2021-2022学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了的二次函数解析式等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）二次函数y＝2x2+3的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
2．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝70°，则∠D的度数是（ ）
A．110°B．90°C．70°D．50°
4．（2分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
5．（2分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（ ）
A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）
8．（2分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB＝4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）点M（2，﹣4）、N关于原点对称，则点N的坐标是 ．
10．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： ．
11．（2分）如果一个圆锥的母线长为4，底面半径为1，那么这个圆锥的侧面积为 ．
12．（2分）已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为 cm．
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为 ．
14．（2分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．
16．（2分）下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是： ．
三.解答题（17-22每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分，共68分）
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
18．（5分）已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．
（1）在网格中画出△A1B1C；
（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．
19．（5分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： ．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
20．（5分）四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果；
（2）求抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
22．（5分）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于58cm2，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？
解决问题：设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长可以表示为 ．
请你帮助李明完成后面的解答过程．
23．（6分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是 和 ；
②抛物线经过点（﹣3， ），对称轴为 ；
（2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
25．（6分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．
（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；
（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等腰直角三角形，求a的值；
（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（7分）如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，点E在BA的延长线上，且AE＝AD．连接EC，与AD相交于点F，与BD相交于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）若AF＝AB，解答下列问题：
①判断EC与BD的位置关系，并说明理由；
②连接AG，用等式表示线段AG，EG，DG之间的数量关系，并证明．
28．（7分）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．
在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．
①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点 是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．
2021-2022学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）二次函数y＝2x2+3的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【分析】根据二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：∵y＝2x2+3，
∴当x＝0时，y有最小值，最小值为3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k，y有最小值h；当a＜0时，x＝k，y有最大值h．
2．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝70°，则∠D的度数是（ ）
A．110°B．90°C．70°D．50°
【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠B＝180°，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
4．（2分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式．
【解答】解：∵将抛物线y＝x2向上平移3个单位再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
5．（2分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对，
∴∠BOC＝2∠CDB，又∠CDB＝20°，
∴∠BOC＝40°，
又∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，
则∠E＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（ ）
A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）
【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x＝1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．
【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，
∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，
作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），
∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
8．（2分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB＝4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意列出函数表达式，函数不是二次函数，也不是一次函数，又AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC＝2，用排除法做出解答．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝x，
∴BC＝＝，
∴S△ABC＝BC•AC＝x，
∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，
∴排除A、C，
∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，
此时AC＝2，
即x＝2时，y最大，故排除D，选B．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．
二.填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）点M（2，﹣4）、N关于原点对称，则点N的坐标是 （﹣2，4） ．
【分析】根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，﹣4的相反数是4，
∴点M（2，﹣4）关于原点的对称点的坐标为 （﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点：两点关于原点对称，两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，用到的知识点为：a的相反数为﹣a．
10．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： y＝﹣x2﹣1 ．
【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣1）得出即可．
【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），
故解析式为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．
11．（2分）如果一个圆锥的母线长为4，底面半径为1，那么这个圆锥的侧面积为 4π ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到这个圆锥的侧面为扇形，扇形的半径为4，弧长为2π，然后根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×4×2π×1＝4π．
故答案为4π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．（2分）已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为 2 cm．
【分析】直接利用正三角形的性质得出BO＝2DO＝2cm．
【解答】解：如图所示：连接BO，
由题意可得，OD⊥BC，OD＝cm，∠OBD＝30°，
故BO＝2DO＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正三角形的性质是解题关键．
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为 ﹣4 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣3x+m＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x+m＝0得1+3+m＝0，
解得m＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（2分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是 60 度，阴影部分的面积为 ．
【分析】连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．
【解答】解：∵AC＝A′C，且∠A＝60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′＝60°，
∴∠A′CB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠CA′D＝∠A＝60°，
∴∠CDA′＝90°，
∵∠B′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CB′D＝30°，
∴CD＝CB′＝CB＝×2＝1，
∴B′D＝＝，
∴S△CDB′＝×CD×DB′＝×1×＝，
S扇形B′CB＝＝，
则阴影部分的面积为：﹣，
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了扇形面积应用以及三角形面积求法和勾股定理应用等知识，本题的关键是弄清所求的阴影面积等于扇形减去三角形面积
16．（2分）下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是： ② ．
【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，可以估计针与直线相交的概率是0.454，错误；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477，正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，可以估计针与直线相交的频率是0.4769，错误；
故答案为：②
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
三.解答题（17-22每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分，共68分）
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0
（x﹣2）（x+4）＝0
x﹣2＝0或x+4＝0
x1＝2，x2＝﹣4
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18．（5分）已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．
（1）在网格中画出△A1B1C；
（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C即可；
（2）先根据勾股定理求出CB的长，再由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；
（2）∵BC＝＝2，
∴点B运动到点B1所经过的路径的长＝＝π．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质及弧长公式是解答此题的关键．
19．（5分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： 垂直弦的直径平分弦 ．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ 45 cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ （r﹣15） cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝ 452+（r﹣15）2 ，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝452+（r﹣15）2，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．（5分）四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果；
（2）求抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的结果有2种，
∴抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞﹣．
（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
即x（x+3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式；（2）选取m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
22．（5分）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于58cm2，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？
解决问题：设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长可以表示为 （10﹣x）cm ．
请你帮助李明完成后面的解答过程．
【分析】设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为（10﹣x）cm，根据两个正方形的面积和等于58cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出其中一个正方形的边长，再将其代入（10﹣x）中可求出另一个正方形的边长．
【解答】解：设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为＝（10﹣x）cm，
依题意得：x2+（10﹣x）2＝58，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，10﹣x＝10﹣3＝7；
当x＝7时，10﹣x＝10﹣7＝3．
答：李明剪的这两个正方形的边长分别是3cm和7cm．
故答案为：（10﹣x）cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（6分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是 （﹣2，0） 和 （1，0） ；
②抛物线经过点（﹣3， 8 ），对称轴为 直线x＝﹣ ；
（2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
【分析】（1）①根据抛物线与x轴的交点问题，在表中找出函数值为0对应的函数值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；
②利用抛物线的对称性确定下班了为﹣3对应的函数值和抛物线的对称轴方程；
（2）利用待定系数法求抛物线解析式．
【解答】解：（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和 （1，0）；
②抛物线经过点（﹣3，8），对称轴为直线x＝﹣；
故答案为（﹣2，0），（1，0）；8，直线x＝﹣；
（2）抛物线y＝a（x+2）（x﹣1），
把（0，﹣4）代入得a•2•（﹣1）＝﹣4，解得a＝2，
所以抛物线解析式为y＝2（x+2）（x﹣1），
即y＝2x2+2x﹣4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
【分析】（1）连接OE，由切线的性质得AB⊥OE，已知E是AB中点，则OE垂直平分AB，所以OA＝OB；
（2）先由切线长定理证明∠OAC＝∠OAB，则∠OAC＝∠OAB＝∠B＝30°，可求得OA＝2OC＝4，由勾股定理求了AC的长，再求出AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵⊙O与直线AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴OA＝OB．
（2）解：如图，连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥OC，
∴AC与⊙O相切于点C，
∴∠OAC＝∠OAB，
∵∠OAB＝∠B，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠B，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠OAC+∠OAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠OAC＝30°，
∵OC＝OD＝2，
∴OA＝2OC＝2×2＝4，CD＝2+2＝4，
∴AC＝＝2，
∴AD＝＝2，
∴AD的长为2．
【点评】此题考查圆的切线的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识与方法，解题的关键是连接过切点的半径，用切线的性质定理解题．
25．（6分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．
（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；
（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？
【分析】（1）把y＝70代入y＝﹣5x+150，求出x即可；
（2）每月销售量y＝﹣5x+150，乘以每件利润（x﹣10）即可得到每月获得的利润w元的表达式；
（3）转化为二次函数求出最大值即可．
【解答】解：（1）当y＝70时，70＝﹣5x+150，
解得x＝16，
则（16﹣10）×70＝420元；
（2）w＝（x﹣10）（﹣5x+150）
＝﹣5x2+200x﹣1500，
∵，
∴自变量的取值范围为10≤x≤18；
（3）w＝﹣5x2+200x﹣1500
＝﹣5（x﹣20）2+500
∵a＝﹣5＜0，
∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大，
∴当x＝18时，w有最大值，为480元．
答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等腰直角三角形，求a的值；
（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A，B的坐标，由（1）可得出顶点C的坐标，再利用等腰直角三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
（3）分a＞0及a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；②当a＜0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）依照题意，画出图形，如图1所示．
当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）．
∵a＞0，
∴﹣a＜0．
设对称轴交x轴于D，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴点C的坐标为（2，﹣1），
∴﹣a＝﹣1，
∴a＝1；
（3）分两种情况考虑，如图2所示：
①当a＞0时，a（﹣1）×（﹣3）≤﹣1，
解得：a≥；
②当a＜0时，a（﹣1）×（﹣3）≥2，
解得：a≤﹣．
综上，a≥或a≤﹣．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）根据等腰直角三角形的性质，找出关于a的一元一次方程；（3）分a＞0及a＜0两种情况，利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于a的一元一次不等式．
27．（7分）如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，点E在BA的延长线上，且AE＝AD．连接EC，与AD相交于点F，与BD相交于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）若AF＝AB，解答下列问题：
①判断EC与BD的位置关系，并说明理由；
②连接AG，用等式表示线段AG，EG，DG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）①EC⊥BD，证明△AEF≌△ADB（SAS），则∠AEF＝∠ADB，∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即可求解；
（2）证明△AEP≌△ADG（SAS），则△PAG为等腰直角三角形，故EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
【解答】解：（1）补全的图形，如图1所示：
（2）①解：EC⊥BD．
理由如下：由矩形性质知∠DAB＝90°，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF与△ADB中，
∴△AEF≌△ADB（SAS）．
∴∠E＝∠ADB．
∵∠AFE＝∠DFG．
∴∠DGF＝∠EAF＝90°．
∴EC⊥BD．
②线段AG，EG，DG之间的数量关系：．
证法一：如图2，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP．
在△AEP与△ADG中，
，
∴△AEP≌△ADG（SAS）．
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG．
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°．
∴△PAG为等腰直角三角形．
∴．
∴．
证法二：如图3，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ．
在△AEG与△ADQ中，
，
∴△AEG≌△ADQ（ASA）．
∴EG＝DQ，AG＝AQ．
∴△GAQ为等腰直角三角形．
∴．
∴，即EG﹣DG＝AG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（7分）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．
在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．
①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点 O，C 是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；
（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．
【分析】（1）①分别以B为圆心，BO，BC，BA为半径作圆，观察图象根据线段OA与圆的交点的位置，可得结论．
②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与直线OA的公共点都在线段OA上，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图象法即可解决问题．
（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点F作FN⊥y轴于N．利用相似三角形的性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图象法可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图象可知，点O，点C是△AOB关于点B的内联点．
故答案为：O，C．
②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，
当点B′（7，8）时，以AB′为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，
观察图象可知，满足条件的n的值为1≤n≤8．
（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点F作FN⊥y轴于N．
∵E（4，2），
∴OH＝4，EH＝2，
∴OE＝＝2，
当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，
∵∠EOF＝∠NOH＝90°，
∴∠FON＝∠EOH，
∵∠FNO＝∠OHE＝90°，
∴△FNO∽△EHO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FN＝，ON＝，
∴F（﹣，），
观察图象可知当﹣≤m≤0时，满足条件．
作点F关于点O的对称点F′（，﹣），
当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，
∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，
∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），
∴∠EOH＝∠OEF″，
∴PE＝OP，PE＝OP＝t，
在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴OP＝，PH＝PF″＝，
可得F″（，﹣），
观察图象可知，当≤m≤时，满足条件．
综上所述，满足条件的m的取值范围为﹣≤m≤0或≤m≤．
【点评】本题属于圆综合题，考查了点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:16:14；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052投针次数n
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