2023-2024学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线的开口方向是（ ）
A．向上B．向右C．向下D．向左
3．（3分）方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝0B．x＝4C．x＝±2D．x＝0或x＝4
4．（3分）如图，在⊙O中，，∠B＝70°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．40°C．70°D．110°
5．（3分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且AB=26，CD=24，则AH的长是（ ）
A．3B．5C．8D．18
（3分）2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x,则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）＝6.62
B．2（1+x）2＝6.22
C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62
7．（3分）若抛物线的解析式是：y＝2（x﹣1）2，点A（2，y1），B（3，y2），C（4，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
8．（3分）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130°B．150°C．160°D．170°
9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣2023的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
10．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，AB=4，，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，点F在直线AF上且DF=BC，则BE最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为 ．
12．（3分）点A（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标为 ．
13．（3分）已知方程2x2﹣mx﹣10＝0的一根是﹣5，方程的另一根为 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ADC=110°，则∠AOC= ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形OA2023B2023C2023，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2023的坐标为 ．
16．（3分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C（0，-4）在y轴上，则下列结论：
①抛物线的解析式是y＝x2﹣4；
②若函数值y＞0，则x的取值范围是x＜﹣2或x＞2；
③若点P为抛物线上的一点，且S△PAB＝4，则点P的坐标为或；
④连接BC，D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点P，则DP有最大值为1．
其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
18．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．
19．（6分）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当A为（﹣1，0）时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两实数根为x1，x2，且满足x1＝4x2，试求出p的值．
21．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；
（2）求∠BDC的度数．
22．（10分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）连接AO，求证：∠OAC＝90°；
（2）若BF＝4，，求⊙O的半径．
23．（10分）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
（1）预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
24．（12分）【课本再现】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则∠ACF＝ °；
【迁移应用】如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C，D重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G，求证：CG=BC；
【拓展延伸】在菱形ABCD中，∠A=120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G．
①线段CG与BC的数量关系是 ；
②若AB＝6，E是CD的三等分点，则△CEG的面积为 ．
25．（12分）已知抛物线，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．
（1）直接写出抛物线C的顶点，请问直线l是否经过该点？
（2）若a＝﹣1，h＝1，当t≤x≤t+3时的最大值为﹣6，求t的值；
（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤a≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
2023-2024学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：由题意，∵抛物线＜0，
∴抛物线开口向下．
故选：C．
3．【答案】D
【解答】解：∵x2＝4x，
∴x5﹣4x＝0，
则x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x＝0或x＝8，
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：∵，∠B＝70°，
∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
5．【答案】D
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，CD＝24，
∴，，
在Rt△OCH中，，
∴AH＝OH+AO＝13+5＝18，
故选：D．
6．【答案】D
【解答】解：∵某电影上映的第一天票房为2亿元，且平均每天票房的增长率为x，
∴该电影上映的第二天票房为2（3+x）亿元，第三天票房为2（1+x）8亿元．
根据题意得：2+2（3+x）+2（1+x）5＝6.62．
故选：D．
7．【答案】C
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）6，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵4﹣4＜3﹣1＜2﹣1，
∴y3＞y7＞y1，
故选：C．
8．【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，
∵∠ADA′＝50°，
∴∠A′DC＝10°，
∴∠DA′B＝130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE＝30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，
∴∠DA′E′＝∠DA′B+∠BA′E′＝160°．
故选：C．
9．【答案】D
【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b2﹣5x﹣2023的图象上，
∴a、b是方程x2﹣2x﹣2023＝﹣6的两个根，
∴a+b＝2，
∵将A（a，﹣1）代入y＝x5﹣2x﹣2023，
∴a2﹣3a﹣2023＝﹣1，
∴a2＝5a+2022，
∴a2+2b﹣5＝2a+2022+2b﹣2＝2（a+b）+2019＝4+2019＝2023，
故选：D．
10．【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
即∠BDC+∠BCD＝60°，
由旋转可知：CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠BCE+∠BCD，
∴∠BDC＝∠BCE，
在△CDF和△ECB中，
，
∴△CDF≌△ECB（SAS），
∴CF＝BE，
则当CF⊥AD时，CF最小，
∵BC＝2，AB＝4，，
∴点C到AD的距离为，
∴BE的最小值为，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
∵y＝2（x﹣4）7+1，
∴顶点坐标为（4，3），
故答案为：（4，1）．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：点A（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标为（8，
故答案为：（3，﹣1）．
13．【答案】1．
【解答】解：设方程的另一根为n，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
解得n＝1，
即方程的另一根为1，
故答案为：5．
14．【答案】140°．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠ADC＝110°，
∴∠B＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案为：140°．
15．【答案】．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝8，
∵四边形OABC是正方形，
∴B（1，1），
连接OB，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，OA＝AB＝2，
∴由勾股定理得：10，
∴由旋转得：，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B6C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B3OB2＝…＝45°，
∴），B2（﹣3，1），B4（﹣3，﹣1），B6（8，﹣1），，…，
发现是8次一循环，所以2023÷7＝252…7，
∴点B2023的坐标为．
故答案为：．
16．【答案】①②④．
【解答】解：∵抛物线的顶点C（0，﹣4）在y轴上，
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2﹣4＝ax5﹣4，
由题图可知，抛物线过点A（﹣2，
∴5＝4a﹣4，
解得：a＝3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4，故①正确；
∵令y＝x8﹣4中的y＝0，得x6﹣4＝0，
解得：x2＝﹣2，x2＝7，
∴点B的坐标为（2，0），
由函数图象可知，若函数值y＞8，故②正确；
设点P（t，t2﹣4），
由A（﹣3，0），0），
∵，
∴，
解得：t＝或t＝，
∴点P的坐标为（）或或或；
如图，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，
设点D的坐标为（m，2m﹣4）（4≤m≤2），m2﹣6），
∴DP＝2m﹣4﹣（m3﹣4）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣1）2+6，
∵﹣1＜0，
当m＝2时，DP有最大值1．
综上，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：2（x﹣3）＝6x（x﹣3），
移项得：2（x﹣6）﹣3x（x﹣3）＝2，
整理得：（x﹣3）（2﹣6x）＝0，
x﹣3＝4或2﹣3x＝3，
解得：x1＝3、x6＝．
18．【答案】（1）作图见解析过程；
（2）作图见解析过程．
【解答】解：（1）如图1，△A1B4C1为所求；
（2）如图2，△A8B2C2为所求．
19．【答案】（1）直线x＝1；
（2）y＝x2﹣2x﹣3，（1，﹣4）．
【解答】解：（1）由题意得：二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的对称轴为：
直线．
（2）将点A（﹣1，4）代入二次函数得：0＝a+2a﹣2，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
上式变形得：y＝（x﹣1）6﹣4，
∴顶点坐标为：（1，﹣4）．
20．【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：方程为：x2﹣5x+7﹣p2＝0，
∴Δ＝b3﹣4ac＝（﹣5）8﹣4（6﹣p7）＝4p2+3＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得x2﹣7x+6﹣p2＝7，
∴，，
∵x1＝8x2，
∴，
∴，
解得：，
∴实数p的值为．
21．【答案】（1）证明见解析；
（2）45°．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴△AEB≌△AFC，
∴∠ABE＝∠ACF，
设AC与BE相交于O，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°．
22．【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：连接AO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵A C＝F C，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠ODA+∠OFD＝90°，
∴∠CAF+∠DAO＝90°，
∴∠OAC＝90°；
（2）解：在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF3，
∴10＝OD2+（4﹣OD）5，
∴OD＝1（不合题意舍去）或OD＝3，
∴⊙O的半径为7．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，
由题意，得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x5＝0.2＝20%，x8＝﹣2.2（舍去）．
答：平均每年的增长率为20%；
（2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得：
w＝（m﹣30）[200+50×（40﹣m）]
＝﹣50（m﹣37）8+2450，
∵﹣50＜0，
∴当m＝37时，w取得最大值为2450．
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大．
24．【答案】【课本再现】90；
【迁移应用】见解析；
【拓展延伸】①CG＝BC；
②或3．
【解答】【课本再现】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是全等的矩形，
∴AB＝CE，BC＝EF，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴∠BAC＝∠FCE，AC＝CF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠FCE＝90°，
∴∠ACF＝90°，
故答案为：90．
【迁移应用】证明：过点F作FH⊥CD，交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠H＝∠BCD＝90°，
由旋转得∠BEF＝90°，EF＝BE，
∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝90°，
∴∠CBE＝∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴FH＝EC，EH＝BC，
∴EH＝CD，即CE+DE＝DH+DE，
∴CE＝DH＝FH，
∴∠CDG＝∠FDH＝45°，
∵∠DCG＝BCD＝90，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴CG＝CD＝BC；
【拓展延伸】解：①过点F作∠EFH＝∠BEC，与ED的延长线交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠A＝∠BCD＝120°，
由旋转得∠BEF＝120°，EF＝BE，
∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝60°，
∴∠CBE＝∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴∠H＝∠BCD＝120°，EH＝BC，
∴CD＝EH，
∴DH＝CE，
∴DH＝FH，
∴∠FDH＝∠DFH＝30°，
∴∠CDG＝30°，
∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠G＝90°，
∴△DCG是直角三角形，
∵∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝，
故答案为：CG＝BC；
②当CE＝CD时AB＝2，
由①知，CG＝，
∴DG＝＝＝3，
∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，
∴S△CEG＝S△DCG＝×CG•DG＝×＝；
当ED＝CD时AB＝2，
∴DG＝＝＝3，
∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，
∴S△CEG＝S△DCG＝×CG•DG＝×＝2；
故答案为：或3．
25．【答案】（1）顶点坐标为（h，2），直线l 恒过抛物线 C 的顶点；
（2）或；
（3）k＜﹣3或k＞3．
【解答】解：（1）：∵抛物线C的解析式为，
∴抛物线C的顶点坐标为（h，2），
∵直线l的解析式为y2＝kx﹣kh+8＝k（x﹣h）+2，
∴直线l恒过点（h，2），
∴直线l 恒过抛物线 C ；
（2）由题意得，抛物线解析式为，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，且当x＝6时，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵当t≤x≤t+3时，二次函数，
当t+6＜1，即t＜﹣2时4+2＝﹣6，
解得或（舍去）；
当t＞4时，﹣（t﹣1）2+4＝﹣6，
解得或（舍去）；
综上所述，t的值为或
（3）联立，
解得或，
∴，
∵线段PQ（不含端点 P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，
∴，
∴，
∵1≤a≤3，
∴|k|＞a，
∴|k|＞8，
∴k＜﹣3或k＞3．