重庆实验外国语学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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数学试题
（满分150分，120分钟完成）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 3.14B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的概念及常见形式是解决此题的关键．根据整数和分数（有限小数和无限循环小数）是有理数，无限不循环小数是无理数（常见形式：开方开不尽的数，化简后含的数等）进行解答即可．
【详解】解：A、3.14是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、有理数，不符合题意；
故选：C．
2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 下列分式的变形中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．依据分式的基本性质回答即可．
【详解】解：A．由左到右的变形符合分式的基本性质，故A正确；
B．，不成立，故B错误；
C．，故C错误；
D．，不成立，故D错误．
故选：A．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的菱形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题真假的判定，平行四边形，正方形，矩形，菱形的判定定理，根据平行四边形，正方形，矩形，菱形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C、对角线互相相等的平行四边形是矩形，所以C选项为真命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项为真命题．
故选B．
5. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，先计算原式得到，再估算得到，即可得到答案.
【详解】解：
∵
∴
∴
即的值应在6和7之间，
故选：C
6. 某工程队要改造一条长米的盲道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时工程队每天比原计划多修建米，结果提前3天完成工程，若设原计划每天修建盲道米，根据题意可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用题，能根据题意准确列出方程是解题的关键．设设原计划每天修建盲道米，根据题中等量关系，即原计划用的时间实际用的时间，列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天修建盲道米，
则原计划用的时间为：，实际用的时间为：，
所列方程为： ，
故选：D．
7. 观察下列图形，第①个图形有2颗棋子，第②个图形有4颗棋子，第③个图形有7颗棋子，第④个图形有11颗棋子，…，按照这个规律，第⑩个图形中棋子的颗数是（ ）颗．
A. 56B. 55C. 46D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得到第①个图形中棋子数，第②个图形中棋子数，第③个图形中棋子数，第④个图形中棋子数，，依此找到规律得到第⑩个图形中棋子的颗数．
【详解】解：第①个图形中棋子数，
第②个图形中棋子数，
第③个图形中棋子数，
第④个图形中棋子数，
第n个图形中棋子数为：，
第⑩个图形中棋子数为：，
故选：A．
8. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ）
A. 5B. C. D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质及角平分线的定义证明，再利用结合角平分线的定义证明，推出是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
，
的平分线和的平分线交于上一点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9. 如图，在中，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，连接，分别与交于点，连接．若，则的长为（ ）
A. B. C. D. 8.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查发直角三角形折叠．熟练掌直角三角形斜边上中线的性质，折叠性质，三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由折叠性质得到， 垂直平分，根据三角形中位线性质得到，，得到，结合，，判定,得到，得到，即得．
【详解】∵在中，是边上的中点，
∴，
由折叠知， 垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10. 已知多项式，下列说法正确的有（ ）个：
①若，则；
②若为整数，则整数的值为2或6；
③最小值为；
④令，则．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可．
【详解】解：①当时，，故①正确；
②当整数时，则为整数，
为整数，
为整数，取整数，
当或时，也为整数，故②错误；
③，
当时，的最小值为，故③错误；
④
，
，
，
，
，
，
故④正确，
故选:B．
【点睛】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
11. 近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，支原体是一类寄生微生物，属于原核生物，其细胞结构简单没有细胞壁，直径约为0.000000216米，将0.000000216用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将0.000000216米用科学记数法表示为米，
故答案为：．
12. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等知识，按照零指数幂、负整数指数幂、乘方等法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：
13. 若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的运用．先将化简为，得到，再利用完全平方公式变形为，得到，即，同理，即可求出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，即，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长．
，通过等边代换计算即可．
【详解】连接，如图：
∵垂直平分，
∴
又∵平分，，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：
15. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是DC，BC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为_____．

【答案】36°．
【解析】
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′F+∠A″=72°，即可得出答案．
【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝72°，
∴∠DAB＝108°，
∴∠AA′F+∠A″＝72°，
∵∠FA′A＝∠FAA′，∠EAD＝∠A″，
∴∠FAA′+∠A″AE＝72°，
∴∠EAE＝108°﹣72°＝36°，
故答案为36°．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
16. 若关于的不等式组至少有4个整数解且最多有6个整数解，关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出符合不等式组和分式方程解的条件的整数a，再计算出符合两个条件的所有整数a的和．
【详解】解：，
解该不等式组得：
∵关于x的不等式组至少有4个整数解且最多有6个整数解，
∴，
解该分式方程得：，
∵且，
解得且，
综上可知，且，
∴a取．
．
故答案为：．
17. 如图，在中，，．点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外角性质，分两种情况：当时，当，然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：分两种情况：
①当时，如图：
，
设，
，，
，
，
由折叠得：，，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
②当，如图：
过点C作，垂足为H，
，
，
由（1）知，，
由折叠得：，
，
，
，，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为或，
故答案为: 或．
18. 一个四位数，若它的千位数字与个位数字均不为0，且千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，则称这个四位数为“平衡数”．将“平衡数”的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的逆序数，并记．设“平衡数”，则_______（用含的代数式表示）．若都为“平衡数”，记的千位数字与个位数字分别为的千位数字与个位数字分别为．若能被17整除，，则的最大值为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查了整式的加减、分式的化简求值等知识，根据定义得到，进一步求出即可；由，能被17整除，得到，由进一步得到，或，分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：由定义可知，，
∵
∴
∴
即；
都为“平衡数”，记的千位数字与个位数字分别为的千位数字与个位数字分别为．
∴
∵能被17整除，
∴为整数，
由题意可得，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∵
∴，或
当时，，
∴
∴，
当时，，（舍去），
当时，，
当时，，（舍去）
当时，，
∴
∴
当时，，（舍去），
当时，，
当时，，（舍去）
∴，或，，
∵取最大值
∴s取最大值，
∴，，
∴取最大值为，
故答案为：，
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算和整式的混合运算.
（1）先计算括号内的二次根式加减法，再计算乘法即可；
（2）利用平方差公式和单项式乘以多项式展开，再进行合并同类项即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
20. 计算：
（1）因式分解：
（2）解方程：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解和解分式方程.
（1）提公因式后用完全平方公式分解因式即可；
（2）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
两边同乘以得到，
解得，
当时，
∴是式方程的解
21. 化简求值：，其中为不等式组的整数解．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值和求一元一次不等式组的整数解，先把分式进行化简得到最简结果，再求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件确定字母的值代入计算即可．
【详解】解；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集是
∴不等式组的整数解为
∵或x=-1时，分式无意义，
∴
当时，原式
22. 如图，四边形是正方形，射线交于点交延长线于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，连接，求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识．
（1）按照角平分线的作图方法作图即可；
（2）证明，则，，再证明，则，由即可得到．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴
∴，，
∵作的平分线交于
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
23. 元宵将至，为加强学生对中国传统文化的学习，某校对全体学生进行了一次中国传统文化知识测试比拼，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用表示，共分成4组：，B：，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息：初二的测试成绩在组中的数据为：．初三的测试成绩：．
（1）__________，__________；
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级学生对中国传统文化知识掌握更好？请写出一条理由；
（3）若该校初二、初三各有名学生，请估计这两个年级此次测试成绩达到80分及以上的学生约有多少人？
【答案】（1）83，100
（2）我认为初三对中国传统文化知识掌握更好，理由见解析
（3）人．
【解析】
【分析】本题考查频数直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．
（1）根据中位数和众数的定义，得出a、b的值；
（2）根据题目中的数据，可以从中位数、最高分、众数来说明理由，答案不唯一，符合题意即可；
（3）利用样本估计总体，用分别乘以两个样本中测试成绩达到80分及以上的学生所占百分比并求和即可．
【小问1详解】
由直方图可知，初二的测试成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个，
初二的测试成绩在组中的数据为：，
中位数；
初三的成绩出现次数最多的是100分，
众数；
故答案为：83，100
【小问2详解】
根据以上数据，我认为初三对中国传统文化知识掌握更好，
理由：两个年级的平均成绩一样，而初三的中位数、最高分、众数均高于初二，说明初三掌握得较好；
故答案为：初三；
【小问3详解】
（名），
答：估计这两个年级此次测试成绩达到80分及以上的学生约有人．
24. 重庆外国语学校迅猛发展，两江新区校区将在今年9月份正式开课，为保障学生按时入学，学校加快校园建设．建筑公司承接了平方米的教室墙壁和若干平方米的学生宿舍墙壁粉刷工作，公司先对教室墙壁进行粉刷，开工5天后，为加快进度增加了施工人员，每天比原来多粉刷平方米，2天后完成教室墙壁粉刷工作．
（1）求建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁多少平方米？
（2）教室墙壁粉刷完成后，经招标增派建筑公司与建筑公司同时开工合作粉刷学生宿舍墙壁．建筑公司按增加人员后的粉刷速度进行施工．建筑公司粉刷学生宿舍墙壁总面积的后，通过更新设备，每天比原来多粉刷，学生宿舍墙壁完工时，两建筑公司粉刷的墙壁面积和所用时间恰好相同．求建筑公司原来每天粉刷墙壁多少平方米？
【答案】（1）平方米；
（2）平方米
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用．
（1）设建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁平方米，根据总面积为平方米列方程并解方程即可；
（2）设建筑公司原来每天粉刷墙壁y平方米,设每个公司的粉刷面积为m平方米, 所用时间恰好相同．据此列方程，解方程并检验即可得到答案．
【小问1详解】
解：设建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁平方米，
解得
答：建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁平方米；
【小问2详解】
设建筑公司原来每天粉刷墙壁y平方米,设每个公司的粉刷面积为m平方米,
，
则
解得
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：建筑公司原来每天粉刷墙壁平方米
25. 如图，以矩形的顶点为原点建立平面直角坐标系，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点．
（1）求点坐标．
（2）如图2，点为线段上的动点，请求出的最小值，并求出取得最小值时，点的坐标．
（3）在（2）条件下，当取得最小值时，平面上是否存在一点N，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标并写出其中一个点N的坐标的计算过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）求出，， 证明，设，则，由解得：，即可得到答案；
（2）以为一边，在下方作，则，则的最小值即为的最小值，当点三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求出即可；
（3）证明，得到以为顶点的四边形是平行四边形共有两种情况，分情况进行解答即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
以为一边，在下方作，
∴，
∴的最小值即为的最小值，
当点三点共线时，取得最小值，
∵，
∴
此时在中，，
∴，
∵，
∴
解得
∴点G的坐标是
【小问3详解】
由（2）可知，，
由折叠可知，，
∴,，
∴，
∴，
∴以为顶点的四边形是平行四边形共有两种情况，
①过点D作轴时，交y轴于点F，取,
则，
∵
∴，
∴点D的坐标是
∴点
即，
②∵,点在直线上，且时，也满足题意，
由点D的坐标是，点G的坐标是，原点O的坐标为，
由平移可得，此时点的坐标为，即为
综上可知， 点N的坐标为或或
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平移的性质、勾股定理、坐标与图形、含的直角三角形的性质等着知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
26. 在中，为中点，，在上取一点，连接、．
（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图2，若，求证；
（3）如图3，在（1）的条件下，为内部一点，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交延长线于点为线段上一个动点，连接，将沿所在直线翻折得到，连接，当取最小值时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点D作于点Q，求出，得出，根据勾股定理得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案；
（2）作于点N，设则，，设，则，求出，得出，根据，得出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案；
（3）证明，得出，，根据，得出点H在以点C为圆心，4为半径的圆上运动，根据，得出当C、M、H在同一直线上时，，此时最小，延长交于点， 当点H在点时，最小，此时，根据勾股定理求出，即当最小时，，求出，即可得出答案．
小问1详解】
解：过点D作于点Q，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：作于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
设则，，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即．
【小问3详解】
解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴，，
∴，
根据旋转可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
根据翻折可知：，
∴点H在以点C为圆心，4为半径的圆上运动，
根据三角形三边关系可知：，且当C、M、H在同一直线上时，，此时最小，
延长交于点，如图所示：
∴当点H在点时，最小，此时，
∵，
∴，
即当最小时，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．年级
平均数
中位数
最高分
众数
初二
87
98
98
初三
87
87
100