2022-2023学年北京市西城区铁路二中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城区铁路二中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
3．（2分）计算x5÷x2的结果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2•2a3＝6a6
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+aD．a2+a3＝a5
5．（2分）若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．720°C．1440°D．1800°
6．（2分）如图，已知∠BOP与OP上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接ME．下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．∠ODC＝∠AEMB．OB∥AEC．∠AME＝2∠AODD．CD∥ME
7．（2分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
8．（2分）如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A'处，如图2所示．设∠1﹣∠2＝α，则下列等式成立的是（ ）
A．∠A＝αB．∠A＝2αC．2∠A＝αD．3∠A＝2α
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9．（2分）计算﹣（﹣2a2b）4＝ ．
10．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ ．
11．（2分）如图，已知AC与BD交于点E，且AB＝CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是： ．（添加一个即可）
12．（2分）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为5，则点P到AB的距离为 ．
13．（2分）如图，CD是△ABC的中线，EB是△BCD的中线，如果△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积是 cm2．
14．（2分）如图，△ABC为等边三角形，点E在AB上，点F在AC上，AE＝CF，CE与BF相交于点P，则∠EPB＝ ．
15．（2分）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 ．
16．（2分）如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，AM＝3，DE＝ ．
三、解答题（共8道小题，第17，22，23题，每题10分；第18，19题，每题6分；第20题8分；第21，24题，每题9分）
17．（10分）（1）计算：；
（2）计算：[7m•m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2．
18．（6分）已知4a2+2b2﹣1＝0，求代数式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．
19．（6分）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：∠B＝∠D．
20．（8分）证明命题“有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等”．要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是根据题意画出的部分图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠E＝9O°，AC＝DE，CG⊥AB于G， ．
求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．
请补全图形和补全已知，并写出证明过程．
21．（9分）已知：如图1，AB∥CD，请用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E；
③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．
小刚说：“我有不同的作法，如图2所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．
请回答：
（1）请补全小明的作图过程．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是 ≌ ，全等的依据是 ．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠ （ ）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是 ．
22．（10分）如图，长为m，宽为x（m＞x）的大长方形被分制成7小块，除阴影Ⅰ，Ⅱ外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短一边长记为y．
（1）阴影Ⅰ的长AB为 ；阴影Ⅱ的宽DE为 （用含m，x，y的代数式表示）；
（2）求阴影Ⅰ和Ⅱ的面积差S（用含m，x，y的代数式表示）；
（3）当x取任何实数时，面积差S的值都保持不变，问：m与y应满足什么条件．
23．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
24．（9分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2+1≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”．
四、附加题
25．已知a＝817，b＝279，c＝913，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a
26．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠D＝120°，AB＝BC＝CD＝DA，E是边AD上的一点，且∠ABE＝48°，若线段BE上存在点P，使∠CPB＝∠CPD．则∠ADP的度数为 ．
27．已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O．
（1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系；
（2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数；
（3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明．
2022-2023学年北京市西城区铁路二中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每题2分，共16分）
1．（2分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2．（2分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，
∴BC＝AD＝8cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
3．（2分）计算x5÷x2的结果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得答案．
【解答】解：原式＝x5﹣2＝x3，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2•2a3＝6a6
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+aD．a2+a3＝a5
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：A、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项正确，符合题意；
B、3a2•2a3＝6a5，故本选项错误，不符合题意；
C、﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a，故本选项错误，不符合题意；
D、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，正确利用法则与性质解答是解题的关键．
5．（2分）若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．720°C．1440°D．1800°
【分析】先利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，求出边数，再根据多边形内角和定理求解．
【解答】解：∵360°÷36°＝10，
∴这个正多边形是正十边形，
∴该正多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和与外角和定理是解题的关键．
6．（2分）如图，已知∠BOP与OP上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接ME．下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．∠ODC＝∠AEMB．OB∥AEC．∠AME＝2∠AODD．CD∥ME
【分析】证明△OCD≌△AME，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：在△OCD和△AME中，
，
∴△OCD≌△AME（SSS），
∴∠DCO＝∠EMA，∠O＝∠OAE，∠ODC＝∠AEM．
∴CD∥ME，OB∥AE．
故A、B、D都可得到．∠AME＝2∠AOD不一定得出．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到相等的线段，证明△OCD≌△AME是关键．
7．（2分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
【分析】根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可．
【解答】解：剩余部分面积：
（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）
＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b
＝4ab﹣3a﹣2；
故选：B．
【点评】本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键．
8．（2分）如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A'处，如图2所示．设∠1﹣∠2＝α，则下列等式成立的是（ ）
A．∠A＝αB．∠A＝2αC．2∠A＝αD．3∠A＝2α
【分析】根据三角形外角和折叠的性质可得∠1＝180°﹣2∠AEF，∠AFE＝∠A+∠AEF+∠2，进而即可得到∠2＝180°﹣2∠A﹣2∠AEF，结合∠1﹣∠2＝α即可求解．
【解答】解：根据折叠的性质得∠A＝∠A'，∠AEF＝∠A'EF，∠AFE＝∠A'FE，
∵∠1＝180°﹣∠AEA'，∠A'FE＝∠CFE+∠2，∠CFE＝∠A+∠AEF，
∴∠1＝180°﹣2∠AEF，∠AFE＝∠A+∠AEF+∠2，
∵∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF，
∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠AEF﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣2∠A﹣2∠AEF，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠AEF﹣（180°﹣2∠A﹣2∠AEF），
∴∠1﹣∠2＝2∠A，
∵∠1﹣∠2＝α，
∴2∠A＝α，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9．（2分）计算﹣（﹣2a2b）4＝ ﹣16a8b4 ．
【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．据此计算即可．
【解答】解：﹣（﹣2a2b）4＝﹣（﹣2）4•（a2）4•b4＝﹣16a8b4，
故答案为：﹣16a8b4．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
10．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ 60° ．
【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
由题意得，
解得：∠A＝60°，∠B＝30°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
11．（2分）如图，已知AC与BD交于点E，且AB＝CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是： （∠ABC＝∠DCB）答案不唯一 ．（添加一个即可）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是∠ABC＝∠DCB，
理由是：∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故答案为：∠ABC＝∠DCB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
12．（2分）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为5，则点P到AB的距离为 5 ．
【分析】过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF＝PG＝PH，从而得解．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG＝5，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．
13．（2分）如图，CD是△ABC的中线，EB是△BCD的中线，如果△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积是 2 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形解决问题即可．
【解答】解：∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝DB，
∴S△BCD＝S△ABC＝4（cm2），
∵BE是△BCD的中线，
∴DE＝EC，
∴S阴＝S△BDC＝2（cm2），
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
14．（2分）如图，△ABC为等边三角形，点E在AB上，点F在AC上，AE＝CF，CE与BF相交于点P，则∠EPB＝ 60° ．
【分析】证明△BCE≌△ABF（SAS），由全等三角形的性质得到∠BCE＝∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC＝120°，易得∠EPB的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，
在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
即：∠BPC＝120°，
∴∠BPE＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．证明△BCE≌△ABF是解题的关键．
15．（2分）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．
【解答】解：∵S甲＝（a2﹣b2），S乙＝（a+b）（a﹣b）
又∵S甲＝S乙
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【点评】本题考查的重点是平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
16．（2分）如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，AM＝3，DE＝ 6 ．
【分析】延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，证明△AMC≌△NMB（SAS），推出AC＝BN，∠C＝∠NBM，求出∠EAD＝∠ABN，再证明△EAD≌△ABN（SAS），根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM＝BM，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，
∵AD＝AC，
∴AD＝BN，
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠EAB＝∠DAC＝90°，
∴∠EAD+∠BAC＝180°，
∴∠ABN＝∠ABC+∠NBM＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC＝∠EAD，
在△EAD和△ABN中，
，
∴△EAD≌△ABN（SAS），
∴DE＝AN＝2AM＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN＝AM，再证AN＝DE即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．
三、解答题（共8道小题，第17，22，23题，每题10分；第18，19题，每题6分；第20题8分；第21，24题，每题9分）
17．（10分）（1）计算：；
（2）计算：[7m•m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2．
【分析】（1）根据应用平方差公式进行计算即可；
（2）根据整式的混合运算求解即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）[7m•m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2
＝（7m5﹣9m4）÷2m2
＝7m5÷2m2﹣9m4÷2m2
＝．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
18．（6分）已知4a2+2b2﹣1＝0，求代数式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．
【分析】先化简代数式，再根据化简结果整体代入可得答案．
【解答】解：原式＝4a2+4ab+b2﹣4ab+b2+2＝4a2+2b2+2．
由4a2+2b2﹣1＝0可得4a2+2b2＝1，
∴4a2+2b2+2＝1+2＝3．
【点评】本题考查整式的混合运算，应用整体代入是解题关键．
19．（6分）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：∠B＝∠D．
【分析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等，进而可得结论．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．
20．（8分）证明命题“有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等”．要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是根据题意画出的部分图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠E＝9O°，AC＝DE，CG⊥AB于G， EH⊥DF于H，CG＝EH ．
求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．
请补全图形和补全已知，并写出证明过程．
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：EH⊥DF于H，CG＝EH，
证明：∵CG⊥AB于G，EH⊥DF于H，
∴∠AGC＝∠DHE＝90°，
在Rt△ACG与Rt△DEH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DEH（HL），
∴∠A＝∠D，
在△ABC与△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
故答案为：EH⊥DF于H，CG＝EH．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△ACG≌Rt△DEH是解题的关键．
21．（9分）已知：如图1，AB∥CD，请用尺规作图法，在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E；
③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．
小刚说：“我有不同的作法，如图2所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．
请回答：
（1）请补全小明的作图过程．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是 △AME ≌ △ANE ，全等的依据是 SSS ．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角）
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠ CPA （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠CAP＝∠BAP
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ．
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形，利用画法得到AM＝AN，ME＝NE，加上AE公共，则可根据“SSS”判断△AME≌△ANE，从而得到∠MAE＝∠NAE；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质证明∠CAP＝∠BAP；
（3）根据角平分线的性质求解．
【解答】解：（1）如图1，AP为所作，
在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是△AME≌△ANE，全等的依据是SSS．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；
（2）对于小刚的作图方法证明如下：
∵CA＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角），
∵AB∥CD
∴∠BAP＝∠CPA（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAP＝∠BAP，
∴射线AP平分∠BAC．
（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是角平分线上的点到角的两边的距离相等．
故答案为△AME，△ANE，SSS；CPA，两直线平行，内错角相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．
22．（10分）如图，长为m，宽为x（m＞x）的大长方形被分制成7小块，除阴影Ⅰ，Ⅱ外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短一边长记为y．
（1）阴影Ⅰ的长AB为 m﹣3y ；阴影Ⅱ的宽DE为 3y （用含m，x，y的代数式表示）；
（2）求阴影Ⅰ和Ⅱ的面积差S（用含m，x，y的代数式表示）；
（3）当x取任何实数时，面积差S的值都保持不变，问：m与y应满足什么条件．
【分析】（1）观察图形，用m，x，y表示即可；
（2）分别表示出阴影的面积，作差即可；
（3）根据S的值与x无关确定m与y的关系式即可．
【解答】解：（1）观察图形得：AB＝m﹣3y，DE＝3y，
故答案为：m﹣3y，3y．
（2）S＝（m﹣3y）（x﹣2y）﹣3y[x﹣（m﹣3y）]
＝mx﹣2my﹣3xy+6y2﹣3xy+3my﹣9y2
＝﹣3y2+my+mx﹣6xy；
（3）S＝﹣3y2+my+mx﹣6xy
＝﹣3y2+my+（m﹣6y）x，
∵S的值与x无关，
∴m﹣6y＝0，
∴m＝6y．
【点评】本题考查了整式的混合运算，考核学生的应用意识和计算能力，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
24．（9分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2+1≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”．
【分析】（1）先计算C﹣D＝1，再根据“雅常式”的定义即可判断C是D的“雅常式”，并求出C关于D的“雅常值”；
（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“雅常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x为实数时，N的最小值为﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，进而求出M﹣N＝2．
【解答】解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1）
＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）
＝1，
∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；
（2）∵M是N的“雅常式”，
∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）
＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）
＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，
∴﹣2a+2＝0，
∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，
且当x为实数时，N的最小值为﹣2，
∴﹣1+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2．
【点评】本题考查了配方法的应用，新定义，学生的理解能力以及知识的迁移能力，因式分解等知识，理解A是B的“雅常式”的定义是解题的关键．
四、附加题
25．已知a＝817，b＝279，c＝913，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a
【分析】根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题．
【解答】解：∵a＝817，b＝279，c＝913，
∴a＝（34）7＝328，b＝（33）9＝327，c＝（32）13＝326．
又∵328＞327＞326，
∴a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系是解决本题的关键．
26．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠D＝120°，AB＝BC＝CD＝DA，E是边AD上的一点，且∠ABE＝48°，若线段BE上存在点P，使∠CPB＝∠CPD．则∠ADP的度数为 48° ．
【分析】连接CP、PD、PA，过点C作CM⊥PB于点M，CN⊥PD于点N，先由AAS证得△PMC≌△PNC，得出PM＝PN，MC＝NC，再由HL证得Rt△BMC≌Rt△DNC，得出BM＝DN，则BP＝DP，然后由SSS证得△ABP≌△ADP，得出∠ADP＝∠ABP，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CP、PD、PA，过点C作CM⊥PB于点M，CN⊥PD于点N，
则∠CMP＝∠BMC＝∠CNP＝∠DNC＝90°，
∵∠CPB＝∠CPD，
∴∠CPM＝∠CPN，
在△PMC与△PNC中，
，
∴△PMC≌△PNC（AAS），
∴PM＝PN，MC＝NC，
在Rt△BMC与Rt△DNC中，
，
∴Rt△BMC≌Rt△DNC（HL），
∴BM＝DN，
∴BP＝DP，
在△ABP与△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SSS），
∴∠ADP＝∠ABP，
∵∠ABE＝48°，
∴∠ADP＝48°，
故答案为：48°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27．已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O．
（1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系；
（2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数；
（3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）把∠A＝60°代入计算即可；
（3）在BC上取点G，使得CG＝CD，连接OG，证明△COD≌△COG，根据全等三角形的性质得到∠COG＝∠COD＝60°，再证明△BOE≌△BOG，得到BE＝BG，结合图形证明结论．
【解答】解：（1）∠BOC＝90°+∠A，
理由如下：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°+∠A；
（2）当∠A＝60°时，∠BOC＝90°+×60°＝120°；
（3）BE+CD＝BC，
证明：在BC上取点G，使得CG＝CD，连接OG，
由（2）知：∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCO＝∠GCO，
在△COD和△COG中，
∴△COD≌△COG（SAS）
∴∠COG＝∠COD＝60°，
∴∠BOG＝120°﹣60°＝60°＝∠BOE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠GBO，
∴在△BOE和△BOG中，
∴△BOE≌△BOG（ASA）
∴BE＝BG，
∵BG+GC＝BC，
∴BE+CD＝BC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/10 12:21:36；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111