山西省长治市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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(本试题满分120分 考试时间120分钟)
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的学校、班级、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，只收答题卡．
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题，每个小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)
1. 下列各点中，位于第一象限的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】第一象限的点横、纵坐标均为正数，由此即可求解．
【详解】解：位于第一象限的点对应的数都是正数，
∴位于第一象限点是，
故选：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系象限的特点，掌握平面直角坐标系中各象限中符号的特点是解题的关键．
2. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学计算法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选D．
3. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式，叫最简分式，进行判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】解：．分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
．分子分母中不含公因式，是最简分式，该选项符合题意；
．分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
．分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意；
故选：．
4. 数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接CD，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，
∵，
∴，
∵，，
∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，
故选：．
5. 下列选项中，不是函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键．
【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应，
∴是函数，该选项不合题意；
、自变量每取一个值，有两个值和它对应，
∴不是函数，该选项符合题意；
、自变量每取一个值，都有唯一确定值和它对应，
∴是函数，该选项不合题意；
、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应，
∴是函数，该选项不合题意；
故选：．
6. 我们在学习华东师大版八年级下册“图形与几何”部分内容时，先学平行四边形，再学矩形、菱形，最后学正方形，这种学习过程体现的数学思想是（ ）
A. 转化思想B. 由一般到特殊的思想
C. 数形结合思想D. 统计思想
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的数学思想的认识，主要表现一般到特殊，数形结合思想，模型思想，分类讨论等．根据学生认知能力逐渐的提高，提出共识找出特殊即可掌握数学思想．
【详解】解：学习是一个循序渐进的过程，在学习过程中从一般人手找出共性，然后针对一些特殊图形进行研究，这种研究方法主要体现的数学思想为一般到特殊．
故选：B．
7. 如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解．
【详解】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点，
设，，
轴于点D，轴于点C，
，，，，
和 面积之和为6，
，
，
故选A．
8. 如图，正方形的边长为3，点E为上的一点，且满足，连接，过点A作的垂线交于点F，连接．则的长为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9. 如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的一次函数图象，设正方形的边长为，分别求出点在边上、点在边和点在边上时与的函数解析式，再根据一次函数的性质判断图形的变化情况即可求解，运用分类讨论思想正确求出与的函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，
当点在边上时，，为正比例函数，随的增大而增大；
当点在边上时，，为一次函数，随的增大而减小；
当点在边上时，，为一次函数，随的增大而增大；
综上，随先增大而增大，再增大而减小，最后又增大而增大，
故选：．
10. 如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，证明可得，可证②；证明，推出，，可证③，④．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，，
，
故②正确；
，，
，
在和中，，
，
，，
，
故③，④正确；
现有条件不能证明，故①错误，
综上可知，正确的有②，③，④，共3个，
故选C．
第11卷 非选择题 (共90分)
二、填空题(本大题共5个小题，每个小题3分，共15分)
11. 使得分式值为0的条件是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：
12. 智渊班在期末评选“新时代好少年”活动中，综合成绩是由模范事迹、期末评定和劳动实践三项得分按的比例计算所得，善思同学本学期三项成绩分别是95分、91分和90分，则他在此项活动中的得分是___________分．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求加权平均数．利用加权平均数的公式计算，即可求解．
【详解】解：分．
即他在此项活动中的得分是分．
故答案为：
13. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线AB剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分，
∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半，
∵，，
∴，
∴菱形的对角线长分别为和，
∴它的面积为，
故答案为：．
14. 如图，把矩形沿折叠，使点和重合，点与点重合，若，，求CF的长______．
【答案】##5厘米
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由矩形和折叠可得，，，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
15. 已知，一次函数的图象与轴交于点，点也在这条直线上且横坐标为，点是轴上一个动点，点在直线上，以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标______．
【答案】：或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标，由一次函数中，求出，，设，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，情况即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由一次函数中，当时，；当时，，
∴，，
∵点是轴上一个动点，点在直线上，
∴设，，
∵以点为顶点的四边形是平行四边形，
∴如图，当为对角线时，
设交于点，
∴点在上，
∴即，
∴，，解得：，
∴；
如图，当为对角线时，
∴，，解得，
∴，
如图，当为对角线时，
∴，，解得，
∴，
此时点共线，不符合题意；
综上点或，
故答案为：或．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. （1）计算：
（2）下面是聪聪同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：
方程变形得：………………第一步
去分母得：………………第二步
去括号得：………………第三步
移项得：………………第四步
合并同类项得：………………第五步
未知数的系数化为1得：………………第六步
任务：
任务一：为了计算简便，第一步方程变形的依据是___________；
任务二：上述解题过程中应用到“等式基本性质2”的步骤有哪两步？
任务三：聪聪这道题没有得满分的原因是什么？请你写出此题的正确答案．
【答案】（1）；（2）任务一：分式的基本性质；任务二：第二步和第六步；任务三：没有对根进行检验，无解
【解析】
【分析】（1）直接根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂计算即可；
（2）任务一：根据分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以相同的不为0的数，分式值不变；任务二：理解“等式基本性质2”是等式两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，等式不变；任务三：对分式方程求解后需要验根．
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：为了计算简便，第一步方程变形的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
任务二：“等式基本性质2”是等式两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，等式不变，
上述解题过程中应用到“等式基本性质2”的步骤有：第二步和第六步；
任务三：没有对根进行检验，
当时，分式无意义，
故方程无解．
17. 如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结．
（1）猜想四边形的形状，并证明；
（2）若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形．
【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）证明，可得，可证得四边形是平行四边形，即可；
（2）证明，可得，可证得四边形是菱形，再由，可得到是等腰直角三角形，从而得到，即可．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，证明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解： ，
如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
18. 长治市漳泽湖国家湿地公园是长治的城市后花园,也是三晋大地独一无二的城市湿地，更是山西省乃至华北地区湖泊、河流湿地的典型代表．春日的漳泽湖国家城市湿地公园．就像一幅充满生机与活力的画卷．为了让游客有更好的游览体验，公园管理人员计划购进白色和粉色两种郁金香装饰景点．已知白色郁金香的单价比粉色郁金香的单价高，用600元购买粉色郁金香的朵数比用864元购买白色郁金香的朵数少20朵，求白色郁金香和粉色郁金香两种花的单价各是多少元？
【答案】白色郁金香的单价为元，粉色郁金香的单价为6元
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设粉色郁金香的单价为x元，则白色郁金香的单价为元，根据所给等量关系列分式方程，解方程即可．
【详解】解：设粉色郁金香的单价为x元，则白色郁金香的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：白色郁金香的单价为元，粉色郁金香的单价为6元．
19. 如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为．
（1）求点的坐标与反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围；
（3）将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线AB平移后的函数表达式．
【答案】（1）点的坐标为，反比例函数的表达式为；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（）把代入可得点的纵坐标，进而可得点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（）利用对称性求出点的坐标，再根据函数图象即可求解；
（）设，则，根据的面积为可得，即得，
得到，由直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入计算即可求解；
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的平移，求一次函数解析式，掌握一次函数和反比例函数的图象及性质是解题的关键
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴点的坐标为，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵点是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点关于原点对称，
∴，
由图象可得，当或时，；
【小问3详解】
解：设，则，
∵的面积为，
∴，
即，
∴，
∴，
将直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入得，
，
∴，
∴直线AB平移后的函数表达式为．
20. 为积极参加长治市“太行杯跳绳比赛”，某校从全校学生中选出40名学生，随机平分成甲乙两个小组进行跳绳比赛，根据测试成绩绘制出如下统计图表．成绩均为整数，满分为十分(跳绳成绩折合成十分制)．
甲组成绩统计表
乙组成绩条形统计图
根据上面的信息，解答下列问题：
（1）______，甲组成绩中位数是______，乙组成绩的众数是 ______；
（2）有人说乙组成绩优于甲组成绩，你认为他们的看法合理吗？ 请结合图表中的数据从平均数、中位数、众数三个量中至少选两个说明理由；
（3）通过比赛学校发现甲乙两队水平相当，领导从团体发挥更稳定角度考虑，想从甲乙两队中选一支，你认为选______ 队参加比赛合适．(填“甲”或“乙”)
【答案】（1），，；
（2）合理，理由见解析；
（3）甲．
【解析】
【分析】（）根据条线统计图，众数和中位数的定义即可求解；
（）求出甲乙两组的平均数、中位数，根据平均数和中位数即可判断求解；
（）求出甲乙两队的方差即可求解；
本题考查了统计表和条形统计图，平均数、中位数、众数和方差，看懂统计图表是解题的关键．
【小问1详解】
解：由条线统计图可得，，
∴乙组成绩的众数是，
由统计表可得，甲组成绩中位数是，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：合理，理由如下：
甲组成绩的平均数为分，
乙组成绩的平均数为分，
乙组成绩中位数为分，
∵乙组成绩的平均数和中位数都比甲组成绩的更大，
∴乙组成绩优于甲组成绩；
【小问3详解】
解：，
，
∵，即，
∴甲队发挥更稳定，应选甲队参加比赛合适，
故答案为：甲．
21. (阅读与思考)阅读下列材料，完成相应任务．
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，高斯函数y=x也常应用于生活、生产的各个领域，高斯函数也叫取整函数，其符号x表示不超过的最大整数，如：，，．我们规定函数．
任务：
（1）求当时，因变量的值______；
（2）在所给的平面直角坐标系中补全函数 的图象；(先填写下表，再描点、连线)
（3）根据作出的函数图象写出函数值的取值范围；
（4）根据作出的函数图象写出函数的两条性质．
【答案】（1）；
（2）补全表格、图象见解析；
（3）；
（4）见解析．（答案不唯一）
【解析】
【分析】（）根据定义即可求解；
（）根据定义填好表格，再根据表格中的数值补全函数图象即可；
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象即可写出两条性质即可；
本题考查了函数的新定义，画一次函数图象，一次函数的性质，理解函数的新定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：填表如下：
补全函数图象如下：
【小问3详解】
解：由函数图象可得，函数值的取值范围为；
【小问4详解】
解：由函数图象可得函数的两条性质：①当时，随的增大而增大；②当取整数时，的值取最小．
22 综合与实践
某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，预在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类意识与参与度．为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀请友谊班同学作为小小环保员，运用数学知识与方法，研究如何购买这批物资性价比更高．同学们首先走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案：
方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用与垃圾箱个数(个)满足如图①所示的函数关系；
方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产垃圾箱的费用)与垃圾箱个数(个)满足如图②所示的函数关系．
问题解决：
根据图象回答下列问题：
（1）①方案一中每个垃圾箱的价格是______元；
②方案二中租赁机器的费用是______元，生产一个垃圾箱的费用是______元；
（2）请分别求出，关于的函数关系式；
（3）试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠？
（4）若该街道办事处购买垃圾分类宣传版面和垃圾箱共个，购买个垃圾分类宣传版面的单价是元，个垃圾箱的单价是元，且购买垃圾箱的个数不多于垃圾分类宣传版面个数的倍，问：该街道购买多少个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少？ 最少是多少元？
【答案】（1）①；②，50；
（2），；
（3）当时，选择方案一更优惠；当时，两种方案一样；当时，方案二优惠；
（4）购买个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为元．
【解析】
【分析】（）根据函数图象即可求解；
（）利用待定系数法解答即可求解；
（）分三种情况：，和解答即可求解；
（）设购买垃圾分类宣传版面，则购买垃圾箱个，所需总费用为元，列出不等式求出的取值范围，再求出与的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题查考查了一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键．
【小问1详解】
解：①由函数图象可得，方案一中每个垃圾箱的价格是元，
故答案为：；
②由函数图象可得，方案二中租赁机器费用是元，生产一个垃圾箱的费用是元，
故答案为：，50；
【小问2详解】
解：设，把代入得，，
∴，
∴，
设，把和代入得，
，
解得，
∴；
【小问3详解】
解：当，即时，
解得；
当，即时，
解得；
当，即时，
解得；
∴当时，选择方案一更优惠；当时，两种方案一样；当时，方案二优惠；
【小问4详解】
解：设购买垃圾分类宣传版面个，则购买垃圾箱个，所需总费用为元，
由题意得，，
解得，
又由题意得，，
∵，
∴当时，的值最小，，
即购买个垃圾分类宣传版面时，所需总费用最少，最少费用为元．
23. 实践与探究
【问题情境】
数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形． 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形 绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下：
证明：如图②，分别作 于点 ，
，
又 ，
，
又∵ ，
且，
，
，
【初步感知】
（）请你补全以上证明过程；
（）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线经过正方形的对称中心，直线分别与 交于点，直线分别与交于点，且若正方形的面积是，则四边形的面积为______；
【深入探究】
（）受图③的启发，探究组做了图④，若 ，求四边形 的面积；
【拓展应用】
（）如图④，请写出线段 与BD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（）证明见解析；（）；（）；（），理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据题意补全证明过程即可；
（）根据（）的结论即可求解；
（）如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（）的结论求解；
（）证明可得，即得，在中利用勾股定理即可求解；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
【详解】（）证明：如图②，分别作 于点 ，
，
又 ，
，
又∵ ，
且，
，
∴，
∴，
即正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一；
（）由（）的结论可得，，
故答案为：；
（）如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点，
则，
∴，
∵，
∴，
由（）可得，；
（），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
成绩/分
10
人数/个