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山西省忻州地区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份山西省忻州地区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含山西省忻州地区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、山西省忻州地区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
（本试卷共6页，满分120分，时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中根指数是3，不是二次根式；
是二次根式．
故选：D．
2. 在四边形中，．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形是矩形，再根据正方形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴当添加时，矩形是正方形，
而A、C、D、三个选项中得条件都是矩形性质所具有的，因此不能证明矩形是正方形，
∴只有B选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知有3个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形时解题的关键．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加减，乘法，除法运算．根据二次根式的运算法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
4. 下列命题不正确的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误，符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．
5. 如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长和面积公式、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．根据菱形的性质求得，，由，得，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，且周长为，长为，
，，
，
，
，
，
，
故选：A
6. 我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地面多少尺？（ ）
A. 4.5B. 5.625C. 4D. 6.375
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可．
【详解】解：如图：
由题意知，尺，尺，
，
由勾股定理得，，
即，
解得，
折断处距离地5.625尺．
故选：B．
7. 如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）．
A. 3米B. 4米C. 5米D. 7米
【答案】D
【解析】
【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度（米），
地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是（米）．
故选：D．
【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．
8. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴和二次根式，掌握以上知识点是解题的关键．根据数轴上两点的位置，判断，的正负性，进而即可求解．
【详解】解：∵数轴上A，两点表示的数分别是 ，，
∴，，
∴，
故选：A．
9. 公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）=32．则小正方形的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可得．
【详解】由题意得，四个直角三角形的面积为
由勾股定理得，大正方形的边长为
则有，即
，即
解得
则小正方形的面积为
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的几何应用、直角三角形的面积公式等知识点，利用勾股定理求出大正方形的边长是解题关键．
10. 如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE，
∴AB＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算_________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
12. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
13. 如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
14. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．
【详解】解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．
15. 如图，正方形中，点E，F分别在边，上，于点G，若，，则的长为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】证明，得，，根据三角形面积求出，再求出即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，证明是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握计算顺序，注意把二次根式进行化简．
（1）首先化简二次根式，然后再计算加减即可；
（2）首先化简二次根式，然后再计算加减即可；
（3）利用平方差公式计算乘法，然后再算加减即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
（1）上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
（2）上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
（3）计算的正确结果为 ．
【答案】（1）
（2）3，计算错误
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答；
（3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：第1步依据的乘法公式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
∴第3步计算错误， ，计算错误，
故答案为：3，计算错误；
【小问3详解】
解：解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式．
18. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A．B．C．D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角等腰△ABE，点E在小正方形的顶点上，且的面积为10；
（2）在方格纸中画出等腰直角△CDF，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；
（3）在（1）（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由图可知，，以AB、BE为腰，以4为腰的高可作锐角等腰△ABE；
（2）由图可知，故面积为10的等腰直角△CDF，CD为斜边；直角边，由此即可构造图形；
（3）根据网格的特征由勾股定理即可计算．
【详解】解：（1）如图，△ABE为所求，AB=BE=5，；
（2）如图，△CDF为所求，，；
（3）．
理由：．
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，涉及了等腰三角形的性质、勾股定理与网格问题等知识，解题的关键是通过计算初步确定边或高的大小，然后画出图形，属于中考常考题型．
19. 一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度h（单位：米）有下面的关系式：．
（1）已知米，求落下所用的时间；
（2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1米）
（3）如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
【答案】（1）秒
（2）秒
（3）米
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把代入公式计算即可求出的值；
（2）计算出物体离地面的高度，代入公式计算得到即可；
（3）把代入公式计算即可求出的值．
【小问1详解】
解：把代入得：（秒）；
【小问2详解】
根据题意得：（米），
则（秒）；
【小问3详解】
把代入得：，
解得：，
则物体开始下落的高度为64.8米．
20. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米；
（2）应该往回收线8米．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；
（2）如图勾股定理求出此时的长，即可得出结果．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，
（米），
（米）；
【小问2详解】
如图，由勾股定理得，
（米），
（米），
他应该往回收线8米．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：；
（2）当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到平行线，根据平行线的性质，角平分线的定义，得到∠AFE=∠FBC=∠FED=∠ABE即可．
（2）利用平行四边形的性质，证明△DEF≌△CEB，得到FD=BC=AD，证明四边形AEFG是平行四边形，结合DE=DF得证EG=AF，得证四边形AEFG是矩形．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，AB∥DC，
∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠AFE=∠FED，
∴DE=DF．
【小问2详解】
四边形AEFG是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，AB∥DC，AD=BC，
∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠AFE=∠FED，
∴DE=DF．
∵E为CD边的中点，
∴DE=EC，
∴△DEF≌△CEB，
∴FD=BC=AD，
∵ED=DG，
∴四边形AEFG平行四边形，
∵DE=DF，
∴EG=AF，
∴四边形AEFG是矩形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，平行四边形的判定性质是解题的关键．
22. 阅读与思考，阅读下列材料，完成相应的任务．
欧几里德数
一般地，给定单位长度1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1．借助方格图，可以构造出线段AB，CD，EF分别表示正整数2，3，4，也可以构造出线段MN表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数．
任务：如图2，图3，图4所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度1．
（1）请在图2中用两种方法构造线段表示正整数5（该线段的端点均为格点）；
（2）小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里德数，可分别用图3中两个三角形的边XY，PQ表示，其思考与作图方法如下：
，取网格中，且，连接XY，则．
，取网格中线段，，以点O为圆心，ON长为半径作弧交网格线于点P，连接OP，且，则．
在图4中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可；
【小问1详解】
如图2中，线段，线段即为所求；
【小问2详解】
如图4中，线段，线段即为所求；
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23. 学习正方形时，王老师带领同学们探索了课本上的一道几何题.
课本原型】（1）人教版八年级下册数学课本拓广探索》第15题．请你写出证明过程．
【问题解决】（2）如图（1），正方形中，点G为延长线上的任意一点，交延长线于点E，交于点F．试探索、、之间的数量关系，并给出证明
【问题研究】（3）如图（2），四边形是正方形，点G为上一点，于点E，连接，若，请直接写出的面积．
【答案】（1）证明过程详见解答（2），理由见详解（3）8
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用两个互余关系得出等角．
（1）由，得，进而证得，从而，进一步得出结论；
（2）由，得，，进而证得，从而，进一步得出结果；
（3）过点作交于点，由（1）得：，从而求得结果．
【详解】（1）证明：四边形正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作交于点，
由（1）得：，
∵，，
∴，
．
解：
…第1步
…第2步
…第3步
…第4步
如图，四边形是正方形，点G为上的任意一点，于点E、，交于F．求证：．
（本试卷共6页，满分120分，时间120分钟）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中根指数是3，不是二次根式；
是二次根式．
故选：D．
2. 在四边形中，．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形是矩形，再根据正方形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴当添加时，矩形是正方形，
而A、C、D、三个选项中得条件都是矩形性质所具有的，因此不能证明矩形是正方形，
∴只有B选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知有3个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形时解题的关键．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加减，乘法，除法运算．根据二次根式的运算法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
4. 下列命题不正确的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误，符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．
5. 如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长和面积公式、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．根据菱形的性质求得，，由，得，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，且周长为，长为，
，，
，
，
，
，
，
故选：A
6. 我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地面多少尺？（ ）
A. 4.5B. 5.625C. 4D. 6.375
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可．
【详解】解：如图：
由题意知，尺，尺，
，
由勾股定理得，，
即，
解得，
折断处距离地5.625尺．
故选：B．
7. 如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）．
A. 3米B. 4米C. 5米D. 7米
【答案】D
【解析】
【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度（米），
地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是（米）．
故选：D．
【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．
8. 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴和二次根式，掌握以上知识点是解题的关键．根据数轴上两点的位置，判断，的正负性，进而即可求解．
【详解】解：∵数轴上A，两点表示的数分别是 ，，
∴，，
∴，
故选：A．
9. 公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）=32．则小正方形的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可得．
【详解】由题意得，四个直角三角形的面积为
由勾股定理得，大正方形的边长为
则有，即
，即
解得
则小正方形的面积为
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的几何应用、直角三角形的面积公式等知识点，利用勾股定理求出大正方形的边长是解题关键．
10. 如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE，
∴AB＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算_________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
12. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
13. 如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
14. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．
【详解】解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．
15. 如图，正方形中，点E，F分别在边，上，于点G，若，，则的长为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】证明，得，，根据三角形面积求出，再求出即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，证明是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握计算顺序，注意把二次根式进行化简．
（1）首先化简二次根式，然后再计算加减即可；
（2）首先化简二次根式，然后再计算加减即可；
（3）利用平方差公式计算乘法，然后再算加减即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
（1）上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
（2）上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
（3）计算的正确结果为 ．
【答案】（1）
（2）3，计算错误
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答；
（3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：第1步依据的乘法公式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
∴第3步计算错误， ，计算错误，
故答案为：3，计算错误；
【小问3详解】
解：解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式．
18. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A．B．C．D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角等腰△ABE，点E在小正方形的顶点上，且的面积为10；
（2）在方格纸中画出等腰直角△CDF，点F在小正方形的顶点上，且的面积为10；
（3）在（1）（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由图可知，，以AB、BE为腰，以4为腰的高可作锐角等腰△ABE；
（2）由图可知，故面积为10的等腰直角△CDF，CD为斜边；直角边，由此即可构造图形；
（3）根据网格的特征由勾股定理即可计算．
【详解】解：（1）如图，△ABE为所求，AB=BE=5，；
（2）如图，△CDF为所求，，；
（3）．
理由：．
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，涉及了等腰三角形的性质、勾股定理与网格问题等知识，解题的关键是通过计算初步确定边或高的大小，然后画出图形，属于中考常考题型．
19. 一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度h（单位：米）有下面的关系式：．
（1）已知米，求落下所用的时间；
（2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1米）
（3）如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
【答案】（1）秒
（2）秒
（3）米
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把代入公式计算即可求出的值；
（2）计算出物体离地面的高度，代入公式计算得到即可；
（3）把代入公式计算即可求出的值．
【小问1详解】
解：把代入得：（秒）；
【小问2详解】
根据题意得：（米），
则（秒）；
【小问3详解】
把代入得：，
解得：，
则物体开始下落的高度为64.8米．
20. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米；
（2）应该往回收线8米．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；
（2）如图勾股定理求出此时的长，即可得出结果．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，
（米），
（米）；
【小问2详解】
如图，由勾股定理得，
（米），
（米），
他应该往回收线8米．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：；
（2）当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到平行线，根据平行线的性质，角平分线的定义，得到∠AFE=∠FBC=∠FED=∠ABE即可．
（2）利用平行四边形的性质，证明△DEF≌△CEB，得到FD=BC=AD，证明四边形AEFG是平行四边形，结合DE=DF得证EG=AF，得证四边形AEFG是矩形．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，AB∥DC，
∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠AFE=∠FED，
∴DE=DF．
【小问2详解】
四边形AEFG是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，AB∥DC，AD=BC，
∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABE，
∴∠AFE=∠FED，
∴DE=DF．
∵E为CD边的中点，
∴DE=EC，
∴△DEF≌△CEB，
∴FD=BC=AD，
∵ED=DG，
∴四边形AEFG平行四边形，
∵DE=DF，
∴EG=AF，
∴四边形AEFG是矩形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，平行四边形的判定性质是解题的关键．
22. 阅读与思考，阅读下列材料，完成相应的任务．
欧几里德数
一般地，给定单位长度1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1．借助方格图，可以构造出线段AB，CD，EF分别表示正整数2，3，4，也可以构造出线段MN表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数．
任务：如图2，图3，图4所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度1．
（1）请在图2中用两种方法构造线段表示正整数5（该线段的端点均为格点）；
（2）小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里德数，可分别用图3中两个三角形的边XY，PQ表示，其思考与作图方法如下：
，取网格中，且，连接XY，则．
，取网格中线段，，以点O为圆心，ON长为半径作弧交网格线于点P，连接OP，且，则．
在图4中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可；
【小问1详解】
如图2中，线段，线段即为所求；
【小问2详解】
如图4中，线段，线段即为所求；
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23. 学习正方形时，王老师带领同学们探索了课本上的一道几何题.
课本原型】（1）人教版八年级下册数学课本拓广探索》第15题．请你写出证明过程．
【问题解决】（2）如图（1），正方形中，点G为延长线上的任意一点，交延长线于点E，交于点F．试探索、、之间的数量关系，并给出证明
【问题研究】（3）如图（2），四边形是正方形，点G为上一点，于点E，连接，若，请直接写出的面积．
【答案】（1）证明过程详见解答（2），理由见详解（3）8
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用两个互余关系得出等角．
（1）由，得，进而证得，从而，进一步得出结论；
（2）由，得，，进而证得，从而，进一步得出结果；
（3）过点作交于点，由（1）得：，从而求得结果．
【详解】（1）证明：四边形正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作交于点，
由（1）得：，
∵，，
∴，
．
解：
…第1步
…第2步
…第3步
…第4步
如图，四边形是正方形，点G为上的任意一点，于点E、，交于F．求证：．
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