还剩14页未读，
继续阅读
2023-2024学年广东省广州市天河区骏景中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年广东省广州市天河区骏景中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各图形中不一定是轴对称图形的是( )
A. 长方形B. 正方形C. 平行四边形D. 圆
2.在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，则△ABC的形状是( )
A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
3.以下列各组线段长为边能组成三角形的是( )
A. 1，2，4B. 2，4，6C. 4，6，8D. 5，6，12
4.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=50°，∠C=20°，则∠B′度数为( )
A. 110°B. 70°C. 90°D. 30°
6.如图，△ABC≌△DEF，B、E、C、F四个点在同一直线上，若BC=8，EC=5，则CF的长是( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
7.如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则OE+OF的值为( )
A. 5
B. 7.5
C. 9
D. 10
8.请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a6B. x(x+1)=x2+1
C. 2a2÷a=2a3D. (−a3)2=a6
10.如图，△ABC中AB>AC，D，E分别为边BC，AB上的点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点F，G为AD的中点，延长BG交AC于点H，则下列判断中正确的结论有( )
A. △ABG与△BDG面积相等
B. ∠BCE=12∠BAC
C. ∠CAD+∠CBE+∠BCE=90°
D. AB−AC=BE
三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若等边三角形的一边长为4厘米，则它的周长为______厘米．
12.点A(3,−1)关于x轴对称的点B的坐标是______．
13.已知一个凸多边形的内角和等于720°，则这个凸多边形的边数为______．
14.已知a(a−2)=8，则代数式a2−2a−6的值为______．
15.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于______．
16.如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为(4,2)，点B坐标为(1,−3)，在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P坐标为______．
四、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(3x)2⋅2xy．
18.(本小题4分)
两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
19.(本小题6分)
已知：如图，AB=AC，AD平分∠BAC.求证：∠B=∠C．
20.(本小题6分)
某社区在一块长方形空地上划出两块大小相同的边长为y米的正方形区域种植花草(数据如图所示，单位：米)，留下一块“T”型区域建休闲广场(阴影部分)．
(1)用含x，y的式子表示休闲广场的面积并化简；
(2)若x=2，y=3，求休闲广场的面积．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，M是CD的中点，EF过点M，与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，请在下列四个条件中：
①CF=DE；
②AD//BC；
③AB//CD；
④M是EF的中点．
选出一个作为已知条件，推出△CFM≌△DEM.并证明.(写出一种即可)
22.(本小题10分)
△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
(1)求证：∠BAD=∠C；
(2)∠BAD=30°，求∠B的度数．
23.(本小题10分)
如图，两棵大树AB、CD之间相距13m，小华从点B沿BC方向往点C行走，8秒后到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角∠AED=90°，且EA=ED.已知大树AB的高为5m，求小华行走的平均速度．
24.(本小题10分)
已知关于x，y的方程组x−y=2a+12x+3y=9a−8，其中a是实数．
(1)请用含a的代数式分别表示x，y．
(2)若x，y满足2x⋅8y=32，求(a−3)2023的值．
(3)试说明不论a取何实数，(x−3y)2−5的值始终不变．
25.(本小题12分)
如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是线段BC上的一个动点，点F在线段AB上，运动中始终保持∠FDB=12∠ACB，过点B作BE⊥FD交DF的延长线于点E．
(1)若点D与点C重合，如图1，试探究线段BE和DF的数量关系，直接写出这个结论．
(2)若点D不与B、C重合，如图2，(1)中线段BE和DF的数量关系是否依然成立，请说明理由．
(3)图2中，若BE= 5，则△BDF的面积为______.(直接写答案)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、一定是轴对称图形，故错误；
B、一定是轴对称图形，故错误；
C、不一定是轴对称图形，故正确；
D、一定是轴对称图形，故错误．
故选C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵∠C=180−∠A−∠B=180−40−50=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断．
本此题考查三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、1+2<4，不能组成三角形；
B、2+4=6，不能组成三角形；
C、4+6>8，能组成三角形
D、5+6<12，不能够组成三角形；
故选：C．
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
4.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=12AB=2．
故选：B．
根据含30°角的直角三角形的性质直接求解即可．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是要熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′=∠B，
∵∠B=180°−∠A−∠C=180°−50°−20°=110°，
∴∠B′=110°，
故选：A．
利用三角形内角和定理求出∠B，再利用轴对称的性质解决问题即可．
本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=8，
∴EC=5，
∴CF=8−5=3，
故选：B．
利用全等三角形的性质可得BC=EF=8，再利用线段的和差关系计算即可．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
7.【答案】A
【解析】解：连接AO，如图，
∵OE、OF分别与两边垂直，△ABC面积为20，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=12⋅AB⋅OE+12⋅AC⋅OF=20，
∵AB=AC=8，
∴12×8×OE+12×8×OF=20，
∴OE+OF=5，
故选：A．
连接AO，根据三角形的面积公式即可得到12⋅AB⋅OE+12⋅AC⋅OF=20，根据等腰三角形的性质进而求得OE+OF的值．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰三角形的性质是关键．
8.【答案】D
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB(全等三角形的对应角相等)．
故选：D．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C′O′D′，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′=∠AOB．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
9.【答案】AD
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，计算正确，故此选项符合题意；
B、x(x+1)=x2+x，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a2÷a=2a，原计算错误，故此选项符合题意；
D、(−a3)2=a6，计算正确，故此选项符合题意；
故选：AD．
根据同底数幂相乘法法则计算判定A；根据单项式乘以多项式的运算法则计算判定B；根据同底数幂除法法则计算判定C；根据积的乘方和幂的乘方法则计算判定D．
本题考查整式的运算，掌握整式的运算法则是关键．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵G为AD中点，
∴BG是△ABD的中线，
∴△ABG与△BDG面积相等，
∴选项A正确，符合题意；
∵AD平分∠BAC，CE⊥AD，
∴∠EAF=∠CAF，∠AFE=∠AFC=90°，
在△AFE与△AFC中，
∠EAF=∠CAFAF=AF∠AFE=∠AFC，
∴△AFE≌△AFC，
∴AE=AC，∠AEC=∠ACE，
∵AB−AE=BE，
∴AB−AC=BE，
∴选项D正确，符合题意；
∵∠AEC=∠CBE+∠BCE，
∴∠ACE=∠CBE+∠BCE，
∵∠CAD+∠ACE=90°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCE=90°，
∴选项C正确，符合题意，
假设∠BCE=12∠BAC，
∵∠EAF=∠CAF=12∠BAC，
∴∠EAF=∠CAF=∠BCE，
∵∠EAF+∠ACF=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB不一定为90°，
∴假设不成立，
∴∠BCE≠12∠BAC，
∴选项B错误，不符合题意，
故选：ACD．
根据三角形的高线、中线的性质及全等三角形与三角形内角和定理依次进行判断即可得出结果．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及三角形的基本性质，熟练掌握全等三角形与三角形的基本性质是解题关键．
11.【答案】12
【解析】解：∵等边三角形的一边长为4厘米，
∴等边三角形的周长为12厘米；
故答案为：12．
根据等边三角形三边相等可得结论．
本题考查了等边三角形的定义和三角形的周长，熟练掌握等边三角形三边相等是关键．
12.【答案】(3,1)
【解析】解：点A(3,−1)关于x轴对称的点的坐标是(3,1)，
故答案为：(3,1)．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13.【答案】6
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
则(n−2)×180°=720°，
解得：n=6，
故答案为：6．
设这个多边形的边数为n，根据题意得出(n−2)×180°=720°，求出即可．
本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=(n−2)×180°．
14.【答案】2
【解析】解：∵a(a−2)=8，
∴a2−2a=8，
∴a2−2a−6=8−6=2，
故答案为：2．
先根据单项式乘以多项式法则可得a(a−2)=a2−2a=8，再代入计算即可得．
本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，
15.【答案】20°
【解析】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ACB=∠B=180°−∠A2=70°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°−∠A=50°，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=70°−50°=20°．
故答案为：20°．
由等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由CD⊥AB，可求得∠ACD的度数，继而求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】(145,0)
【解析】解：如图连接A，B，与横轴交于点P，此时PA+PB的值最小，
设关于AB的一次函数解析式为：y=kx+b，
将A(4,2)，B(1,−3)，代入函数解析式中，
2=4k+b−3=k+b，解得：k=53b=−143，
故函数解析式为：y=53x−143，
故P点坐标为：(145,0)，
故答案为：(145,0)．
连接AB，交y轴于点P，则此时AP+PB最小，便可求得P点的坐标．
本题考查一次函数的图象与解析式，最值问题，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
17.【答案】解：(3x)2⋅2xy
=9x2⋅2xy
=18x3y.
【解析】根据相应的运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘单项式，关键是整式的乘法运算，积的乘方．
18.【答案】解：(1)作出线段AB的垂直平分线；
(2)作出角的平分线(2条)；
它们的交点即为所求作的点C(2个)．
【解析】根据题意可知，到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
本题考查了几何基本作图的能力，借助实际场景，具体考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．
19.【答案】证明：∵AD平分∠BAD，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，
∴∠B=∠C．
【解析】由“SAS”可证△BAD≌△CAD，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题图可得，休闲广场的面积为
(2x+y)(x+2y)−2y2
=2x2+4xy+xy+2y2−2y2
=(2x2+5xy)m2．
(2)∵x=2，y=3，
∴休闲广场的面积为2x2+5xy=2×22+5×2×3=38．
答：休闲广场的面积是38平方米．
【解析】(1)根据题意列式并进行运算即可；
(2)代入求值即可．
本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、代数式的求值．
21.【答案】解：①选择条件AD//BC，
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
∵AD//BC，
∴∠DEM=∠CFM，
在△CFM与△DEM中，
∠DEM=∠CFM∠EMD=∠FMCMD=MC，
∴△CFM≌△DEM(AAS)，
选择条件AB//CD可用角边角进行判定，
选择条件M是EF的中点，可用边角边进行判定．
【解析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
本题考查选择合适的条件判定三角形全等，能够熟练掌握判定定理是解决本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAE，
∴∠BAD=∠C；
(2)解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠C=∠DAE=30°，
∴∠BAC=2∠BAD=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠BCA=180°−60°−30°=90°．
【解析】(1)首先根据角平分线的定义可求出∠BAD=∠DAE，再根据线段的垂直平分线的性质得到AD=DC，即有∠C=∠DAE，问题得解；
(2)结合(1)的结论可得∠BAD=∠C=∠DAE=30°，再根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AED=90°，BC=13m，AB=5m，
∴∠B=∠C=90°=∠AED，
∴∠A+∠AEB=∠CED+∠AEB=90°，
∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，
∠B=∠C=90°∠A=∠CEDAE=ED，
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴AB=CE=5，
∴BE=BC−CE=13−5=8(m)，
∴小华行走的平均速度：8m÷8s=1m/s，
答小华行走的平均速度为1m/s．
【解析】先根据三角形全等的判定定理证出△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质可得AB=CE=5m，从而可得BE=BC−CE=13−5=8(m)，问题随之得解．
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.【答案】(1)解：x−y=2a+1①2x+3y=9a−8②，
①×3+②，得5x=15a−5，
解得x=3a−1，
将x=3a−1代入①，
得3a−1−y=2a+1，
解得y=a−2，
∴x=3a−1，y=a−2；
(2)解：∵2x⋅8y=32，
∴2x⋅(23)y=32，
∴2x+3y=32，
∴x+3y=5，
∴3a−1+3(a−2)=5，
解得a=2，
∴(a−3)2023=(2−3)2023=(−1)2023=−1；
(3)证明：(x−3y)2−5
=[3a−1−3(a−2)]2−5
=52−5
=25−5
=20，
∴不论a取何实数，(x−3y)2−5的值始终不变．
【解析】(1)根据加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)根据(1)可得x=3a−1，y=a−2，根据2x⋅8y=32，可知x+3y=5，可得3a−1+3(a−2)=5，求出a的值，进一步代入求值即可；
(3)将x=3a−1，y=a−2，代入(x−3y)2−5化简求值即可得证．
本题考查了解二元一次方程组，同底数幂的乘法，幂的乘方，代入求值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
25.【答案】5
【解析】解：(1)BE=12FD.理由如下：
如图1，延长CA与BE交于点G，
∵∠FDB=12∠ACB，
∴∠EDG=12∠ACB，
∴∠FDB=∠EDG，
∵BE⊥DE，
∴∠BEC=∠GEC=90°，
在△BCE和△GCE中
∠FDB=∠EDGDE=DE∠BEC=∠GEC，
∴△BCE≌△GCE(ASA)，
∴BE=EG=12BG，
∵∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA，
∴∠EBF=∠ACF，
即∠ABG=∠ACF，
在△ABG和△ACF中，
∠ABG=∠ACFAB=AC∠BAG=∠CAF=90°，
∴△ABG≌△ACF(ASA)，
∴BG=CF=FD，
又∵BE=12BG，
∴BE=12FD．
故答案为：BE=12FD．
(2)结论：BE=12FD，理由如下：
如图2，过点D作DG//AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，
∵DG//AC，∠BAC=90°，
∴∠BDG=∠C，∠BHD=∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠GDB，
∴HB=HD，
又∵∠BDE=12∠ACB，
∴∠BDE=12∠BDH，
同理(1)可得BE=EG=12BG，BG=FD，
∴BE=12FD．
(3)∵BE=12FD，BE= 5，
∴FD=2 5，
∵BE⊥FD，
∴S△DFB=12×DF×BE=12×2 5× 5=5，
故答案为：5．
(1)延长CA与BE交于点G，先证明△BCE≌△GCE，判断出BE=EG=12BG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE=12BG，可得BE=12FD，据此判断即可．
(2)过点D作DG//AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，根据DG//AC，∠BAC=90°，判断出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG=12BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE=12FD，据此判断即可；
(3)根据(2)的结论可得FD=2BE=2 5，再根据S△DFB=12×DF×BE即可作答．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
1.下列各图形中不一定是轴对称图形的是( )
A. 长方形B. 正方形C. 平行四边形D. 圆
2.在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，则△ABC的形状是( )
A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
3.以下列各组线段长为边能组成三角形的是( )
A. 1，2，4B. 2，4，6C. 4，6，8D. 5，6，12
4.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=50°，∠C=20°，则∠B′度数为( )
A. 110°B. 70°C. 90°D. 30°
6.如图，△ABC≌△DEF，B、E、C、F四个点在同一直线上，若BC=8，EC=5，则CF的长是( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
7.如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则OE+OF的值为( )
A. 5
B. 7.5
C. 9
D. 10
8.请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a6B. x(x+1)=x2+1
C. 2a2÷a=2a3D. (−a3)2=a6
10.如图，△ABC中AB>AC，D，E分别为边BC，AB上的点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点F，G为AD的中点，延长BG交AC于点H，则下列判断中正确的结论有( )
A. △ABG与△BDG面积相等
B. ∠BCE=12∠BAC
C. ∠CAD+∠CBE+∠BCE=90°
D. AB−AC=BE
三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若等边三角形的一边长为4厘米，则它的周长为______厘米．
12.点A(3,−1)关于x轴对称的点B的坐标是______．
13.已知一个凸多边形的内角和等于720°，则这个凸多边形的边数为______．
14.已知a(a−2)=8，则代数式a2−2a−6的值为______．
15.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于______．
16.如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为(4,2)，点B坐标为(1,−3)，在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P坐标为______．
四、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(3x)2⋅2xy．
18.(本小题4分)
两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1、l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
19.(本小题6分)
已知：如图，AB=AC，AD平分∠BAC.求证：∠B=∠C．
20.(本小题6分)
某社区在一块长方形空地上划出两块大小相同的边长为y米的正方形区域种植花草(数据如图所示，单位：米)，留下一块“T”型区域建休闲广场(阴影部分)．
(1)用含x，y的式子表示休闲广场的面积并化简；
(2)若x=2，y=3，求休闲广场的面积．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，M是CD的中点，EF过点M，与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，请在下列四个条件中：
①CF=DE；
②AD//BC；
③AB//CD；
④M是EF的中点．
选出一个作为已知条件，推出△CFM≌△DEM.并证明.(写出一种即可)
22.(本小题10分)
△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
(1)求证：∠BAD=∠C；
(2)∠BAD=30°，求∠B的度数．
23.(本小题10分)
如图，两棵大树AB、CD之间相距13m，小华从点B沿BC方向往点C行走，8秒后到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角∠AED=90°，且EA=ED.已知大树AB的高为5m，求小华行走的平均速度．
24.(本小题10分)
已知关于x，y的方程组x−y=2a+12x+3y=9a−8，其中a是实数．
(1)请用含a的代数式分别表示x，y．
(2)若x，y满足2x⋅8y=32，求(a−3)2023的值．
(3)试说明不论a取何实数，(x−3y)2−5的值始终不变．
25.(本小题12分)
如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是线段BC上的一个动点，点F在线段AB上，运动中始终保持∠FDB=12∠ACB，过点B作BE⊥FD交DF的延长线于点E．
(1)若点D与点C重合，如图1，试探究线段BE和DF的数量关系，直接写出这个结论．
(2)若点D不与B、C重合，如图2，(1)中线段BE和DF的数量关系是否依然成立，请说明理由．
(3)图2中，若BE= 5，则△BDF的面积为______.(直接写答案)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、一定是轴对称图形，故错误；
B、一定是轴对称图形，故错误；
C、不一定是轴对称图形，故正确；
D、一定是轴对称图形，故错误．
故选C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵∠C=180−∠A−∠B=180−40−50=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断．
本此题考查三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、1+2<4，不能组成三角形；
B、2+4=6，不能组成三角形；
C、4+6>8，能组成三角形
D、5+6<12，不能够组成三角形；
故选：C．
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
4.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=12AB=2．
故选：B．
根据含30°角的直角三角形的性质直接求解即可．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是要熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′=∠B，
∵∠B=180°−∠A−∠C=180°−50°−20°=110°，
∴∠B′=110°，
故选：A．
利用三角形内角和定理求出∠B，再利用轴对称的性质解决问题即可．
本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=8，
∴EC=5，
∴CF=8−5=3，
故选：B．
利用全等三角形的性质可得BC=EF=8，再利用线段的和差关系计算即可．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
7.【答案】A
【解析】解：连接AO，如图，
∵OE、OF分别与两边垂直，△ABC面积为20，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=12⋅AB⋅OE+12⋅AC⋅OF=20，
∵AB=AC=8，
∴12×8×OE+12×8×OF=20，
∴OE+OF=5，
故选：A．
连接AO，根据三角形的面积公式即可得到12⋅AB⋅OE+12⋅AC⋅OF=20，根据等腰三角形的性质进而求得OE+OF的值．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰三角形的性质是关键．
8.【答案】D
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB(全等三角形的对应角相等)．
故选：D．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C′O′D′，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′=∠AOB．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
9.【答案】AD
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，计算正确，故此选项符合题意；
B、x(x+1)=x2+x，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a2÷a=2a，原计算错误，故此选项符合题意；
D、(−a3)2=a6，计算正确，故此选项符合题意；
故选：AD．
根据同底数幂相乘法法则计算判定A；根据单项式乘以多项式的运算法则计算判定B；根据同底数幂除法法则计算判定C；根据积的乘方和幂的乘方法则计算判定D．
本题考查整式的运算，掌握整式的运算法则是关键．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵G为AD中点，
∴BG是△ABD的中线，
∴△ABG与△BDG面积相等，
∴选项A正确，符合题意；
∵AD平分∠BAC，CE⊥AD，
∴∠EAF=∠CAF，∠AFE=∠AFC=90°，
在△AFE与△AFC中，
∠EAF=∠CAFAF=AF∠AFE=∠AFC，
∴△AFE≌△AFC，
∴AE=AC，∠AEC=∠ACE，
∵AB−AE=BE，
∴AB−AC=BE，
∴选项D正确，符合题意；
∵∠AEC=∠CBE+∠BCE，
∴∠ACE=∠CBE+∠BCE，
∵∠CAD+∠ACE=90°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCE=90°，
∴选项C正确，符合题意，
假设∠BCE=12∠BAC，
∵∠EAF=∠CAF=12∠BAC，
∴∠EAF=∠CAF=∠BCE，
∵∠EAF+∠ACF=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB不一定为90°，
∴假设不成立，
∴∠BCE≠12∠BAC，
∴选项B错误，不符合题意，
故选：ACD．
根据三角形的高线、中线的性质及全等三角形与三角形内角和定理依次进行判断即可得出结果．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及三角形的基本性质，熟练掌握全等三角形与三角形的基本性质是解题关键．
11.【答案】12
【解析】解：∵等边三角形的一边长为4厘米，
∴等边三角形的周长为12厘米；
故答案为：12．
根据等边三角形三边相等可得结论．
本题考查了等边三角形的定义和三角形的周长，熟练掌握等边三角形三边相等是关键．
12.【答案】(3,1)
【解析】解：点A(3,−1)关于x轴对称的点的坐标是(3,1)，
故答案为：(3,1)．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13.【答案】6
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
则(n−2)×180°=720°，
解得：n=6，
故答案为：6．
设这个多边形的边数为n，根据题意得出(n−2)×180°=720°，求出即可．
本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=(n−2)×180°．
14.【答案】2
【解析】解：∵a(a−2)=8，
∴a2−2a=8，
∴a2−2a−6=8−6=2，
故答案为：2．
先根据单项式乘以多项式法则可得a(a−2)=a2−2a=8，再代入计算即可得．
本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，
15.【答案】20°
【解析】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ACB=∠B=180°−∠A2=70°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°−∠A=50°，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=70°−50°=20°．
故答案为：20°．
由等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由CD⊥AB，可求得∠ACD的度数，继而求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】(145,0)
【解析】解：如图连接A，B，与横轴交于点P，此时PA+PB的值最小，
设关于AB的一次函数解析式为：y=kx+b，
将A(4,2)，B(1,−3)，代入函数解析式中，
2=4k+b−3=k+b，解得：k=53b=−143，
故函数解析式为：y=53x−143，
故P点坐标为：(145,0)，
故答案为：(145,0)．
连接AB，交y轴于点P，则此时AP+PB最小，便可求得P点的坐标．
本题考查一次函数的图象与解析式，最值问题，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
17.【答案】解：(3x)2⋅2xy
=9x2⋅2xy
=18x3y.
【解析】根据相应的运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘单项式，关键是整式的乘法运算，积的乘方．
18.【答案】解：(1)作出线段AB的垂直平分线；
(2)作出角的平分线(2条)；
它们的交点即为所求作的点C(2个)．
【解析】根据题意可知，到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
本题考查了几何基本作图的能力，借助实际场景，具体考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．
19.【答案】证明：∵AD平分∠BAD，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，
∴∠B=∠C．
【解析】由“SAS”可证△BAD≌△CAD，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题图可得，休闲广场的面积为
(2x+y)(x+2y)−2y2
=2x2+4xy+xy+2y2−2y2
=(2x2+5xy)m2．
(2)∵x=2，y=3，
∴休闲广场的面积为2x2+5xy=2×22+5×2×3=38．
答：休闲广场的面积是38平方米．
【解析】(1)根据题意列式并进行运算即可；
(2)代入求值即可．
本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、代数式的求值．
21.【答案】解：①选择条件AD//BC，
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
∵AD//BC，
∴∠DEM=∠CFM，
在△CFM与△DEM中，
∠DEM=∠CFM∠EMD=∠FMCMD=MC，
∴△CFM≌△DEM(AAS)，
选择条件AB//CD可用角边角进行判定，
选择条件M是EF的中点，可用边角边进行判定．
【解析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
本题考查选择合适的条件判定三角形全等，能够熟练掌握判定定理是解决本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAE，
∴∠BAD=∠C；
(2)解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠C=∠DAE=30°，
∴∠BAC=2∠BAD=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠BCA=180°−60°−30°=90°．
【解析】(1)首先根据角平分线的定义可求出∠BAD=∠DAE，再根据线段的垂直平分线的性质得到AD=DC，即有∠C=∠DAE，问题得解；
(2)结合(1)的结论可得∠BAD=∠C=∠DAE=30°，再根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AED=90°，BC=13m，AB=5m，
∴∠B=∠C=90°=∠AED，
∴∠A+∠AEB=∠CED+∠AEB=90°，
∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，
∠B=∠C=90°∠A=∠CEDAE=ED，
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴AB=CE=5，
∴BE=BC−CE=13−5=8(m)，
∴小华行走的平均速度：8m÷8s=1m/s，
答小华行走的平均速度为1m/s．
【解析】先根据三角形全等的判定定理证出△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质可得AB=CE=5m，从而可得BE=BC−CE=13−5=8(m)，问题随之得解．
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.【答案】(1)解：x−y=2a+1①2x+3y=9a−8②，
①×3+②，得5x=15a−5，
解得x=3a−1，
将x=3a−1代入①，
得3a−1−y=2a+1，
解得y=a−2，
∴x=3a−1，y=a−2；
(2)解：∵2x⋅8y=32，
∴2x⋅(23)y=32，
∴2x+3y=32，
∴x+3y=5，
∴3a−1+3(a−2)=5，
解得a=2，
∴(a−3)2023=(2−3)2023=(−1)2023=−1；
(3)证明：(x−3y)2−5
=[3a−1−3(a−2)]2−5
=52−5
=25−5
=20，
∴不论a取何实数，(x−3y)2−5的值始终不变．
【解析】(1)根据加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)根据(1)可得x=3a−1，y=a−2，根据2x⋅8y=32，可知x+3y=5，可得3a−1+3(a−2)=5，求出a的值，进一步代入求值即可；
(3)将x=3a−1，y=a−2，代入(x−3y)2−5化简求值即可得证．
本题考查了解二元一次方程组，同底数幂的乘法，幂的乘方，代入求值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
25.【答案】5
【解析】解：(1)BE=12FD.理由如下：
如图1，延长CA与BE交于点G，
∵∠FDB=12∠ACB，
∴∠EDG=12∠ACB，
∴∠FDB=∠EDG，
∵BE⊥DE，
∴∠BEC=∠GEC=90°，
在△BCE和△GCE中
∠FDB=∠EDGDE=DE∠BEC=∠GEC，
∴△BCE≌△GCE(ASA)，
∴BE=EG=12BG，
∵∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA，
∴∠EBF=∠ACF，
即∠ABG=∠ACF，
在△ABG和△ACF中，
∠ABG=∠ACFAB=AC∠BAG=∠CAF=90°，
∴△ABG≌△ACF(ASA)，
∴BG=CF=FD，
又∵BE=12BG，
∴BE=12FD．
故答案为：BE=12FD．
(2)结论：BE=12FD，理由如下：
如图2，过点D作DG//AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，
∵DG//AC，∠BAC=90°，
∴∠BDG=∠C，∠BHD=∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠GDB，
∴HB=HD，
又∵∠BDE=12∠ACB，
∴∠BDE=12∠BDH，
同理(1)可得BE=EG=12BG，BG=FD，
∴BE=12FD．
(3)∵BE=12FD，BE= 5，
∴FD=2 5，
∵BE⊥FD，
∴S△DFB=12×DF×BE=12×2 5× 5=5，
故答案为：5．
(1)延长CA与BE交于点G，先证明△BCE≌△GCE，判断出BE=EG=12BG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE=12BG，可得BE=12FD，据此判断即可．
(2)过点D作DG//AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，根据DG//AC，∠BAC=90°，判断出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG=12BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE=12FD，据此判断即可；
(3)根据(2)的结论可得FD=2BE=2 5，再根据S△DFB=12×DF×BE即可作答．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
相关试卷
广东省广州市天河区骏景中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）： 这是一份广东省广州市天河区骏景中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共20页。
广东省广州市骏景中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）： 这是一份广东省广州市骏景中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共19页。
52，广东省广州市天河区骏景中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题： 这是一份52，广东省广州市天河区骏景中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共11页。
