
∴A（﹣1，0）B（m，0）．
（3）由上题可得|AB|＝|m+1|，OC＝|m|，
∵SS△ABC＝3，
∴|m+1||m|＝6．
解得：m＝﹣3，m＝2．
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3或y＝﹣x2+x+2．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，由﹣x2+（m﹣1）x+m＝0解得x＝﹣1或x＝m是解题的关键．
25．（6分）材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB＝32m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的表达式；
（2）若距离点P水平距离为8m处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，可以直接写出点C的坐标，然后设出主索抛物线的表达式，再根据点C和点P都在抛物线上，即可求得主索抛物线的表达式；
（2）根据求出的抛物线解析式，将x＝8代入解析式中，即可求得四根吊索的长度，从而可以求得四根吊索总长度为多少米．
【解答】解：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
如图所示：
由图可知，点C的坐标为（16，0），
设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），
由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），
则，
解得：，
∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；
（2）同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），
x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，
∵4+4＝8（m），
∴四根吊索的总长度为8米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）若a＝1，
①求抛物线顶点坐标；
②若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是 m≥24 ．
【分析】（1）①把a＝1代入解析式求解．②用含m代数式求出x1，x2，进而求解．
（2）用含m代数式表示PQ，然后解不等式求解．
【解答】解：（1）①把a＝1代入y＝x2﹣2ax+a2﹣1得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1）．
②∵点P，Q关于抛物线对称轴对称，且x1，x2为（x﹣1）2﹣1＝m的根，
∴x1＝1﹣，x2＝1+，
∴2x2﹣x1＝1+3＝7，
解得m＝3．
（2）解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝m得x1＝a﹣，x2＝a+，
∴PQ＝x2﹣x1＝2，
∴2≥（b+7）﹣（b﹣3），
∴m≥24．
故答案为：m≥24．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握含参二次函数的性质与参数的关系．
27．（7分）如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．
（1）请直接写出∠CDB的度数；
（2）求∠ADC的度数；
（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图，设AB交CD于点O．利用“8字型”证明角相等即可；
（2）由△DBO∽△ACE，推出＝，可得＝，∠AOD＝∠BOC，推出△AOD∽△COB，即可解决问题；
（3）结论：DC＝DB+DA．在DC上截取DE＝DB，连接BE．利用全等三角形的性质即可证明；
【解答】解：（1）如图1，设AB交CD于点O．
∵∠DBO＝∠ACO，∠BOD＝∠AOC，
∴∠BDO＝∠OAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴∠CDB＝60°．
（2）∵∠DOB＝∠AOC，∠DBO＝∠ACO，
∴△DBO∽△ACO，
∴＝，
∴＝，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴∠ADO＝∠ABC＝60°．
即∠ADC＝60°．
（3）结论：CD＝BD+AD．理由如下：
在DC上截取DE＝DB，连接BE，如图2，
∵DB＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠DBE＝60°，BD＝BE，
∵∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵BD＝BE，BA＝BC，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC，
∴CD＝DE+EC＝BD+AD．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28．（7分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ 3 ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，求点B的坐标．
（2）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图②所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【分析】（1）①根据公式d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|直接计算即可；
②根据函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象上的点的横纵坐标均非负，可得xB≥0，yB≥0，yB＝﹣2xB+4，再根据d（O，B）＝3，可得|0﹣xB|+|0﹣yB|＝3，即有xB+yB＝3，进而可得，解方程即可求解；
（2）函数y＝x2﹣5x+7化为顶点式为：，即可得，x≥0，根据点D是图象上一点，可得，xD≥0，，则有d（O，D）＝|0﹣xD|+|0﹣yD|＝xD+yD，即可得，问题随之得解．
【解答】解：（1）①∵A（﹣2，1），O（0，0），
∴d（O，A）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|0﹣（﹣2）|+|0﹣1|＝3，
故答案为：3；
②∵点B是函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象点，
又∵函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象上的点的横纵坐标均为非负数，
∴xB≥0，yB≥0，yB＝﹣2xB+4，
∵d（O，B）＝3，
∴|0﹣xB|+|0﹣yB|＝3，
∴xB+yB＝3，
∵yB＝﹣2xB+4，
∴，
解得：，
∴B点坐标为：（1，2）；
（2）函数y＝x2﹣5x+7化为顶点式为：，
∴，
∵x≥0，点D是图象上一点，
∴，xD≥0，，
∴d（O，D）＝|0﹣xD|+|0﹣yD|＝xD+yD，
∴，
∴，
∴当xD＝2时，d（O，D）有最小值，最小值为d（O，D）＝3，
∴，
∴D点坐标为：（2，1），
即最小值为3，D点坐标为（2，1）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|是解答本题的关键．
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