重庆市重庆实验外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分。共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：A、为有理数，不符合题意；
B、为有理数，不符合题意；
C、为有理数，不符合题意；
D、是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
故选：D．
2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
【详解】解：A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，长度是的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、，长度是的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了不等式的性质，利用不等式的性质判断即可，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
【详解】解：A、，，故A不成立，不符合题意；
B、当时，，故B不一定成立，不符合题意；
C、当时，，故C不一定成立，不符合题意；
D、，，，故D一定成立，不符合题意；
故选：D．
4. 若，其中a，b为两个连续的整数，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算的大小，根据a、b为两个连续的整数即可求得a、b的值，代入代数式求解即可．
【详解】解∶∵，
∴，即，
∴，
∵，其中a，b为两个连续的整数，
∴，，
∴，
故选：B．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行原命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
6. 如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（ ）．
A. 3B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用平分，点作的垂线，得到，则的面积等于的面积为，的面积等于的面积，即可解答，证明是解题的关键．
【详解】解：平分，过点作的垂线，
,，
在与中，
，
，
，
则的面积等于的面积为，
，
故选：C．
7. A、B两地相距，一辆电动车和一辆自行车从两地同时出发，匀速相向而行，后在地相遇．此时，电动车电量即将耗尽，地恰有充电站，电动车在充电站速充后，按原路原速返回（电动车到充电站的时间忽略不计），自行车未停留，仍按原速原方向继续前进，在电动车再次出发后追上了自行车．设电动车的速度为，自行车的速度为，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“电动车和自行车行驶1小时的路程和为；自行车行驶的路程等于电动车行驶的路程”列方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
8. 如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴
又，
∴，
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点照此规律，的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答．
【详解】解：观察发现：，，，，，，，，……，
∴，，，（n为自然数），
∵，
∴，即；
故选：C．
10. 有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．①根据第三次操作后整式的个数判定；②根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；③、④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答即可
【详解】解：①原整式为：，
第1次操作后所得整式串为：，
第2次操作后所得整式串为：，
第3次操作后所得整式串为：，共有9个整式，故①错误；
第1次操作后整式串共有3个整式，，
第2次操作后整式串共有5个整式，，，
第3次操作后整式串共有9个整式，，
第4次操作后整式串共有17个整式，，
……，
第n次操作后整式串共有整式个数为：，②正确；
第1次操作后所得整式串为：x，2，，所有整式之和为：，
第2次操作后所得整式串为：x，，3，，，所有整式之和为：，
第3次操作后所得整式串为：x，3，，，3，，，，，所有整式之和为：，
第4次操作后所得整式串为：x，，3，，，3，，，3，，，，，，，，，所有整式之和为：，
……，
第n次操作后所得所有整式的和为：，
故操作第2024次操作后所有整式之和为：，
故③正确；
∴
．
，
故④正确，
故选：A．
二、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案直按填在答题卡对应的横线上．
11. 已知和是一个正数的两个不同的平方根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．根据平方根的性质进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．
【答案】6##六
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系．先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的每一个外角都等于，
∴边数．
故答案为：6．
13. 若点向上平移4个单位后得到的点在轴上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，先平移点，再根据x轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵点向上平移4个单位，
∴平移后的点坐标为，
∵平移后的点在x轴上，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，在中，平分面积为 __．

【答案】5
【解析】
【分析】过点D作，交的延长线于点F，先利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．
【详解】解：过点D作，交延长线于点F，

∵平分，，
∴，
∵，
∴面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15. 若满足方程组的，互为相反数，则的值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法及相反数的性质是解本题的关键．
把m看作已知数表示出x与y，代入计算即可求出m的值．
【详解】解：
得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∵x与y互为相反数，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
16. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论即可．
【详解】解：①当为底边时，此时底边长即为4cm；
②当为腰长时，18-8=10，此时4+4<10，不能构成三角形，
故答案为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
17. 如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P运动到与C点重合时，，此时．
【详解】解：①当P运动到时，如图所示：
在和中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，如图所示：
在和中，
，
∴），
即．
综上所述，的长度是或．
故答案为：或．
18. 若关于的不等式组有且仅有四个整数解，关于的方程有正整数解，则符合条件的整数有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用不等式组求出的取值范围，再根据方程有整数解，判断出的值，可得结论．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组有四个整数解，
，
解得，
关于的方程，
，
方程有整数解，
，，
符合条件的整数有2个．
故答案为：2
19. 如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．连接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
平分，平分，，
平分，
，
沿折叠，
，
，
故答案为：．
20. 一个四位正整数，如果满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称为“优美数”．将的千位数字与百位数字对调．十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：优美数时，，则．已知s、t都是“优美数”，记的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，，，，，均为整数．若能被7整除，则______；同时，若、还满足，则的最大值为______．
【答案】 ①. 7 ②. 10230
【解析】
【分析】本题考查了新定义，整式的加减，数的整除性，关键是正确理解新定义，利用代数式的值进行相关分类讨论，把新知识转化为熟悉的知识进行解答．
根据对称数定义表示出，，得到，根据能被7整除，，得到；同理得，根据条件得到，由，得到，或，，根据，均为整数，分别列举出，的值代入求解即可．
【详解】解：的千位数字与百位数字分别为，，
，，
，
能被7整除，且，
；
同理得，
，
∵，
∴，
，，
，或，，
当，时，
，
即，
，均为整数，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当，时，
，
即，
，均为整数，
当时，，此时；
综上所述，的最大值为10230．
故答案为：7；10230．
三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是：
（1）利用算术平方根、立方根的定义化简计算即可；
（2）利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的运用，乘方法则化简计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解∶原式
．
22. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

（2）解不等式组，并求出它的整数解．
【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），整数解为4、5、6
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1），
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为，
解集在数轴上表示如下：
；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
它的整数解为4、5、6．
23. 为了增强学生对地震安全知识的了解，某校举行防灾安全知识竞赛．竞赛结束后，组织者随机抽取了部分学生的成绩，调查发现他们的成绩（满分100分）均不低于60分．将这部分学生的成绩（用表示）分为四组：组组组组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）通过计算补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为______；
（3）根据以上数据，估计全校参加竞赛的6000名学生中成绩不低于80分的学生人数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）人
【解析】
【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．
（1）先根据组是100人，占小明所在学校参加竞赛学生的，求出小明所在学校参加竞赛学生人数为400人，由此可求出组的人数为80人，据此可补全频数分布直方图；
（2）由组是40人，求出组人数占小明所在学校参加竞赛学生人数的百分比，进而可求出组所对应的圆心角的度数；
（3）利用样本估计总体思想即可求解．
【小问1详解】
解：由频数分布直方图可知：组是100人，
由扇形统计图可知：组占小明所在学校参加竞赛学生的，
小明所在学校参加竞赛学生人数为：（人，
组的人数为： 人），
补全频数分布直方图如图所示：
【小问2详解】
解：由频数分布直方图可知：组40人，
组人数占班级人数的百分比为：，
组所对应的圆心角的度数为：；
故答案为：；
【小问3详解】
（人，
答：估计全区参加竞赛的6000名学生中有4200人的成绩不低于80分．
24 如图，中，，延长到点，过点作于点E，与交于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：
（1）利用证明即可得证；
（2）利用等式性质证明，再利用证明，得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．点为边上任意一点，把按某个方向平移后，点的对应点为点，点A，B，C的对应点分别为．
（1）在图中画出平移后的；
（2）求的面积；
（3）若在轴的正半轴上存在点，使得的面积等于10，求点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）19
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了平移，三角形的面积等知识，解题的关键是：
（1）根据平移的特征知，将向右平移6个单位，向下平移2个单位，根据平移的性质，即可画出平移后的；
（2）利用割补法求解即可；
（3）设，过作轴于M，分Q在下方和Q在上方讨论，利用割补法构建关于x的方程求解即可．
【小问1详解】
解∶∵把按某个方向平移后，点的对应点为点，，
∴向右平移6个单位，向下平移2个单位，
∴平移后的如图所示，
【小问2详解】
解：的面积为；
【小问3详解】
解：设，过作轴于M，
当Q在下方时，
∵，
∴，
解得，
∴；
当Q在上方时，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上，Q的坐标为或．
26. 为了迎接“重庆市的义教优均测试”，晨光文具店计划购进A、B两种文具套盒，已知A种套盒的进价比B种套盒的进价每个便宜3元，现分别购进A种套盒300个，B种套盒600个，共计12600元．
（1）求A、B两种套盒的单价；
（2）文具店第二次又购进A、B两种套盒共1000个，且投入的资金不超过13800元．在销售过程中，A、B两种套盒的标价分别为20元/个、25元/个．两种套盒按标价各卖出m个以后，该店进行促销活动，剩余的A种套盒按标价的七折销售，剩余的B种套盒按标价的八折销售，若第二次购进的1000个套盒全部售出后的最大利润不少于6000元，请求出m的最小值．
【答案】（1）A种文具套盒的单价是12元，B种文具套盒的单价是15元；
（2）m最小值为200．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设A种文具套盒的单价是x元，B种文具套盒的单价是y元，根据“A种套盒的进价比B种套盒的进价每个便宜3元，现分别购进A种套盒300个，B种套盒600个，共计12600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出结论；
（2）设文具店第二次又购进a个A种文具套盒，则购进个B种文具套盒，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过13800元，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，结合两种文具套盒的每盒的销售利润，可得出当时，第二次购进的1000个套盒全部售出后获得的利润最高，利用总利润＝每盒A种文具套盒的销售利润×销售数量+每盒B种文具套盒的销售利润×销售数量，结合最大利润不少于6000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
设A种文具套盒的单价是x元，B种文具套盒的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种文具套盒的单价是12元，B种文具套盒的单价是15元；
【小问2详解】
设文具店第二次又购进a个A种文具套盒，则购进个B种文具套盒，
根据题意得：，
解得：，
∵（元），（元），（元），（元），，
∴B种文具套盒的销售利润高，
∴当时，第二次购进的1000个套盒全部售出后获得的利润最高，此时．
∵第二次购进的1000个套盒全部售出后的最大利润不少于6000元，
∴，
解得：，
∴m的最小值为200．
答：m的最小值为200．
27. 阅读并理解下面内容，解答问题．
三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
如图1，已知是的三条内角平分线．
求证：相交于一点．
证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F．
点是的平分线上的一点，
，
同理，，
．
是的平分线，
点在上．
相交于一点．
请解答以下问题：
（1）如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度．
（2）如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：
（3）为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）先求出，，再根据证明，则，因此；
（2）过点P作交于点E，F，连接，根据平行线和角平分线得到，先证明，再证明，则可得到，由，再进行等量代换和线段的和差计算即可；
（3）连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M，先证明，继而确定点F轨迹为直线上的部分线段，当，即点F与点M重合时，取得最小值，再根据三角形内角和定理以及角平分线，进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图
∵点P为内心，
∴，
设，
在中，，
即，
∴，
在中，，
同理可求：，
∵，
∴，
∴，
∴
【小问2详解】
证明：过点P作交于点E，F，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵点P为内心，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
即：．
【小问3详解】
解：连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M，
∵P为内心，
∴平分，
∵，
∴，
∴
由题意得：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴点F的轨迹为直线上的部分线段，
∴当，即点F与点M重合时，取得最小值，
如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵P为内心，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．