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山西省临汾市曲沃县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份山西省临汾市曲沃县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版），文件包含山西省临汾市曲沃县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题原卷版docx、山西省临汾市曲沃县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查最简分式的识别．根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．
【详解】解：A、，分子与分母没有公因式，是最简分式，本选项符合题意；
B、，不是最简分式，本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，本选项不符合题意；
故选：A．
2. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要关于轴对称的点的坐标特点．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：B．
3. 如图，在中，，点是边上任意一点，过点分别作的平行线，交于点，交AB于点，则四边形的周长是（ ）
A. 32B. 24C. 16D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据题意可得都是等腰三角形，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的周长，
，
故选：A ．
4. 去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级（1）班第一组8名学生捐款如下（单位：元）：30，50，30，20，30，50，20，20，则这组捐款众数是（ ）
A. 30元B. 20元C. 25元D. 30元和20元
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数的概念，根据出现次数最多的数即为众数，一组数据中可以没有众数，也可以有一个，或有多个，由此即可求解．
【详解】解：捐款数中，20元出现了3次，30元出现了3次，
∴众数是：20元和30元，
故选：D ．
5. 是指大气中直径小于或等于μm（1μmm）颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．μm用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵1μmm m
∴μm
故选：C
6. 如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 60B. 120C. 240D. 480
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线，交于点，，，
∴，
故选：B．
7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系用“”连接的结果为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图形的性质，根据反比例函数解析式可得，函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：已知反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，
在第一象限中，x>0，，在第三象限中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C ．
8. 如图，是我们生活中常用的水桶，往空桶内加水，桶内水的高度（厘米）随着加水时间（秒）的变化而变化，下列图象适合表示与的对应关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．根据所给物体的形状，桶内水的高度随时间的的增大而增大，增大幅度先快后慢．那么函数图象应是先陡后缓．
【详解】解：往空桶内加水，桶内水的高度随时间的的增大而增大，增大幅度先快后慢．
故选：D．
9. 如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，这的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据平行四边形的性质可得，即，根据平行线的性质，折叠的性质可得，根据三角形内角和定理可得，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，
在中，，
∴，
故选：B ．
10. 如图，矩形的边在x轴的正半轴上，C，D在第一象限内，，，直线经过点交轴于点，双曲线经过点，则的值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征．由一次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标，根据矩形的性质易求点的坐标，再把点的坐标代入双曲线解析式即可求得的值．
【详解】解：根据矩形的性质知点的纵坐标是，
直线经过点，
，
解得，，
即点的坐标是．
矩形在第一象限，在轴正半轴上，，，
，
双曲线经过点，
，即的值为1．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的乘除法．根据分式的除法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 在平行四边形中，，则对角线BD的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的定义，三角形三边数量关系，根据构成三角形三边的数量关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴，即，
故答案为： ．
13. 某公司招聘员工，分别测试了应聘者的阅读、思维、表达三方面，两位应聘者的得分为：甲的阅读、思维、表达分别是93分、86分、73分；乙的阅读、思维、表达分别是95分、81分、79分．根据实际需要，公司将阅读、思维和表达三项测试得分按的比例确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，将被录用的是_______．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的知识．根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可．
【详解】解：根据题意得：
（分），
（分）；
甲将被录用．
故答案为：甲．
14. 收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为_______kHz．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，将图像上的点代入求得解析式即可．
【详解】解：∵频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，
∴设
由图像可得：
∴
∴
当时，
故答案为：
15. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识．先证明是等腰三角形，设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】证明：连接，设交于点，由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
；
由作图可知：，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故答案为：16．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了负整数幂和零指数幂、解分式方程等知识，熟练掌握运算法则和解分式方程的方法是解题的关键．
（1）先计算负整数幂和零指数幂，再进行加减法运算即可；
（2）去分母把分式方程化为整式方程，解方程后并检验即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
方程两边都乘，得
，
解得．
检验：当时，，
∴原方程的解为．
17. 先化简，再求值：，其中．
请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务：
原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
当时，原式 第六步
任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是______；第五步变形的依据是______；
任务二：小明的解题过程中，第______步开始出错的，正确的结果是_______．
【答案】任务一：乘法分配律，分数的性质
任务二：三，；正确的计算过程见详解
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求证，掌握乘法公式，乘法分配律，代入求值的计算是解题的关键．
任务一：根据解析过程分析即可求解；
任务二：根据分数的加减运算即可得出第三步出错，根据分式的性质化简求值即可．
【详解】解：任务一：根据材料可得，第二步变形运用的运算律是乘法分配律；第五步变形的依据是根据分数的性质约分，
故答案为：乘法分配律，分数的性质；
任务二：第三步分子相减时出错，正确的解题过程如下，
，
当时，原式．
18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
19. 某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程．
（1）甲施工队每天完成多少？
（2）高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款．
【答案】（1）甲施工队每天完成的绿化面积为；
（2）甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．注意解分式方程时一定要检验．
（1）可设甲施工队每天完成的绿化面积为，利用等量关系列出分式方程求解即可；
（2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解．
【小问1详解】
解：设甲施工队每天完成的绿化面积为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
答：甲施工队每天完成的绿化面积为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴甲施工队完成了任务，
乙施工队完成了任务，
∴甲施工队可得工程款（元），
乙施工队可得工程款（元），
答：甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元．
20. 为了了解学生的数学学习情况，王老师对甲、乙两位学生升入初中以来的六次数学测试成绩进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表（单位：分）
（1）王老师对甲、乙两位学生的得分进行了整理和部分计算，请你求出表格中的值（注：方差的计算结果精确到）；
（2）请结合以上统计表和统计量对甲、乙两位学生的数学成绩进行评价．
【答案】（1）
（2）甲的成绩较稳定（答案不唯一，合理即可）
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握平均数，中位数，方差的计算，由调查数据作决策的知识是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，方差的计算方法即可求解；
（2）根据调查数据作决策即可．
【小问1详解】
解：甲的成绩从低到高的排序为：92，93，94，94，95，96，
∴中位数，
乙的成绩的平均数，
乙的成绩的方差
，
∴；
【小问2详解】
解：甲、乙成绩的平均数都是分，甲的中位数比乙的中位数小，
∴甲的次成绩较乙的次成绩偏低，
∵甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，
∴甲的成绩较稳定（答案不唯一，合理即可）．
21. 学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务．
项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化
驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化
分步探究：
任务一：市场调查
某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下：
任务二：模型建立
（1）根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______；
任务三：问题解决
（2）玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？
【答案】（1）一次，
（2）当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数，不等式与销售问题的综合运用，利润率的计算方法，
（1）根据表格信息可得是一次函数，运用待定系数法即可求解函数解析式；
（2）根据利润率利润成本，再根据不等式，函数图象的性质即可求解．
【小问1详解】
解：根据表格信息可得，日销售量（个）是销售定价（元）的一次函数，
设该一次函数解析式为y=kx+bk≠0，把代入得，
，
解得，，
∴与的函数关系式是：，
故答案为：一次，；
【小问2详解】
解：根据题意，这种益智玩具每个销售定价为元，日销售量为，
∴，整理得，，
∵，即随的增大而减小，且，
∴，
解得，，
∴当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个．
22. 问题情境：在“综合实践”课上，老师提出如下问题：如图1，正方形的对角线相交于点，点是线段上的一点，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．试判断线段和的数量关系，并加以证明．
（1）请解答老师提出问题；
（2）老师提示同学们改变图1中点的位置，进一步研究线段的数量关系．
①小英提出：如图2，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系，并说明理由；
②小雄提出：如图3，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系（直接写出结果）；
（3）以上问题的解决，也可以理解为：通过某种变换，将运动至与重合，进而探究线段之间的数量关系，这里的变换方式是指（ ）．
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．中心对称
【答案】（1），证明过程见详解
（2）①，证明过程见详解；②，证明过程见详解
（3）C
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形两锐角互余的关系可得，可证，由此即可求解；
（2）①根据正方向的性质可得，根据一线三直角的性质可得，由此可证，即可求解；②证明方法同上；
（3）根据题意，将绕点逆时针旋转后与重合，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：，理由如下，
∵四边形是正方形，对角线交于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①，理由如下，
∵四边形是正方形，对角线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
②同法可得：，
∴；
【小问3详解】
解：根据图示可得，将绕点逆时针旋转后与重合，
∴这里的变换方式是旋转，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，旋转的性质，掌握正方形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．
23. 综合与探究：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．
（1）求的面积；
（2）过点B作轴垂线交直线于点D，过点D作轴平行线交直线于点E，过点E作轴的垂线交轴于点F．
①求线段的长；
②点G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点G的坐标．
【答案】（1）36 （2）①；②存在这样的点G坐标为或或．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质，坐标与图形等知识：
（1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积；
（2）①分别求出点，，的坐标，据此即可求解；②分，为对角线，，为对角线，，为对角线，分别讨论求解即可．
【小问1详解】
解：令直线中，则，
解得，，
∴A-4,0；
令直线中，则，
解得，，
∴，
∴．
联立直线的解析式成方程组，，
解得，，
∴交点C的坐标为，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，且轴，点D在上，
∴，
∴，
当时，解得，
∴，
∵轴，
∴；
②∵，，，
设，
当，为对角线，
∴，，
解得，，，
所以，点G坐标为；
②当，为对角线时，
∴，，
解得，，，
所以，点G坐标为；
③当，为对角线时，
∴，，
解得，，，
所以，点G坐标为；
综上所述，存在这样的点G坐标为或或．
一
二
三
四
五
六
甲
92
95
96
94
94
93
乙
89
90
94
96
97
98
平均数
中位数
方差
甲
94
b
1.7
乙
a
95
c
玩具店
售价（元/个）
日销售量（个）
B
61
280
E
60
300
A
59
320
D
58
340
C
56
380
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查最简分式的识别．根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．
【详解】解：A、，分子与分母没有公因式，是最简分式，本选项符合题意；
B、，不是最简分式，本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，本选项不符合题意；
故选：A．
2. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要关于轴对称的点的坐标特点．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：B．
3. 如图，在中，，点是边上任意一点，过点分别作的平行线，交于点，交AB于点，则四边形的周长是（ ）
A. 32B. 24C. 16D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据题意可得都是等腰三角形，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的周长，
，
故选：A ．
4. 去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级（1）班第一组8名学生捐款如下（单位：元）：30，50，30，20，30，50，20，20，则这组捐款众数是（ ）
A. 30元B. 20元C. 25元D. 30元和20元
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数的概念，根据出现次数最多的数即为众数，一组数据中可以没有众数，也可以有一个，或有多个，由此即可求解．
【详解】解：捐款数中，20元出现了3次，30元出现了3次，
∴众数是：20元和30元，
故选：D ．
5. 是指大气中直径小于或等于μm（1μmm）颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．μm用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵1μmm m
∴μm
故选：C
6. 如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 60B. 120C. 240D. 480
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线，交于点，，，
∴，
故选：B．
7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系用“”连接的结果为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图形的性质，根据反比例函数解析式可得，函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：已知反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，
在第一象限中，x>0，，在第三象限中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C ．
8. 如图，是我们生活中常用的水桶，往空桶内加水，桶内水的高度（厘米）随着加水时间（秒）的变化而变化，下列图象适合表示与的对应关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．根据所给物体的形状，桶内水的高度随时间的的增大而增大，增大幅度先快后慢．那么函数图象应是先陡后缓．
【详解】解：往空桶内加水，桶内水的高度随时间的的增大而增大，增大幅度先快后慢．
故选：D．
9. 如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在延长线上的点处，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，这的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据平行四边形的性质可得，即，根据平行线的性质，折叠的性质可得，根据三角形内角和定理可得，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，
在中，，
∴，
故选：B ．
10. 如图，矩形的边在x轴的正半轴上，C，D在第一象限内，，，直线经过点交轴于点，双曲线经过点，则的值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征．由一次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标，根据矩形的性质易求点的坐标，再把点的坐标代入双曲线解析式即可求得的值．
【详解】解：根据矩形的性质知点的纵坐标是，
直线经过点，
，
解得，，
即点的坐标是．
矩形在第一象限，在轴正半轴上，，，
，
双曲线经过点，
，即的值为1．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的乘除法．根据分式的除法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 在平行四边形中，，则对角线BD的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的定义，三角形三边数量关系，根据构成三角形三边的数量关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴，即，
故答案为： ．
13. 某公司招聘员工，分别测试了应聘者的阅读、思维、表达三方面，两位应聘者的得分为：甲的阅读、思维、表达分别是93分、86分、73分；乙的阅读、思维、表达分别是95分、81分、79分．根据实际需要，公司将阅读、思维和表达三项测试得分按的比例确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，将被录用的是_______．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的知识．根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可．
【详解】解：根据题意得：
（分），
（分）；
甲将被录用．
故答案为：甲．
14. 收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为_______kHz．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，将图像上的点代入求得解析式即可．
【详解】解：∵频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，
∴设
由图像可得：
∴
∴
当时，
故答案为：
15. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识．先证明是等腰三角形，设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】证明：连接，设交于点，由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
；
由作图可知：，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故答案为：16．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了负整数幂和零指数幂、解分式方程等知识，熟练掌握运算法则和解分式方程的方法是解题的关键．
（1）先计算负整数幂和零指数幂，再进行加减法运算即可；
（2）去分母把分式方程化为整式方程，解方程后并检验即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
方程两边都乘，得
，
解得．
检验：当时，，
∴原方程的解为．
17. 先化简，再求值：，其中．
请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务：
原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
当时，原式 第六步
任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是______；第五步变形的依据是______；
任务二：小明的解题过程中，第______步开始出错的，正确的结果是_______．
【答案】任务一：乘法分配律，分数的性质
任务二：三，；正确的计算过程见详解
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求证，掌握乘法公式，乘法分配律，代入求值的计算是解题的关键．
任务一：根据解析过程分析即可求解；
任务二：根据分数的加减运算即可得出第三步出错，根据分式的性质化简求值即可．
【详解】解：任务一：根据材料可得，第二步变形运用的运算律是乘法分配律；第五步变形的依据是根据分数的性质约分，
故答案为：乘法分配律，分数的性质；
任务二：第三步分子相减时出错，正确的解题过程如下，
，
当时，原式．
18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
19. 某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程．
（1）甲施工队每天完成多少？
（2）高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款．
【答案】（1）甲施工队每天完成的绿化面积为；
（2）甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．注意解分式方程时一定要检验．
（1）可设甲施工队每天完成的绿化面积为，利用等量关系列出分式方程求解即可；
（2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解．
【小问1详解】
解：设甲施工队每天完成的绿化面积为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
答：甲施工队每天完成的绿化面积为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴甲施工队完成了任务，
乙施工队完成了任务，
∴甲施工队可得工程款（元），
乙施工队可得工程款（元），
答：甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元．
20. 为了了解学生的数学学习情况，王老师对甲、乙两位学生升入初中以来的六次数学测试成绩进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表（单位：分）
（1）王老师对甲、乙两位学生的得分进行了整理和部分计算，请你求出表格中的值（注：方差的计算结果精确到）；
（2）请结合以上统计表和统计量对甲、乙两位学生的数学成绩进行评价．
【答案】（1）
（2）甲的成绩较稳定（答案不唯一，合理即可）
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握平均数，中位数，方差的计算，由调查数据作决策的知识是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，方差的计算方法即可求解；
（2）根据调查数据作决策即可．
【小问1详解】
解：甲的成绩从低到高的排序为：92，93，94，94，95，96，
∴中位数，
乙的成绩的平均数，
乙的成绩的方差
，
∴；
【小问2详解】
解：甲、乙成绩的平均数都是分，甲的中位数比乙的中位数小，
∴甲的次成绩较乙的次成绩偏低，
∵甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，
∴甲的成绩较稳定（答案不唯一，合理即可）．
21. 学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务．
项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化
驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化
分步探究：
任务一：市场调查
某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下：
任务二：模型建立
（1）根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______；
任务三：问题解决
（2）玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？
【答案】（1）一次，
（2）当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数，不等式与销售问题的综合运用，利润率的计算方法，
（1）根据表格信息可得是一次函数，运用待定系数法即可求解函数解析式；
（2）根据利润率利润成本，再根据不等式，函数图象的性质即可求解．
【小问1详解】
解：根据表格信息可得，日销售量（个）是销售定价（元）的一次函数，
设该一次函数解析式为y=kx+bk≠0，把代入得，
，
解得，，
∴与的函数关系式是：，
故答案为：一次，；
【小问2详解】
解：根据题意，这种益智玩具每个销售定价为元，日销售量为，
∴，整理得，，
∵，即随的增大而减小，且，
∴，
解得，，
∴当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个．
22. 问题情境：在“综合实践”课上，老师提出如下问题：如图1，正方形的对角线相交于点，点是线段上的一点，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．试判断线段和的数量关系，并加以证明．
（1）请解答老师提出问题；
（2）老师提示同学们改变图1中点的位置，进一步研究线段的数量关系．
①小英提出：如图2，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系，并说明理由；
②小雄提出：如图3，如果点在的延长线上，连接，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．试猜想线段和的数量关系（直接写出结果）；
（3）以上问题的解决，也可以理解为：通过某种变换，将运动至与重合，进而探究线段之间的数量关系，这里的变换方式是指（ ）．
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．中心对称
【答案】（1），证明过程见详解
（2）①，证明过程见详解；②，证明过程见详解
（3）C
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形两锐角互余的关系可得，可证，由此即可求解；
（2）①根据正方向的性质可得，根据一线三直角的性质可得，由此可证，即可求解；②证明方法同上；
（3）根据题意，将绕点逆时针旋转后与重合，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：，理由如下，
∵四边形是正方形，对角线交于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①，理由如下，
∵四边形是正方形，对角线交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
②同法可得：，
∴；
【小问3详解】
解：根据图示可得，将绕点逆时针旋转后与重合，
∴这里的变换方式是旋转，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，旋转的性质，掌握正方形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．
23. 综合与探究：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．
（1）求的面积；
（2）过点B作轴垂线交直线于点D，过点D作轴平行线交直线于点E，过点E作轴的垂线交轴于点F．
①求线段的长；
②点G是第一象限内一点，且以G，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点G的坐标．
【答案】（1）36 （2）①；②存在这样的点G坐标为或或．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质，坐标与图形等知识：
（1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积；
（2）①分别求出点，，的坐标，据此即可求解；②分，为对角线，，为对角线，，为对角线，分别讨论求解即可．
【小问1详解】
解：令直线中，则，
解得，，
∴A-4,0；
令直线中，则，
解得，，
∴，
∴．
联立直线的解析式成方程组，，
解得，，
∴交点C的坐标为，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，且轴，点D在上，
∴，
∴，
当时，解得，
∴，
∵轴，
∴；
②∵，，，
设，
当，为对角线，
∴，，
解得，，，
所以，点G坐标为；
②当，为对角线时，
∴，，
解得，，，
所以，点G坐标为；
③当，为对角线时，
∴，，
解得，，，
所以，点G坐标为；
综上所述，存在这样的点G坐标为或或．
一
二
三
四
五
六
甲
92
95
96
94
94
93
乙
89
90
94
96
97
98
平均数
中位数
方差
甲
94
b
1.7
乙
a
95
c
玩具店
售价（元/个）
日销售量（个）
B
61
280
E
60
300
A
59
320
D
58
340
C
56
380
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