内蒙古呼和浩特市桥华学校2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古呼和浩特市桥华学校2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2024的倒数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：，
2024的倒数是，
故选：C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形但是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3. 随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，某日通过搜索得出相关结果约为16000000个．将“16000000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法；根据科学记数法计算方法计算即可；解题的关键是掌握科学记数法的计算方法．
【详解】解：
故选：B．
4. 如图，直线，点在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂除法，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A.2a与3b不是同类项，不能合并，故不正确；
B. ，故不正确；
C. ，故正确；
D. ，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2．
6. 某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，
则这11双鞋的尺码组成一组数据中众数和中位数分别为（ ）
A. 25，25B. 24.5，25C. 26，25D. 25，24.5
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、26，
数据25出现了五次最多为众数．
25处在第6位为中位数．所以中位数是25，众数是25.
故选A.
7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵-3＜0，-1＜0，
∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ）

A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再由勾股定理可得的长，即可求解．
详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9. 直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
10. 如图，在中，.以的中点O为圆心的圆分别与，相切于D，E两点，则弧的长为( ).
A. B. C. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由切线的性质可知，又由可得四边形是矩形，得出，证明,得出，由于O是的中点，从而可知是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
【详解】解：连接，
设半径为r，
∵分别与相切于D，E两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴
∴，即
∵是AB的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理可知：，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理可知，
∴，
∴的长为=．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，解题的关键是连接后利用中位线的性质求出半径r的值．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴
∴
故答案为：
12. 定义运算“”：
（1）________；
（2）若，则的值为________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义和解分式方程，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义得到，据此计算即可；
（2）当时，则，当时，则，两种情况分别解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式与方程即可得到满足条件的的值．
【详解】解：根据题意得，且，
解得，
所以的值为．
故答案为：．
14. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键．
15. 如图，在中，，．分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交边于点．若，则的长为 ___________．
【答案】2
【解析】
【分析】设交于，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得．
【详解】解：设交于，连接，如图：
由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到是线段的垂直平分线．
16. 如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为________
【答案】
【解析】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
∴点P的运动轨迹是，
当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA=PC，OB⊥AC，
则AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
17. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）0（2），
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简负整数指数幂，余弦值，绝对值，零指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答；
（2）先计算分式的乘法，再算分式的减法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
18. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，BE、DF分别交AC于点G、H，连接DG、BH．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）四边形GBHD是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若GD＝CH，试判断AC与GH之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）AC＝3GH，理由详见解析
【解析】
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断；
（2）根据（1）中结论，可得AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，从而证明△ADH≌△CBG，再根据一组对边平行且相等四边形是平行四边形即可；
（3）先证明△AEG∽△CBG，得出相似比，从而得到AC＝3AG及AH＝2CH，进而得出AC与GH的数量关系．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DE∥BF，
∵E、F分别是AD、BC中点，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形EBFD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，
∴∠DAH＝∠BCG，∠AHD＝∠CGB，
在△ADH与△CBG中，，
∴△ADH≌△CBG（AAS），
∴DH＝BG，
∵DH∥BG，
∴四边形GBHD是平行四边形；
（3）解：AC与GH之间的数量关系为：AC＝3GH，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、BC的中点，
∴BC＝AD＝2AE，AE∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴，
∴CG＝2AG，
∴AC＝3AG，即AG＝AC，
同理可得：AH＝2CH，
∴AC＝3CH，即CH＝AC，
∴GH＝AC，
即AC＝3GH．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判断性质，并结合相似三角形确定线段之间的数量关系．
19. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出不等式时的解集．
【答案】（1）
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案.
（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.
【小问1详解】
解：把代入得：

所以反比例函数的解析式为：
把代入得

把代入得：
解得：
所以一次函数的解析式为：
【小问2详解】
解：为
令 则 即

【小问3详解】
解：由可得：
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以：或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，三角形面积的计算，利用图象法解不等式，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键.
20. 第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“热爱体育，喜迎大运”系列活动，增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目．为了解全校1800名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）参加问卷调查的同学共______名，补全条形统计图；
（2）估计该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数；
（3）学校准备组建一支校足球队，某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢足球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中乙、丙两名同学的概率．
【答案】（1）60，补全条形统计图见详解
（2）该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人.
（3）.
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数，用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用1800乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中乙、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：参加问卷调查的同学共（名）
喜爱柔道的人数为（名），补全条形统计图如图所示；
【小问2详解】
解：（人），
∴该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人；
【小问3详解】
画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中乙、丙两名同学的概率为．
21. 为了美化周围环境，社区购买了A、B两种不同品种的花苗，已知A种花苗的单价比B种花苗的单价多1.5元，且用8000元购买A种花苗的数量与用5000元购买B种花苗的数量相同．
（1）求A、B两种花苗的单价各是多少元？
（2）根据实际情况需要，社区还需要增加购买一些花苗，增加购买B种花苗数量是增加购买A种花苗数量的2倍，若本次增加购买的总费用不超过7200元，求增加购买A种花苗的数量最多是多少株？
【答案】（1）A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元
（2）增加购买A种花苗的数量最多是800株
【解析】
【分析】（1）设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设增加购买A种花苗的数量是m株，根据题意列出不等式，然后根据m为正整数求解即可．
【小问1详解】
设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，
根据题意，得：，
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元；
【小问2详解】
设增加购买A种花苗的数量是m株，
根据题意，得：，
解不等式，得：．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为800，
答：增加购买A种花苗的数量最多是800株．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
22. 周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动.已知小红家在小宇家的北偏西方向上，.两人到达劳动基地处后，发现小宇家在劳动基地的南偏西方向上，小红家在劳动基地的南偏西方向上.求小宇家到劳动基地的距离.（结果保留1位小数；参考数据：，，，）
【答案】小宇家到劳动基地的距离约为7.1km
【解析】
【分析】过点作，解直角三角形即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足为.
由题意，得，
.
在中，，
∴，
.
在中，，
∴.
答：小宇家到劳动基地距离约为7.1km.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解．
23. 如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
【小问2详解】
解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
24. 如图，抛物线与x轴交于点A-2,0、B4,0，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点(不与点B、C重合)，过点P作y轴的平行线，交于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）用含t的代数式表示线段的长，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作于点H，．
①求点P的坐标；
②连接，在y轴上是否存在点Q，使得是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）2，
（3）；存在．点Q的坐标为或
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题．
（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数最值即可求得答案；
（3）根据题意建立方程求解即可得出答案；设，根据，分两种情况：当时，当时，分别求得点Q的坐标即可．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于点A-2,0、B4,0，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，令，得，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
， ，
当时，取得最大值2，此时点M的坐标为；
【小问3详解】
解：如图1，
，，，B4,0，，，
，，，，
，
，
解得：，，
点P是线段下方抛物线上的一个动点，
，
，
；
存在点Q使得为直角三角形，设，
，，
，，，，
当时，如图2，轴，
；
当时，如图3，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述，点Q的坐标为或．
鞋的尺码（单位：厘米）
23.5
24
24.5
25
26
销售量（单位：双）
1
2
2
5
1