广东省广州市海珠外国语实验中学2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份广东省广州市海珠外国语实验中学2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．15°B．18°C．25°D．30°
5．（3分）如图，AD是△ABC边上的中线，CE是AB边上的高，AB＝6，S△ADC＝6，CE＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝35°，∠DAC＝30°，则∠BDA的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．65°
7．（3分）如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90°B．135°C．150°D．270°
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
9．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．30°B．50°C．44°D．34°
10．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题：本大题6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，则（m+n）2023的值是 ．
12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是 ．
13．（3分）如果一个多边形的每个外角都等于72°，那么它的内角和为 °．
14．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
15．（3分）如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G．下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝CF．其中正确的是 （填上正确结论的序号）．
三.解答题：共72分。
17．（6分）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2160°，求这个多边形的边数及对角线的条数．
18．（6分）如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
19．（6分）已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E且AC＝DF．求证：∠A＝∠D．
20．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（2）连接BB1，则四边形CC1B1B的面积等于 ．
21．（8分）如图，AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝20．
（1）尺规作图：画出边AC的垂直平分线EF，交BC于点E，垂足为点F；
（2）在（1）的条件下，求AB的长．
22．（8分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P，求证：
（1）BE＝AD；
（2）∠AOB的度数．
23．（8分）已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．
24．（12分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
25．（12分）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2．
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
2023-2024学年广东省广州市海珠外国语实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题10小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
3．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．15°B．18°C．25°D．30°
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠EDF＝45°，∠EDF＝∠BCD+∠DBC，
∴∠DBC＝∠EDF﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
5．（3分）如图，AD是△ABC边上的中线，CE是AB边上的高，AB＝6，S△ADC＝6，CE＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵AD是中△ABC边上的中线，S△ADC＝6，
∴S△ABC＝2S△ADC＝2×6＝12，
∵CE是AB边上的高，AB＝6，
∴S△ABC＝AB•CE＝12，
解得：CE＝4，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝35°，∠DAC＝30°，则∠BDA的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．65°
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝35°，
∴∠C＝∠E＝35°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝30°+35°＝65°，
故选：D．
7．（3分）如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．90°B．135°C．150°D．270°
【解答】解：∠CDE＝180°﹣∠1，
∠CED＝180°﹣∠2，
在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C＝180°，
所以，180°﹣∠1+180°﹣∠2+90°＝180°，
所以，∠1+∠2＝270°．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB⊥AD，AD＝2m，
∴BD＝2AD＝4m，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD＝2m，
∴BC＝BD+CD＝6cm，
故选：C．
9．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（ ）
A．30°B．50°C．44°D．34°
【解答】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝34°，
故选：D．
10．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
二、填空题：本大题6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，则（m+n）2023的值是 ﹣1 ．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，
∴1+m＝﹣3，1﹣n＝﹣2，
解得：m＝﹣4，n＝3，
所以m+n＝﹣4+3＝﹣1，
所以（m+n）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是 22 ．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为9时，
∵4+4＝8＜9，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为9，底边长为4时，
∴这个三角形的周长＝9+9+4＝22；
综上所述：这个三角形的周长为22，
故答案为：22．
13．（3分）如果一个多边形的每个外角都等于72°，那么它的内角和为 540 °．
【解答】解：360°÷72°＝5，
∴（5﹣2）•180°＝540°．
∴这个多边形的内角和为540°．
故答案为：540．
14．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为 130° ．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
∴∠4＝180°﹣50°＝130°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝130°．
故答案为：130°．
15．（3分）如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是 30° ．
【解答】解：由题意知，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCD＝∠PAD＝30°
故答案为：30°．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G．下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝CF．其中正确的是 ①②③ （填上正确结论的序号）．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE＝AE＝AC．
又由（1），知BF＝AC，
∴CE＝AC＝BF；故③正确；
∵△CEF中，CF是斜边，CE是直角边，
∴CF＞EC
∵AE＝EC，
∴CF＞AE．故④错误，
故答案为：①②③．
三.解答题：共72分。
17．（6分）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2160°，求这个多边形的边数及对角线的条数．
【解答】解：设这是n边形，则
（n﹣2）×180°＝2160°﹣360°，
n﹣2＝10，
n＝12．
，
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54．
18．（6分）如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝65°，∠ACB＝72°
∴∠ABC＝43°
∵∠ABD＝30°
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝13°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB＝36°
∴在△BCE中，∠BEC＝180°﹣13°﹣36°＝131°．
故答案为：131°
19．（6分）已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E且AC＝DF．求证：∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC．即BC＝EF．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°．
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（HL），
∴∠A＝∠D．
20．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（2）连接BB1，则四边形CC1B1B的面积等于 3 ．
【解答】解：（1）如图所示，
A1（0，4），B1（2，2），C1（1，1）；
（2）S四边形＝（2+4）×1＝3．
故答案为：3．
21．（8分）如图，AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝20．
（1）尺规作图：画出边AC的垂直平分线EF，交BC于点E，垂足为点F；
（2）在（1）的条件下，求AB的长．
【解答】解：（1）如图所示，EF即为所求垂直平分线，
（2）如图，连接AE，
∵EF为AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝AE＝EC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝ED＝5，
∵BC＝20，
∴AB＝EC＝BC﹣BD﹣ED＝10．
22．（8分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P，求证：
（1）BE＝AD；
（2）∠AOB的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD
（2）由（1）可得△BCE≌△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠APO＝∠BPC，
∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．
23．（8分）已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．
【解答】（1）证明：连接DB、DC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DG垂直平分BC，
∴DB＝DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AF＝AE＝6，
由（1）得：BE＝CF，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，
＝AE+EB+AF﹣CF+BC，
＝AE+AF+BC＝20，
∴BC＝20﹣12＝8．
24．（12分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
25．（12分）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2．
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ＝CQ＝4，CE＝2，
∴AB＝CQ，
∵PQ＝2，
∴BP＝2，
∴BP＝CE，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP＝QE；
（2）解：如图②，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4，
∴BP＝4；
（3）解：如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT＝FT＝4，QC＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣3﹣2＝3＝CH，
∴PF＝8，PH＝8，
∴PF＝PH，
又∵∠FPH＝90°，
∴∠F＝∠H＝45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F＝∠TMF＝45°，∠H＝∠CNH＝45°，
∴FT＝TM＝4，CN＝CH＝3，
∴四边形PQNM的面积＝×PF×PH﹣×PF×TM﹣×QH×CN＝×8×8﹣×8×4﹣×6×3＝7．