2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第一组）九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第一组）九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）
3．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE、AC交于点F，那么的值为（ ）
A．B．C．D．1
4．（2分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+4B．y＝（x﹣3）2﹣4
C．y＝（x﹣3）2+4D．y＝（x+3）2﹣4
5．（2分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
6．（2分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y3
7．（2分）下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q同时从点A出发，速度均2cm/s，点P沿A﹣D﹣C向点C运动，点Q沿A﹣B﹣C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则线段BC＝ ．
10．（2分）请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式 ．
11．（2分）二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（0，3），B（2，3），则其对称轴为直线 ．
12．（2分）如图，已知A（1，4），B（3，4），C（﹣2，﹣1），D（1，﹣1），那么△ABE与△CDE的面积比是 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．若AC＝4，AB＝5，AD＝3，则AE＝ ．
14．（2分）抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝ax2的位置如图所示，a的值可能为 ．
15．（2分）如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 m．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）．
其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（1）∠B＝ °．
（2）求边x，y的长度．
18．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求二次函数的图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？
19．（5分）如图，∠MAN＝30°，点B、C分别在AM、AN上，且∠ABC＝40°．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：△ABC∽△ADB．
20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）该二次函数图象的对称轴为直线 ；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）根据表中信息分析，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
21．（5分）已知：二次函数y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时二次函数与x轴的交点．
22．（5分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知M（1，ym），N（xn，yn）是抛物线上的两点，根据图象分析，若ym≥yn，则xn的取值范围是 ．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CA＝CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DBE；
（2）如果BC＝5，BE＝3，求AC的长．
24．（6分）如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E，直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上．若DB＝5m，DE＝1.5m，求楼高MN．
25．（6分）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是 m；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由．
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距
离x近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+4.25，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d 5（填“＞”，“＝”或“＜”）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．（7分）已知等边△ABC中的边长为4，点P，M分别是边BC，AC上的一点，以点P为顶点，作∠MPN＝60°，PN与直线AB交于点N．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：BN•CM＝CP•BP；
（3）如图2，若点P为BC中点，AM＝2AN，求AN的长．
28．（7分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．
2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第一组）九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解．
【解答】解：A、由＝可得3a＝4b，故选项正确；
B、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
C、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
D、由＝可得ab＝3×4＝12，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）
【分析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式y＝a（x﹣h）2+k的形式，直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2，
∴抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题基础题，比较简单．
3．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE、AC交于点F，那么的值为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】利用平行四边形性质，得到BC＝AD，进而得到CE＝AD，证明△CEF∽△ADF即可解决问题．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴CE＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴CE＝AD，△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．（2分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+4B．y＝（x﹣3）2﹣4
C．y＝（x﹣3）2+4D．y＝（x+3）2﹣4
【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得到抛物线平移后的表达式．
【解答】解：根据题意可得，抛物线平移后的解析式为：y＝（x+3）2﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的平移，熟练掌握函数图象的平移法则：左加右减，上加下减是解题的关键．
5．（2分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．（2分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
P1（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点是（3，y1），
∵1＜3＜5，
∴y1＝y2＞y3，
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7．（2分）下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【解答】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，2，，所以三边之比为1：2：；
A、三角形的三边分别为2、、3，三边之比为：：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2、4、2，三边之比为：1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2、3、，三边之比为：2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为、、4，三边之比为：：：4，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
8．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q同时从点A出发，速度均2cm/s，点P沿A﹣D﹣C向点C运动，点Q沿A﹣B﹣C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】研究两个动点到正方形各顶点时的相对位置，分段讨论函数解析式，根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：根据两个动点的运动状态可知
（1）当0≤t≤1时，S＝×2t×2t＝2t2，此时抛物线开口向上；
（2）当1≤t≤2时，S＝2×2﹣2××2×（2t﹣2）﹣（4﹣2t）2＝﹣2t2+4t，此时抛物线的开口向下．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形面积公式以及分类讨论的数学思想，根据题意求出函数关系式是关键，注意分类讨论．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则线段BC＝ 8 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，然后把DE＝3，EF＝6，AB＝4，代入计算即可得到结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝
∵DE＝3，EF＝6，AB＝4，
∴＝，
∴BC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
10．（2分）请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式 y＝﹣（x﹣3）2（答案不唯一） ．
【分析】开口向下，二次项系数为负，对称轴为直线x＝1，可根据顶点式写出满足条件的函数解析式．
【解答】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，已知对称轴为直线x＝3，
根据顶点式，得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2．本题答案不唯一，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2（答案不唯一）．
【点评】主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．
11．（2分）二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（0，3），B（2，3），则其对称轴为直线 x＝1 ．
【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（0，3），B（2，3），可以求得该抛物线的对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（0，3），B（2，3），
∴其对称轴为直线x＝＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用抛物线的对称性解答．
12．（2分）如图，已知A（1，4），B（3，4），C（﹣2，﹣1），D（1，﹣1），那么△ABE与△CDE的面积比是 4：9 ．
【分析】由于点A与点B的纵坐标相同，可知AB⊥y轴，同理CD⊥y轴，则AB∥CD，易证△ABE∽△DCE，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，得出△ABE与△CDE的面积比是（AB：CD）2．
【解答】解：∵A（1，4），B（3，4），即点A与点B的纵坐标相同，
∴AB⊥y轴，且AB＝2，
同理CD⊥y轴，CD＝3，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△DCE，
∴△ABE与△CDE的面积比＝（AB：CD）2＝（2：3）2＝4：9．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是结合平面直角坐标系和相似三角形的判定及性质解答．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．若AC＝4，AB＝5，AD＝3，则AE＝ ．
【分析】由DE⊥AB得到∠DEA＝∠C＝90°，然后得到△DEA∽△BCA，再利用相似三角形的性质求得AE的长．
【解答】解：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝4，AB＝5，AD＝3，
∴＝，
∴AE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
14．（2分）抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝ax2的位置如图所示，a的值可能为 ﹣（答案不唯一） ．
【分析】由函数的性质知，|a|越大，抛物线开口越小，即可求解．
【解答】解：由函数的性质知，|a|越大，抛物线开口越小，
则|a|＜|﹣1|＝1，
即|a|＜1，且a为负值，
即﹣1＜a＜0，
故a可以为：﹣（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，明确|a|越大，抛物线开口越小是解题的关键．
15．（2分）如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 4 m．
【分析】先根据题意作出相应的图，然后可根据条件得到△ADB～△CDA，最后利用相似比即可得解．
【解答】解：根据题意作图，BD＝2m，CD＝8m，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠ADB＝∠CDA＝90°，
∴△ADB～△CDA，
∴，
∴AD2＝BD⋅CD＝16，AD＝4m．
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）．
其中正确的结论有 ③、④、⑤ ．（填序号）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
所以错误；
②当x＝﹣1时，由图象知y＜0，
把x＝﹣1代入解析式得：a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
∴②错误；
③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以4a+2b+c＝4a﹣4a+c＞0．
∴③正确；
④∵由①②知b＝﹣2a且b＞a+c，
∴2c＜3b，④正确；
⑤∵x＝1时，y＝a+b+c（最大值），
x＝m时，y＝am2+bm+c，
∵m≠1的实数，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b）成立．
∴⑤正确．
故正确结论的序号是③，④，⑤．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（1）∠B＝ 69 °．
（2）求边x，y的长度．
【分析】直接利用相似多边形的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠C＝∠C'＝135°，
∴∠B＝360°﹣60°﹣96°﹣135°＝69°，
故答案为69°；
（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
，
解得x＝4，y＝18．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．
18．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求二次函数的图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？
【分析】（1）把抛物线的解析式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，然后用描点法画出函数图象；
（3）根据二次函数的性质，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；
如图，
（3）当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的性质：抛物线y＝a（x﹣h）2+k，a＞0，抛物线开口向上，x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大；x＝h时，y取得最小值k；当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小；x＝h时，y取得最大值k．也考查了二次函数的图象．
19．（5分）如图，∠MAN＝30°，点B、C分别在AM、AN上，且∠ABC＝40°．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：△ABC∽△ADB．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据角平分线定义和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）∵∠ABC＝40°，
∴∠MBC＝140°，
∵BD平分∠MBC，
∴，
∵∠MBD是△ADB的一个外角，
∴∠ADB＝∠MBD﹣∠A＝70°﹣30°＝40°，
∴∠ABC＝∠ADB．
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，作图﹣基本作图，角平分线定义，三角形的内角和定理，正确的作出图形是解题的关键．
20．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）该二次函数图象的对称轴为直线 x＝1 ；
（2）m＝ 8 ，n＝ 3 ；
（3）根据表中信息分析，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 x1＝0，x1＝2 ．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求解；
（2）根据抛物线的对称性求解；
（3）根据方差和函数的关系求解．
【解答】解：（1）由抛物线的对称性得：对称轴为直线x＝1，
故答案为：x＝1；
（2）由抛物线的对称性得：m＝8，n＝3，
故答案为：8，3；
（3）根据图中信息，当y＝0时，x的值为：0或2，
故答案为：x1＝0，x1＝2．
【点评】本题考查了抛物线与想轴的交点，理解抛物线的对称性和方程的关系是解题的关键．
21．（5分）已知：二次函数y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时二次函数与x轴的交点．
【分析】（1）利用二次函数y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴有两个交点得（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，然后解不等式组可得m的范围；
（2）m取1得到抛物线解析式，然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到两个交点坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴有两个交点
∴Δ＞0，
即 （2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0
∴m＞；
（2）m取1，则抛物线解析式为y＝x2+3x，
当y＝0时，x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，且两交点为抛物线上的对称点．
22．（5分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知M（1，ym），N（xn，yn）是抛物线上的两点，根据图象分析，若ym≥yn，则xn的取值范围是 xn≤﹣3 或 xn≥1 ．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）根据数形结合思想求解．
【解答】解：（1）设抛物线表达式为 y＝ax2+bx+c（a≠0）．
∵与y轴交于点C（0，2），
∴c＝2，
将点A（﹣4，0），B（2，0）代入可得，
解得：，
∴抛物线表达式为 ．
（2）由图象得：xn≤﹣3 或 xn≥1，
故答案为：xn≤﹣3 或 xn≥1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解数形结合思想是解题的关键．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CA＝CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DBE；
（2）如果BC＝5，BE＝3，求AC的长．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，BE⊥CD，得∠ACB＝∠E，由CA＝CD，得∠A＝∠CDA＝∠BDE，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△DBE．
（2）先根据勾股定理求得CE＝＝4，则DE＝4﹣CD＝4﹣AC，再根据相似三角形的对应边成比例列方程得＝，即可求得AC＝．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CD，
∴∠ACB＝∠E＝90，
∴CA＝CD，
∵∠A＝∠CDA，
∵∠BDE＝∠CDA，
∴∠A＝∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
（2）解：∠E＝90°，BC＝5，BE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴DE＝4﹣CD＝4﹣AC，
∵△ABC∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴AC的长是．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，证明∠A＝∠BDE从而证明△ABC∽△DBE是解题的关键．
24．（6分）如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E，直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上．若DB＝5m，DE＝1.5m，求楼高MN．
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可解答．
【解答】解：∵AC⊥EF，NF⊥EF
∴△EAC∽△ENF．
∴，
由题意知AB＝5.5m，BM＝CF＝15m，DB＝EC＝5m，DE＝BC＝MF＝1.5m，
∴AC＝4m，EF＝20m，
，
解得NF＝16．
∴MN＝17.5m．
【点评】此题考查的是相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
25．（6分）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是 3.8 m；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由．
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距
离x近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+4.25，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d ＞ 5（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为y＝m（x﹣3）2+3.8，再把点（0，2）代入，求出m的值，即可；③把y＝3代入②中函数解析式，即可；
（2）把点（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+4.25，求出函数解析式，再把y＝3代入，求出x，即可．
【解答】解：（1）①如图，即为所求；
②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是3.8m；
设y与x满足的函数解析式为y＝m（x﹣3）2+3.8，
把点（0，2）代入得：2＝m（0﹣3）2+3.8，
解得：m＝﹣0.2，
∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.2（x﹣3）2+3.8；
③成功，理由如下：
当y＝3时，3＝﹣0.2（x﹣3）2+3.8，
解得：x＝5或1（舍去），
即韩旭距篮筐中心的水平距离5m时，篮球运行的高度为3m，
∴韩旭第一次投篮练习是成功；
（2）把点（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+4.25得：
2＝a（0﹣3）2+4.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴此时y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.25（x﹣3）2+4.25，
当y＝3时，3＝﹣0.25（5﹣3）2+4.25，
解得：或（舍去），
∵，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离d＞5．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx求得b的值，即可根据对称轴公式求得答案；
（2）①分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x＝与直线x＝1之间；②根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【解答】解：（1）若m＝0，则点（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx上，
∴0＝﹣1+b，解得b＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝；
（2）①∵y＝﹣x2+bx，
∴抛物线开口向下且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而减小，0＞m＞n不满足题意，
当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，0＞n＞m不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＞0，x＝2时n＜0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和2之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝1之间，
即＜t＜1；
②∵点（﹣1，y1）与对称轴距离＜t﹣（﹣1）＜2，
点（，y2）与对称轴距离＜﹣t＜1，
点（3，y3）与对称轴距离2＜3﹣t＜
∴y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
27．（7分）已知等边△ABC中的边长为4，点P，M分别是边BC，AC上的一点，以点P为顶点，作∠MPN＝60°，PN与直线AB交于点N．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：BN•CM＝CP•BP；
（3）如图2，若点P为BC中点，AM＝2AN，求AN的长．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）由△ABC是等边三角形，得∠B＝∠C＝60°，而∠MPN＝60°，可得∠BNP＝∠CPM，故△BNP∽△CPM，得，从而BN•CM＝CP•BP；
（3）由等边△ABC 是的边长为4，点P为BC中点，可得BP＝CP＝2．由 BN•CM＝CP•BP，即知BN•CM＝4，设 AN＝x，则 AM＝2x，分两种情况：①当N在线段AB上时，可得（4﹣x）（4﹣2x）＝4，即可解得AN＝3﹣；②当N在线段AB的延长线上时，可得（4+x）（4﹣2x）＝4，可解得AN＝﹣1．
【解答】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠MPN＝60°，
∴∠BPN+∠CPM＝120°，
∵∠BPN+∠BNP＝120°，
∴∠BNP＝∠CPM，
∴△BNP∽△CPM，
∴，
∴BN•CM＝CP•BP；
（3）解：∵等边△ABC 是的边长为4，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∵点P为BC中点，
∴BP＝CP＝2．
由（2）可知 BN•CM＝CP•BP，
∴BN•CM＝4，
由 AM＝2AN，设 AN＝x，则 AM＝2x，
①当N在线段AB上时，如图：
可得 BN＝4﹣x，CM＝4﹣2x，
∵BN•CM＝4，
∴（4﹣x）（4﹣2x）＝4，
解得：， （舍），
∴AN＝3﹣；
②当N在线段BA的延长线上时，如图：
可得BN＝4+x，CM＝4﹣2x，
∵BN•CM＝4，
∴（4+x）（4﹣2x）＝4，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣+1（舍去）；
∴AN＝﹣1；
综合上述，AN的长为 或 ．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，设计等边三角形性质及应用，一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
28．（7分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 相等 ；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．
【分析】（1）①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN＝∠ABM＝45°，所以∠BMN＝∠MBN，得到MN＝BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，得n＝n2，解得n＝1，n＝0（舍去），所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可解答；
②因为抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，所以抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
（2）根据抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，所以抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y＝ax2中，得到．
（3））根据y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，得到，化简得mn﹣4m﹣1＝0，抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为，代入抛物线y＝mx2，得，mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），所以，所以．
【解答】解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，
∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM＝45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN＝∠ABM＝45°，
∴∠MBN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BMN＝∠MBN，
∴MN＝BN，
设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，
得n＝n2，
∴n＝1，n＝0（舍去），
∴B（1，1）
∴MN＝BN＝1，
∴MB＝＝，
∴MA＝MB＝，
在Rt△AMB中，AB＝＝2，
∴抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝2．
②∵抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，
∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（2）∵抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，
∴抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，
∵抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，
∴抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），
把点B代入y＝ax2中，
∴．
故a＝或﹣；
（3）∵y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，
∴，
∴mn﹣4m﹣1＝0，
∵抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，
∴抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，
∴B点坐标为，
∴代入抛物线y＝mx2，得，
∴mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），
∴，
∴．
故m＝﹣，n＝．
【点评】本题考查了二次函数，解决本题的关键是理解“完美三角形”的定义，利用勾股定理，求出点B的坐标．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 20:47:52；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x
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